Ein Komet bewege sich auf einer parabolischen Bahn ($\varepsilon = 1$) im Gravitationsfeld der ruhenden Sonne. Seine Bahnebene falle mit der als kreisförmig idealisierten Bahnebene der Erde zusammen. Das Perihelabstand beträgt ein Drittel des Erdbahnradius ($R_E = 1.496\cdot 10^{11}\;m$). Wie lange bewegt sich der Komet innerhalb der Erdbahn? Eine Störung der Kometenbahn durch die anderen Planeten soll vernachlässigt werden.

Abb. 1: Verlauf einer Kometenbahn

Zuerst wird die Schwerpunktsmasse $\mu$ eingeführt mit

$$\mu = \frac{m\cdot M}{m + M}\tag{1}$$

Die entsprechende Energiegleichung lautet

$$E = \frac{1}{2}\cdot\mu\cdot\dot{r}^2 + \frac{L_{\nu}^2}{2\cdot\mu\cdot r^2} - G\cdot \frac{m\cdot M}{r}\tag{2}$$

zusammen mit der korrespondierenden Differentialgleichung (DGL):

$$0 = \mu\cdot\ddot{r} - \frac{L_{\nu}^2}{\mu\cdot r^3} + G \frac{m\cdot M}{r^2}\tag{3}$$

Die Lösung der DGL ist die bekannte Kegelschnittsgleichung

$$r(\nu) = \frac{p}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{4}$$

mit

$$\epsilon = \sqrt{1 + \frac{2\cdot L_{\nu}^2}{G^2}\cdot \frac{m^2\cdot M^2}{\mu}\cdot E}\tag{5}$$

und

$$p = \frac{L_{\nu}^2}{G\cdot M_S\cdot m^2}\tag{6}$$

Befindet sich der Komet im Perihel ist seine radiale Geschwindigkeit $\dot{r}$ gleich Null. r erreicht gleichzeitig sein Minimum. Es gilt die Bedingung:

$$\dot{r}_{min} = 0$$

Daraus folgt via Energiegleichung (2):

$$r_{min} = \frac{L_{nu}^2}{2\cdot\mu}\cdot \frac{1}{G\cdot m\cdot M}\tag{7}$$

Nun muss die Verweildauer des Kometen bestimmt werden. Dazu formt man die Energiegleichung (2) zum Zeitintegral um:

$$t = \sqrt{\frac{\mu}{2\cdot G\cdot m\cdot M}} \int^{R}_{r_{min}} \frac{r}{\sqrt{r - r_{min}}} dr\tag{8}$$

und integriert zu:

$$t = \frac{2}{3}\cdot\sqrt{\frac{\mu}{2\cdot G\cdot m\cdot M}}\sqrt{R - r_{min}}\cdot (R + 2\cdot r_{min})\tag{9}$$

Der Zeitraum t ist nur die Zeit vom Schnittpunkt mit der Erdbahn (R = 1 AE) bis zum Perihel des Kometen. Aufgrund der angenommenen Symmetrie der Parabel gilt die Bedingung $T = 2\cdot t$

Setzt man $\frac{dT}{dr_{min}} = 0$ so ist die Lösung für $r_{min}$:

$$r_{min} = \frac{R}{2}\tag{10}$$

Der Perihel des Kometen hat den halben Erdabstand (Erinnerung: Erdbahn ist kreisförmig). Damit braucht man $r_{min}$ nur noch in Gleichung (9) einzusetzen und man erhält die Lösung mit G, R und M:

$$T = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{R^3}{G\cdot M}} = 6,7\cdot 10^6 s = 77,49\text{ Tage}$$