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Mondposition nach Montenbruck & Pfleger
Diese Reihenentwicklungen stammen von den Improved Lunar Ephemeris (ILE) die in den 1960ern Jahren für das Apollo Mondprogramm entwickelt wurden. O. Montenbruck & T. Pfleger geben diese Summenterme in ihrem Buch »Astronomie auf dem PC« wieder.
$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}$$
Störungen der mittleren Längen
| \(\begin{align} m &= 134\overset{\circ}{.}96292 + 477198\overset{\circ}{.}86753\cdot T + 33\overset{''}{.}25\cdot T^2/3600''\\ l &= 218\overset{\circ}{.}31617\ + 481267\overset{\circ}{.}88088\cdot T - 4\overset{''}{.}06\cdot T^2/3600''\\ M &= 357\overset{\circ}{.}52543\ + 35999\overset{\circ}{.}04944\cdot T - 0\overset{''}{.}58\cdot T^2/3600'' \\ L &= 280\overset{\circ}{.}4659\ + 36000\overset{\circ}{.}76953\cdot T + 1\overset{''}{.}09\cdot T^2/3600'' \\ \Omega &= 125\overset{\circ}{.}04334\ - 1934\overset{\circ}{.}13785\cdot T + 7\overset{''}{.}5\cdot T^2/3600'' \\ D = l - L &= 297\overset{\circ}{.}85027\ + 445267\overset{\circ}{.}11135\cdot T - 5\overset{''}{.}15\cdot T^2/3600'' \\ F = l - \Omega &= 93\overset{\circ}{.}27283\ + 483202\overset{\circ}{.}01873\cdot T - 11\overset{''}{.}56\cdot T^2/3600'' \end{align}\) |
Die Bedeutung der mittleren Bahnelemente sind in diesem Abschnitt beschrieben. Die oben angegebenen mittleren Längen unterliegen eigenen Störungen, die korrigiert werden müssen. Dazu werden noch weitere Hilfswerte benötigt:
| \[\begin{align} Q_1 &= 71\overset{\circ}{.}399992662 + 20\overset{\circ}{.}199993462\cdot T \\ Q_2 &= 153\overset{\circ}{.}651286737 - 150\overset{\circ}{.}679479663\cdot T \\ Q_3 &= 53\overset{\circ}{.}7933283741 - 1800\overset{\circ}{.}0\cdot T - 135\overset{\circ}{.}0399484259\cdot T + 7\overset{''}{.}434536643\cdot T^2/3600'' \\ Q_4 &= 100\overset{\circ}{.}327834231 + 16\overset{\circ}{.}218247831\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\ Q_5 &= 60\overset{\circ}{.}579116386 - 132\overset{\circ}{.}861235214\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\ Q_6 &= 330\overset{\circ}{.}500001582 + 119\overset{\circ}{.}000001582\cdot T \\ Q_7 &= 236\overset{\circ}{.}321484183 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T - 170\overset{\circ}{.}433620217\cdot T \\ Q_8 &= 222\overset{\circ}{.}721236567 - 282\overset{\circ}{.}549880233\cdot T \\ Q_9 &= 281\overset{\circ}{.}854104885 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T -314\overset{\circ}{.}107509915\cdot T \\ N &= 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3\cdot T \end{align}\] |
Die korrigierten Mittelwerte werden dann durch Addition bestimmt: \[\begin{align} l' &= l + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta l_n}{3600''} \ G_n \\ m' &= m + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta m_n}{3600''} \ G_n \\ M' &= M + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta M_n}{3600''} \ G_n \\ D' &= D + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta D_n}{3600''} \ G_n \\ F' &= F + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta F_n}{3600''} \ G_n \end{align}\]
und die korrespondierenden Koeffizienten aus der Tabelle für die Störungsterme entnommen:
| n | $\Delta l_n['']$ | $\Delta m_n['']$ | $\Delta M_n['']$ | $\Delta F_n['']$ | $\Delta D_n['']$ | $G_n$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $01$ | $+7.261$ | $+9.337$ | $+0.00$ | $-88.699$ | $+7.261$ | $\sin(\Omega)$ |
| $02$ | $+0.282$ | $+1.122$ | $+0.00$ | $-15.298$ | $+0.280$ | $\sin(N + \Omega)$ |
| $03$ | $+0.840$ | $+2.940$ | $-6.40$ | $+0.210$ | $+7.240$ | $\sin(Q_1)$ |
| $04$ | $+0.370$ | $+0.830$ | $-1.89$ | $+0.237$ | $+2.127$ | $\sin(Q_2)$ |
| $05$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+0.00$ | $-1.860$ | $+0.000$ | $\sin(Q_3)$ |
| $06$ | $+0.310$ | $+0.310$ | $+0.00$ | $+0.310$ | $+0.310$ | $\sin(Q_4)$ |
| $07$ | $+14.270$ | $+14.388$ | $+0.00$ | $+14.100$ | $+14.270$ | $\sin(Q_5)$ |
| $08$ | $+0.040$ | $+0.140$ | $-0.27$ | $+0.040$ | $+0.310$ | $\sin(Q_6)$ |
| $09$ | $+0.026$ | $+0.091$ | $+0.20$ | $+0.026$ | $-0.174$ | $\sin(Q_7)$ |
| $10$ | $+0.108$ | $+0.108$ | $+0.108$ | $+0.108$ | $+0.108$ | $\sin(Q_8)$ |
