Beispiel 2

Man berechne die heliozentrische Position von Mars am 15.4.2023 um 22:15 MESZ mit der Planetentheorie DE200.

Die mitteleuropäische Sommerzeit wird in Weltzeit umgewandelt:

$UT = MESZ - 2^{h} = \textrm{22:15} - 2^{h} = \textrm{20:15}$

Der julianische Tag für den 15.4.2023 um 20:15 $UT$ wurde bereits in diesem Beispiel berechnet zu $JD = 2460050.34375$. Die Berechnung der Planetenposition muss in der Zeitskala der dynamischen Zeit $TD$ erfolgen, es gilt $TD = UT + \Delta T$.

Im Jahr 2023 war der Wert von $\Delta T$ etwa $69^{s}$, daher folgt mit 86400 Sekunden pro Tag

$JDE = JD + \frac{69^{s}}{86400\tfrac{s}{d}} = 2460050.344548611$

Damit sind die julianischen Jahrhunderte $T$ bezüglich der Epoche $J2000$ gegeben mit

\(\begin{align} T &= \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\\ &= \frac{2460050.344548611 - 2451545.0}{36525}\\ &= 0.23286364267244272 \end{align}\)

Auf den Tabellenseiten für die Planetentheorie DE200 findet man bei Mars für die Grundwinkel $M_2, M_3, M_4, M_5$ und $M_6$ (mittlere Anomalien):

\(\begin{align} M_2 &= 49\overset{\circ}{.}759488 + 58320\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 197\overset{\circ}{.}371512 \cdot T\\ M_3 &= 357\overset{\circ}{.}343488 + 35640\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 358\overset{\circ}{.}928496 \cdot T\\ M_4 &= 19\overset{\circ}{.}387908 + 19080\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 59\overset{\circ}{.}858496 \cdot T\\ M_5 &= 19\overset{\circ}{.}761984 + 2880\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 154\overset{\circ}{.}461996 \cdot T\\ M_6 &= 317\overset{\circ}{.}202012 + 1080\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 141\overset{\circ}{.}669000 \cdot T \end{align}\)

Das ergibt

\(\begin{align} M_2 &= 13676\overset{\circ}{.}327777900946\\ &= 356\overset{\circ}{.}3277779009459\\ M_3 &= 8740\overset{\circ}{.}185109883361\\ &= 100\overset{\circ}{.}18510988336129\\ M_4 &= 4476\overset{\circ}{.}365077613661\\ &= 156\overset{\circ}{.}36507761366101\\ M_5 &= 726\overset{\circ}{.}377850953742\\ &= 6\overset{\circ}{.}3778509537420405\\ M_6 &= 601\overset{\circ}{.}6843054800005\\ &= 241\overset{\circ}{.}6843054800005 \end{align}\)

Für große Winkel wurde die Reduktionsfunktion verwendet.

Die Theorie gliedert nun die Störterme in die Keplerterme und die Störungen durch die anderen Planeten. Bei der Summierung der Terme muss akkurat auf die Indizes geachtet werden. Mars hat in dieser Theorie insgesamt 106 Terme, die Indizes sind dabei folgende:

Für die Keplerterme gibt es den Vorfaktor $T^{t_n}$, der nicht vergessen werden darf. Die Potenzen $t_n$ stehen in der letzten Spalte der Tabelle. Die Koeffizienten $a_n, b_n$ gehören zu den Störungen in Länge, $c_n, d_n$ zu den Störungen in der Breite sowie $e_n, f_n$ zu den Störungen im Radiusvektor. Da für die Keplerterme alle Koeffizienten $s_n = 0$ sind, können die Argumente $s_n\cdot M_s$ in den Sinus- bzw. Cosinusfunktionen der Keplerterme weggelassen werden. Die Summen der Keplerterme ergibt (in Bogensekunden bzw. in $10^{-6}\;\textsf{AE}$) daher

\(\begin{align} dl &= 13936\overset{''}{.}942521868405 \\ db &= 6053\overset{''}{.}4243949685515 \\ dr &= 125653.09257656247 \end{align}\)

Nun zu den Störtermen der einzelnen Planeten. Die Koeffizienten $t_n$ sind hier für Mars alle $0$, daher kann man in den Gleichungen das Argument $t_n\cdot M_t$ weglassen. Der Koeffizient $p_n$ gehört zu dem berechneten Planeten $M_p = M_4$, also Mars, und $s_n$ gehört zum jeweils störenden Planeten: $s_n\cdot M_2$ für Venus, $s_n\cdot M_3$ für die Erde, usw.

Die Summen der Störterme werden nun sukzessive zu den Keplertermen addiert:

$+$ Störungen von Venus: (Terme 13-24)
\(\begin{align} dl &= 13940\overset{''}{.}866562002506 \\ db &= 6053\overset{''}{.}349384658571 \\ dr &= 125650.24540905896 \end{align}\)

$+$ Störungen von der Erde: (Terme 25-65)
\(\begin{align} dl &= 13933\overset{''}{.}00786489857 \\ db &= 6053\overset{''}{.}45191658226 \\ dr &= 125616.29705811165 \end{align}\)

$+$ Störungen von Jupiter: (Terme 66-94)
\(\begin{align} dl &= 13923\overset{''}{.}32893440705 \\ db &= 6053\overset{''}{.}461033576 \\ dr &= 125600.1079410788 \end{align}\)

$+$ Störungen von Saturn: (Terme 95-106)
\(\begin{align} dl &= 13923\overset{''}{.}56281704515 \\ db &= 6053\overset{''}{.}472641929037 \\ dr &= 125599.92116490671 \end{align}\)

Die heliozentrischen Koordinaten sind nun gegeben durch die Gleichungen, die man unter den entsprechenden Tabellen findet. Für Mars hat man hier noch die Zusatzkorrektur $\Delta l$ zu berechnen:

\(\begin{align} \Delta l = &+52\overset{''}{.}49\cdot \sin(67\overset{\circ}{.}248 + 19\overset{\circ}{.}764\cdot T)\\ &+ 0\overset{''}{.}61\cdot \sin(331\overset{\circ}{.}92 + 119\overset{\circ}{.}052\cdot T)\\ &+ 0\overset{''}{.}32\cdot \sin(170\overset{\circ}{.}316 + 773\overset{\circ}{.}46\cdot T)\\ &+ 0\overset{''}{.}28\cdot \sin(340\overset{\circ}{.}812 + 40\overset{\circ}{.}788\cdot T)\\ &= 49\overset{''}{.}77426176362845 \end{align}\)

Schließlich erhält man die heliozentrischen Koordinaten von Mars für den gegebenen Zeitpunkt mit

\(\begin{align} l_4 &= M_4 + 336\overset{\circ}{.}045276\\ &+ \big(0\overset{''}{.}14 + 6616\overset{''}{.}37\cdot T\\ &+ 0\overset{''}{.}99\cdot T^2 + \Delta l + dl\big)/3600\tfrac{''}{\circ}\\ &= 4816\overset{\circ}{.}719865497411\\ &= 136\overset{\circ}{.}71986549741086 \end{align}\)

\(\begin{align} b_4 &= \big(+596\overset{''}{.}32 - 2\overset{''}{.}92\cdot T\\ &-0\overset{''}{.}10\cdot T^2 + db\big)/3600\tfrac{''}{\circ}\\ &= 1\overset{\circ}{.}846974238206896 \end{align}\)

\(\begin{align} r_4 &= 1.5303352 + 1.31 \cdot T \cdot 10^{-5} + dr\cdot 10^{-6}\\ &= 1.6559381716786254\; \textrm{AE} \end{align}\)