Abb. 1: Verfahren nach Newton Raphson

$$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$

Mit einem vorgegebenen Startwert $x_0$ wird die Funktion $f(x_0)$ und deren Ableitung (momentane Steigung von $f(x_0)$) $f'(x_0)$ berechnet, man erhält den neuen Wert $x_1$ und setzt diesen erneut in $f(x)$ und $f'(x)$ ein, bis $|x_{i+1} - x_i|$ ein gewünschtes Minimum erreicht hat. In der obigen Graphik ist zu sehen, wie sich der Wert $x_i$ dem wahren Wert $\zeta$ annähert.

Dieses Verfahren taucht in der Keplergleichung zur Lösung der exzentrischen Anomalie $E$ wieder auf.

Abb. 2: Prinzip der Regula Falsi

$$x_{i+1} = x_i - \frac{x_i - x_{i-1}}{f(x_i) - f(x_{i-1})} f(x_i)$$

Die Regula Falsi benutzt zwei Stützstellen und iteriert langsamer und schlechter als die Newton Iteration. Stabilisierend ist die Weiterverwendung des Vorzeichenwechsels. Neben der Beibehaltung des neuen Werts $x_{i+1}$ wird vom alten Wert derjenige weiterverwendet, bei dem der Vorzeichenwechsel der Funktion $f$ erhalten bleibt. Ist $f(x_i)\cdot f(x_{i+1}) > 0$, so wird $x_i$ durch $x_{i-1}$ ersetzt. Als Ergänzung zieht man das Pegasus Verfahren hinzu.

Eine Abwandlung der stabilisierten Regula Falsi ist das Pegasus Verfahren. Ausgangspunkt sind wiederum beiden Startwerte $x_0$ und $x_1$ mit der Bedingung $f(x_0)\cdot f(x_1) < 0$. Zu jedem (iterierten) Wert $x_i$ wird ein Wert der Funktion $f$ zugeordnet ($f_0 = f(x_0)$ und $f_1 = f(x_1)$). Dies setzt man in die Gleichung der Regula Falsi ein und ermittelt daraus wieder $x_{i+1}$ und $f(x_{i+1})$.

Falls $f(x_i)\cdot f(x_{i+1}) > 0$ gilt, wird wie bei der stabilisierten Regula Falsi mit dem vorletzten iterierten Wert weiter gerechnet (Ersetzung von $x_i$ durch $x_{i-1}$). Der entsprechende Funktionswert $f(x_i)$ muss dann durch den nachfolgenden Ausdruck ersetzt werden:

$$\frac{f(x_{i-1})\cdot f(x_i)}{f(x_i) + f(x_{i+1})}$$

Das Pegasus Verfahren kommt bei den Finsternissen und Sternbedeckungen zum Einsatz.