| $11$ | $+0.126$ | $+0.126$ | $+0.126$ | $+0.126$ | $+0.126$ | $\sin(Q_9)$ |
Planetare Störungen
| \(\begin{align} \text{Störungsterm: } V &= 134\overset{\circ}{.}25 + 38\overset{\circ}{.}5\cdot T \\\\ \text{Venus: } M_2 &= 179\overset{\circ}{.}8849972242 + 58320\overset{\circ}{.}0\cdot T + 197\overset{\circ}{.}8158694482\cdot T\\\\ \text{Erde: } M_3 &= 98\overset{\circ}{.}3716361111 + 35640\overset{\circ}{.}0\cdot T + 359\overset{\circ}{.}3728833347\cdot T\\\\ \text{Mars: } M_4 &= 353\overset{\circ}{.}3610202404 + 19080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 60\overset{\circ}{.}3113452404\cdot T\\\\ \text{Jupiter: } M_5 &= 32\overset{\circ}{.}2594777798 + 2880\overset{\circ}{.}0\cdot T + 154\overset{\circ}{.}9071583378\cdot T + 0\overset{\circ}{.}33 \cdot\sin(V) \\\\ \text{Saturn: } M_6 &= 47\overset{\circ}{.}9866138904 + 1080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 142\overset{\circ}{.}1171055596\cdot T - 0\overset{\circ}{.}83\cdot \sin(V) \end{align}\) |
Die Summenterme sind: (Man achte auf die Indizes!)
| \[\begin{align} \Delta\gamma &= -3.33179\cdot 10^{-6}\cdot\cos(\Omega) - 5.3858\cdot 10^{-7}\cdot\cos(\Omega + N) - 6.4043\cdot 10^{-8}\cdot\sin(Q_3) \\ \Phi_2 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{1}}^{\color{#ff0000}{12}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_2 + \varphi) \\ \Phi_4 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{13}}^{\color{#ff0000}{14}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_4 + \varphi) \\ \Phi_5 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{15}}^{\color{#ff0000}{26}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_5 + \varphi) \end{align}\] |
Die Koeffizienten stammen aus der folgenden Tabelle:
| n | $h_n['']$ | $p_n$ | $q_n$ | $r_n$ | $s_n$ | $a_n$ | $b_n$ | $\varphi[^{\circ}]$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $01$ | $+0.822$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-1$ | $0.0 $ |
| $02$ | $+0.307$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ | $179.8$ |
| $03$ | $+0.348$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+3$ | $-2$ | $272.9$ |
| $04$ | $+0.176$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+4$ | $-3$ | $271.7$ |
| $05$ | $+0.129$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $180.0$ |
| $06$ | $+0.152$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-1$ | $0.0 $ |
| $07$ | $+0.127$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+3$ | $-3$ | $180.0$ |
| $08$ | $+0.136$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $-2$ | $179.5$ |
| $09$ | $+0.662$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+3$ | $-3$ | $180.0$ |
| $10$ | $+0.137$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ | $+2$ | $0.0 $ |
| $11$ | $+0.133$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+1$ | $-1$ | $0.0 $ |
| $12$ | $+0.157$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $-2$ | $179.6$ |
| $13$ | $+0.195$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $180.2$ |
| $14$ | $+0.327$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $224.4$ |
| $15$ | $+0.643$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $178.8$ |
| $16$ | $+0.187$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $359.6$ |
| $17$ | $+0.165$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $241.5$ |
| $18$ | $+0.144$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-1$ | $1.0 $ |
| $19$ | $+0.158$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $179.0$ |
| $20$ | $+0.190$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $180.0$ |
| $21$ | $+0.167$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-1$ | $+1$ | $178.5$ |
| $22$ | $+1.137$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $-2$ | $180.3$ |
| $23$ | $+0.211$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-1$ | $+1$ | $178.4$ |
| $24$ | $+0.436$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $-3$ | $7.5 $ |
| $25$ | $+0.240$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $-2$ | $+2$ | $179.9$ |
| $26$ | $+0.284$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $-2$ | $+3$ | $172.5$ |
Hauptstörungen für den Mond
Hier werden die obigen, korrigierten Mittelwerte verwendet
