Man beginnt klassisch mit der Energiegleichung:

$$E = \frac{1}{2}\cdot m\cdot \dot{r}^2 + \frac{1}{2}\cdot \frac{L^2_{\nu}}{m\cdot r^2} - G\cdot \frac{M_S\cdot m}{r} - \frac{\gamma}{r^3}\tag{1}$$

Um die Periheldrehung beschreiben zu können, braucht man ein Störpotential $S(r)$ als Ursache:

$$S(r) = - \frac{\gamma}{r^3}\tag{2}$$

Die Energiegleichung ist zeitlich konstant. $E$ ist damit die erste Erhaltungsgröße.

Durch Ableitungen nach dem Winkel $\nu$ und der Zeit t erhält man eine Differentialgleichung 2. Ordnung (DGL abgekürzt):

$$m\cdot\ddot{r} - \frac{L^2_{\nu}}{m\cdot r^3} + G\cdot \frac{M_S\cdot m}{r^2} + 3\cdot \frac{\gamma}{r^4} = 0\tag{3}$$

mit $G$ als der Gravitationskonstanten und $M_S$ der Sonnenmasse und dem senkrecht auf der Bahnebene stehenden Drehimpuls $L_{\nu}$:

$$L_{\nu} = m\cdot r^2\cdot \dot{\nu} \quad\text{oder}\quad \vec{L}_{\nu} = \vec{r} \times m\cdot \dot{\vec{r}}\tag{4}$$

Auch der Bahndrehimpuls $L_{\nu}$ ist zeitlich konstant und damit die zweite Erhaltungsgröße. Diese komplex wirkende Darstellung (Gleichung 3) muss jetzt nach $r$ integriert werden. Dies geschieht mit einem Kunstgriff, was die Gleichung vereinfacht. Man setzt:

$$r(\nu(t)) = \frac{1}{u(\nu(t))}\tag{5}$$

Dann gilt mit Hilfe des Bahndrehimpulses $L_{\nu}$:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} = \frac{L_{\nu}}{m}\cdot u^2\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\nu} \Rightarrow \ddot{r} = - \frac{L_{\nu}^2 \cdot u^2}{m^2}\cdot \ddot{u}\tag{6}$$

Daraus folgt für die DGL (3) mit einigen Umformungen:

$$\ddot{u} + u = k + \frac{\kappa}{k}\cdot u^2\tag{7}$$

mit

$$k = \frac{G\cdot M_S\cdot m^2}{L_{\nu}^2} = \text{konst.}\tag{8}$$

und mit $\kappa$ hat man bereits der Wert der Periheldrehung:

$$\delta\nu = 2\cdot\pi\cdot\kappa = 6\cdot\pi\cdot\gamma\cdot\frac{G\cdot M_S\cdot m^3}{L_{\nu}^4}\tag{9}$$

Man kann das astronomische Phänomen bildlich in Abb. 1 darstellen:

Abb. 1: Apsidendrehung

Die Lösung der DGL (7) erfolgt mit dem quasi-linearen Ansatz:

$$U(\nu) = u(\nu) + \kappa\cdot s(\nu)\tag{10}$$

Und das führt zurück auf den Radius $r = \frac{1}{u}$:

$$r(\nu) = \frac{p}{1 + \epsilon\cdot\cos\big[(1 - \kappa)\cdot\nu\big]}\tag{11}$$

mit

$$\epsilon = \sqrt{1 + (1 - \gamma)\cdot\frac{2\cdot p\cdot E}{G\cdot M_S\cdot m^3}}\tag{12}$$

und mit dem Bahnparameter $p$. Er ist der reziproke Wert aus Gleichung (8):

$$p = \frac{L_{\nu}^2}{G\cdot M_S\cdot m^2} = a\cdot (1 - \epsilon^2)\tag{13}$$

Die Apsidenlinie dreht sich pro Umlauf um den Betrag $\dot{\varpi}_g$ = $2\cdot \pi\cdot \kappa$ $\widehat{=}$ 360$^{\circ}\kappa$. $a$ ist die große Halbachse und $m$ die Masse des betrachteten Himmelsobjekts. Die Beträge der einzelnen Planeten sind in der nachfolgenden Tabelle 1 aufgelistet (Einheiten sind in $\text{''}$/Jhdt.):

Man erkennt an Venus und Neptun, daß die Periheldrehung von der numerischen Exzentrizität $\epsilon$ der Planetenbahn abhängt. Bringt man den Bahnparameter $p$ in die Periheldrehung $\kappa$ ein, so erkennt man, daß $\kappa$ von der numerischen Bahnexzentrizität $\epsilon$ abhängt:

$$\kappa = \frac{3\cdot \gamma\cdot m}{a\cdot L_{\nu}^2\cdot (1 - \epsilon^2)}\tag{14}$$

Der Ausdruck erklärt, warum die Periheldrehung bei $\epsilon = 0$ nicht verschwindet. Die Störung $\gamma$ wirkt auch auf Kreisbahnen.

Die allgemeine Relativitätstheorie Einsteins erklärt eine zusätzliche Apsidendrehung der Planeten. Der relativistische Effekt wird mit dem Potentialfaktor $\gamma$ und dem Bahnparameter p beschrieben:

$$\gamma = \frac{G M_S}{c^2} L_{\nu}^2$$

und

$$p = \frac{L_{\nu}^2}{G M_S m^2} = a\left(1 - \epsilon^2\right)$$

Das relativistische Phänomen ist sehr klein und wurde bei den inneren Planeten nachgewiesen (Tabelle 2).

$$\dot{\varpi}_c = \frac{6\pi G M_S}{a c^2\left(1 - \epsilon^2\right)} = \frac{0\overset{\text{''}}{,}317555132442}{a \left(1 - \epsilon^2\right)}$$

Mit G als der Gravitationskonstanten, M$_S$ der Sonnenmasse und c als der Lichtgeschwindigkeit als wichtige Konstanten. Die Umlaufszeit U ist in (tropischen) Jahren gehalten.

Der relativistische Effekt wird nicht mit einem Gravitationspotential wie bisher beschrieben, sondern durch die Berechnung mit der Schwarzschild - Metrik. Diese beschreibt die Apsidendrehung durch Gravitationsfelder (keine Gravitationspotentiale).