Es soll der Projektionspunkt $P$ eines Kreisbahnsatelliten $S$ auf die sich drehende Erde bestimmt werden. Der Einfachheit halber sei die Erde als Kugel mit dem Erdradius $R_E$ aufgefasst und die Erde habe eine konstante Winkelgeschwindigkeit $\omega_{E}$.

Abb. 1: Orbit eines Kreisbahnsatelliten

Der projizierte Punkt $P$ wird eine bestimmte Bewegung auf der Erdoberfläche ausführen, die durch den Zusammenhang zwischen der geografischen Länge $\varphi (t)$ und der geografischen Breite $\psi (t)$ angegeben werden kann. Aus dem orthogonalen sphärischen Dreieck $\bigtriangleup QTP$ kann man mit dem Erdradius $R_E$ sowie der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{E}$ der Erde folgern:

Abb. 2: Beziehungen im Dreieck QTP

\[\begin{aligned} R_E\cdot \sin\psi &= R_E\cdot\sin \sigma\cdot \sin\alpha \\[2ex] R_E\cdot \tan(\omega_E\cdot t + \varphi) &= R_E\cdot\tan \sigma\cdot\cos\alpha \end{aligned}\tag{1}\]

Dabei ist $\alpha$ der Neigungswinkel der Bahnebene des Satelliten gegen die Äquatorebene. Mithilfe von

$$\dot{\sigma} = \omega_S \quad\Rightarrow\quad \sigma = \omega_S\cdot t$$

erhält man daraus

\[\begin{aligned} \psi(t) &= \arcsin \big[\sin\alpha\cdot \sin(\omega_S\cdot t)\big] \\[2ex] \varphi(t) &= \arctan \big[\cos\alpha\cdot \tan (\omega_S\cdot t)\big] - \omega_E\cdot t \end{aligned}\tag{2}\]

Für kleine Neigungswinkel $\alpha$ gelten damit die Näherungen

\[\begin{aligned} \psi(t) &\approx \alpha\cdot \sin(\omega_S\cdot t) \\[2ex] \varphi(t) &\approx (\omega_S - \omega_E)\cdot t \end{aligned}\tag{3}\]

Daraus erhält man die Beziehung

$$\psi \approx \alpha\cdot \sin\left[\frac{\varphi}{1 - \frac{\omega_E}{\omega_S}}\right]\tag{4}$$

• Die maximalen Werte für $\psi$ (Nord-Süd) liegen bei $\vert \psi_{\text{max}}\vert = \alpha$ und werden bei ungeraden Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$ erreicht: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\dots$.
• Dazu ergeben sich die Nulldurchgänge $\psi = 0$ bei $\omega_S\cdot t = \pi,\; 2\pi,\; 3\pi\dots$.
• Schließlich liegen die Werte von $\varphi$ an den Nullstellen bei:

\[\begin{aligned} \varphi &= 0 \\ \varphi &= \pi\cdot \left(1-\frac{\omega_E}{\omega_S}\right) \\ \varphi &= 2\pi\cdot \left(1-\frac{\omega_E}{\omega_S}\right) \\ &\vdots\quad\vdots \end{aligned}\tag{5}\]

Abb. 3: Bahnkurven des projizierten Punktes P

• [1] Wenn die Winkelgeschwindigkeit des Satelliten $\omega_S$ viel größer ist als jene der Erde, schreiten die Nullstellen der projizierten Kurve nach Osten hin fort. Es kann auch eine kleine Rückwärtsbewegungen geben.
• [2] Wenn die Winkelgeschwindigkeit des Satelliten $\omega_S$ nur etwas größer ist als jene der Erde, schreiten die Nullstellen immer langsamer nach Osten hin fort, die Rückwärtsbewegungen werden größer.
• [3] Bei einem Synchronsatelliten ist $\omega_S = \omega_E$, er dreht sich synchron mit der Erde. Wenn der Winkel $\alpha \ne 0$ ist, gibt es eine Nord-Süd-Bewegung, die projizierte Kurve sieht aus wie eine „8“. Es gibt hier nur eine Nullstelle und kein Voranschreiten.
• [4] Wenn $\omega_S < \omega_E$ ist, bewegen sich die Nullstellen der projizierten Kurve nur mehr nach Westen, also rückläufig.

Der Fall [4] gilt ganz allgemein für Satelliten, deren Bahradius $r$ größer ist als jener eines geostationären Satelliten.

$$r \gt \sqrt[3]{\frac{g\cdot R_E^2}{\omega_E^2} }\tag{5}$$

mit $g = 9.80665\frac{m}{s^2}$, der Erdbeschleunigung am Boden.