| \[\begin{align} \Delta\lambda &= \sum_n a_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta S &= \sum_n b_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta\beta &= \sum_n c_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \gamma C &= \sum_n d_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta\sin(\Pi) &= \sum_n e_n\cdot \cos(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \end{align}\] |
und die korrespondierenden Koeffizienten aus der nachfolgenden Tabelle für die Länge $\lambda$ und den Radius $R$ entnommen:
| n | $a_n['']$ | $b_n['']$ | $d_n['']$ | $e_n['']$ | $p_n$ | $q_n$ | $r_n$ | $s_n$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $001$ | $+0.127 $ | $+0.6 $ | $-0.042 $ | $+0.0082 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+6$ |
| $002$ | $+13.902 $ | $+14.06 $ | $-0.001 $ | $+0.2607 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+4$ |
| $003$ | $+0.403 $ | $-4.06 $ | $+0.394 $ | $+0.0023 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+3$ |
| $004$ | $+2369.912 $ | $+2373.36 $ | $+0.601 $ | $+28.2333 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| $005$ | $-125.154 $ | $-112.79 $ | $-0.725 $ | $-0.9781 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ |
| $006$ | $+1.979 $ | $+6.98 $ | $-0.445 $ | $+0.0433 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+4$ |
| $007$ | $+191.953 $ | $+192.72 $ | $+0.029 $ | $+3.0861 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| $008$ | $-8.466 $ | $-13.51 $ | $+0.455 $ | $-0.1093 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ |
| $009$ | $+22639.500 $ | $+22609.07 $ | $+0.079 $ | $+186.5398 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
| $010$ | $+18.609 $ | $+3.59 $ | $-0.094 $ | $+0.0118 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ |
| $011$ | $-4.586.465 $ | $-4.578.13 $ | $-0.077 $ | $+34.3117 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ |
| $012$ | $+3.215 $ | $+5.44 $ | $+0.192 $ | $-0.0386 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-3$ |
| $013$ | $-38.428 $ | $-38.64 $ | $+0.001 $ | $+0.6008 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-4$ |
| $014$ | $-0.393 $ | $-1.43 $ | $-0.092 $ | $+0.0086 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-6$ |
| $015$ | $-0.289 $ | $-1.59 $ | $+0.123 $ | $-0.0053 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+4$ |
| $016$ | $+0.150 $ | $+0.53 $ | $-0.0032$ | $+0.0027 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+3$ |
| $017$ | $-24.420 $ | $-25.10 $ | $+0.040 $ | $-0.3000 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ |
| $018$ | $+18.023 $ | $+17.93 $ | $+0.007 $ | $+0.1494 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+1$ |
| $019$ | $-668.146 $ | $-126.98 $ | $-1.302 $ | $-0.3997 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| $020$ | $+0.560 $ | $+0.32 $ | $-0.001 $ | $-0.0037 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $-1$ |
| $021$ | $-165.145 $ | $-165.06 $ | $+0.054 $ | $+1.9178 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $-2$ |
| $022$ | $-1.877 $ | $-6.46 $ | $-0.416 $ | $+0.0339 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $-4$ |
| $023$ | $+0.213 $ | $+1.02 $ | $-0.074 $ | $+0.0054 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+4$ |
| $024$ | $+14.387 $ | $+14.78 $ | $-0.017 $ | $+0.2833 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| $025$ | $-0.586 $ | $-1.20 $ | $+0.054 $ | $-0.0100 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ |
| $026$ | $+769.016 $ | $+767.96 $ | $+0.107 $ | $+10.1657 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
| $027$ | $+1.750 $ | $+2.01 $ | $-0.018 $ | $+0.0155 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ |
| $028$ | $-211.656 $ | $-152.53 $ | $+5.679 $ | $-0.3039 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ |
| $029$ | $+1.225 $ | $+0.91 $ | $-0.030 $ | $-0.0088 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-3$ |
| $030$ | $-30.773 $ | $-34.07 $ | $-0.308 $ | $+0.3722 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-4$ |
| $031$ | $-0.570 $ | $-1.40 $ | $-0.074 $ | $+0.0109 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-6$ |
