Eine Rakete der Anfangsmasse $m_0$ stößt pro Zeiteinheit die Gasmenge $\alpha = \frac{\Delta m}{\Delta t} \gt 0$ mit der konstanten Geschwindigkeit $v_0$ aus. Gesucht ist die Bewegungsgleichung. Die Gravitationskraft soll dabei als konstant angenommen werden. Das bedeutet, dass das Raketenproblem nur in der näheren Umgebung der Erdoberfläche betrachtet werden soll.

Abb. 1: Skizze zur Raketengleichung

Die Rakete der Masse $m(t)$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v(t)$ nach oben. Dabei wird die Masse $\Delta m$ mit der konstanten Geschwindigkeit $v_0$ (relativ zur Rakete) nach unten ausgestoßen. Für die Rakete muss das Newtonsche Kraftgesetz in seiner ursprünglichen Form

$$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\tag{1}$$

zu Grunde gelegt werden, weil die Raketenmasse veränderlich ist. Daher gilt

$$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \vec{v}\cdot \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\tag{2}$$

wobei

$$\vec{v} = v\cdot \vec{e}_z\tag{3}$$

die vertikale Geschwindigkeit bedeutet. Die ausgestoßenen Gase tragen innerhalb des Zeitintervalls $\Delta t$ den Impuls

$$\Delta \vec{p}' = \Delta m\cdot (v - v_0)\cdot \vec{e}_z = \alpha\cdot (v - v_0)\cdot \Delta t\cdot \vec{e}_z\tag{4}$$

weg. Dies führt zu einer Kraft auf die Rakete (Rückstoßkraft) von der Größe

$$\vec{F}' = -\frac{\Delta\vec{p}'}{\Delta t} = - \alpha\cdot (v - v_0)\cdot \vec{e}_z\tag{5}$$

Außerdem wirkt die Schwerkraft zum Erdmittelpunkt mit $-m\cdot g\cdot \vec{e}_z$. Somit lautet das Newtonsche Kraftgesetz

\[\begin{aligned} m\cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + v\cdot \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} &= -\alpha\cdot (v-v_0) - m\cdot g \\ &= -m\cdot g - \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\cdot (v-v_0) \end{aligned}\tag{6}\]

Diese Bilanz gilt im fest auf der Erde verankertem Inertialsystem. Mit $m = m_0\cdot \alpha\cdot t$ und $\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}= -\alpha$ folgt

$$m\cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\cdot \vec{e}_z = +\alpha\cdot v_0\cdot \vec{e}_z - m\cdot g\cdot \vec{e}_z\tag{7}$$

Das Glied $\alpha\cdot v_0$ auf der rechten Seite stellt die vom Rückstoß herrührende Kraft dar. Wir erhalten weiter

\[\begin{aligned} \int\limits_0^v \mathrm{d}v &=\int\limits_0^t\left(\frac{\alpha\cdot v_0}{m_0 - \alpha\cdot t}-g\right) \mathrm{d}t, \\ v(t) &= -g\cdot t + v_0\cdot \int\limits_0^t \frac{\frac{\alpha}{m_0}}{1 - \left(\frac{\alpha}{m_0}\right)\cdot t}\mathrm{d}t \\ &= -g\cdot t - v_0\cdot \left[\ln\left(1 - \frac{\alpha}{m_0}\cdot t \right)\right]_0^t \\ &= -g\cdot t - v_0\cdot \ln\left(1 - \frac{\alpha}{m_0}\cdot t \right) \end{aligned}\tag{8}\]

Offensichtlich hängt die Raketengeschwindigkeit linear von der Austrittsgeschwindigkeit $v_0$ der Rückstoßgase ab. Durch eine weitere Integration ergibt sich die Höhe $h(t)$ der Rakete mit

Mit der Substitution $u = 1 - \frac{\alpha}{m_0}\cdot t$ und $\mathrm{d}u = -(\frac{\alpha}{m_0})\mathrm{d}t$ folgt daraus

Damit folgt für die Höhe der Rakete nach der Zeit $t$

Um den Zeitpunkt des Brennschlusses $T$ zu bestimmen, führen wir als $m_1$ die Masse des Gehäuses der Rakete ein.
Es gilt dann: $m_0 = m_1 + \alpha\cdot T$, wobei $\alpha\cdot T$ die Brennstoffmasse ist.

$$T = \frac{m_0 - m_1}{\alpha}\tag{12}$$

Zur Zeit des Brennschlusses hat die Rakete die Geschwindigkeit

am Ort

Die Endgeschwindigkeit der Rakete hängt linear von der Austrittsgeschwindigkeit $v_0$ der Rückstoßgase ab und ist proportional dem Logarithmus des Verhältnisses aus Anfangs- und Endmasse. Für die weitere Bewegung der Rakete folgt nach dem Energiesatz

$$\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_1^2 = m\cdot g\cdot h_2\tag{15}$$

Daraus lässt sich die Höhe $h_2$, die die Rakete nach Brennschluss erreicht, berechnen mit

$$h_2 = \frac{v_1^2}{2\cdot g}\tag{16}$$

Die gesamte Steighöhe der Rakete ist dann

Man erhält schließlich

\[\begin{aligned} h &= \left(\ln\frac{m_1}{m_0}+1\right)\cdot v_0\cdot \left(\frac{m_0-m_1}{\alpha}\right) \\ &+ v_0\cdot \ln\frac{m_1}{m_0}\cdot\left(\frac{v_0}{2\cdot g}\cdot \ln\frac{m_1}{m_0} + \frac{m_1}{\alpha}\right) \end{aligned}\tag{18}\]