| $032$ | $-2.921 $ | $-11.75 $ | $+0.787 $ | $-0.0484 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ |
| $033$ | $+1.627 $ | $+1.52 $ | $-0.022 $ | $+0.0164 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $+1$ |
| $034$ | $-109.673 $ | $-115.18 $ | $+0.461 $ | $-0.9490 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| $035$ | $+0.137 $ | $-0.12 $ | $+0.005 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $-1$ |
| $036$ | $-205.962 $ | $-182.36 $ | $+2.056 $ | $+1.4437 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $-2$ |
| $037$ | $+0.233 $ | $+0.36 $ | $+0.012 $ | $-0.0025 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $-3$ |
| $038$ | $-4.391 $ | $-9.66 $ | $-0.471 $ | $+0.0673 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $-4$ |
| $039$ | $+0.283 $ | $+1.53 $ | $-0.111 $ | $+0.0060 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $+4$ |
| $040$ | $+14.577 $ | $+31.70 $ | $-1.540 $ | $+0.2302 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ |
| $041$ | $+147.687 $ | $+138.76 $ | $+0.679 $ | $+1.1528 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ |
| $042$ | $-1.089 $ | $+0.55 $ | $+0.021 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $-1$ |
| $043$ | $+28.475 $ | $+23.59 $ | $-0.443 $ | $-0.2257 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $-2$ |
| $044$ | $-0.276 $ | $-0.38 $ | $-0.006 $ | $-0.0036 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $-3$ |
| $045$ | $+0.636 $ | $+2.27 $ | $-0.146 $ | $-0.0102 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $-4$ |
| $046$ | $-0.189 $ | $-1.68 $ | $+0.131 $ | $-0.0028 $ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $+2$ |
| $047$ | $-7.486 $ | $-0.66 $ | $-0.037 $ | $-0.0086 $ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ |
| $048$ | $-8.096 $ | $-16.35 $ | $-0.740 $ | $+0.0918 $ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $-2$ |
| $049$ | $-0.151 $ | $-0.65 $ | $-0.044 $ | $+0.0028 $ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $-4$ |
| $050$ | $-5.741 $ | $-0.04 $ | $+0.000 $ | $-0.0009 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ |
| $051$ | $+0.255 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+1$ |
| $052$ | $-411.608 $ | $-0.20 $ | $+0.000 $ | $-0.0124 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| $053$ | $+0.584 $ | $+0.84 $ | $+0.000 $ | $+0.0071 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-1$ |
| $054$ | $-55.173 $ | $-52.14 $ | $+0.000 $ | $-0.1052 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ |
| $055$ | $+0.254 $ | $+0.25 $ | $+0.000 $ | $-0.0017 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-3$ |
| $056$ | $+0.025 $ | $-1.67 $ | $+0.000 $ | $+0.0031 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-4$ |
| $057$ | $+1.060 $ | $+2.96 $ | $-0.166 $ | $+0.0243 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| $058$ | $+36.124 $ | $+50.64 $ | $-1.300 $ | $+0.6215 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
| $059$ | $+0.130 $ | $+0.19 $ | $-0.005 $ | $+0.0017 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ |
| $060$ | $-13.193 $ | $-16.40 $ | $+0.258 $ | $-0.1187 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ |
| $061$ | $-1.187 $ | $-0.74 $ | $+0.042 $ | $+0.0074 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $-4$ |
| $062$ | $-0.293 $ | $-0.31 $ | $-0.002 $ | $+0.0046 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $-6$ |
| $063$ | $-0.161 $ | $-0.16 $ | $+0.002 $ | $+0.0020 $ | $+2$ | $+2$ | $+0$ | $-4$ |
| $064$ | $-0.290 $ | $-1.45 $ | $+0.116 $ | $-0.0051 $ | $+2$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ |
| $065$ | $-7.649 $ | $-10.56 $ | $+0.259 $ | $-0.1038 $ | $+2$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| $066$ | $-8.627 $ | $-7.59 $ | $+0.078 $ | $-0.0192 $ | $+2$ | $+1$ | $+0$ | $-2$ |
| $067$ | $-2.740 $ | $-2.54 $ | $+0.022 $ | $+0.0324 $ | $+2$ | $+1$ | $+0$ | $-4$ |
| $068$ | $+1.181 $ | $+3.32 $ | $-0.212 $ | $+0.0213 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ |
| $069$ | $+9.703 $ | $+11.67 $ | $-0.151 $ | $+0.1268 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ |
| $070$ | $-0.352 $ | $-0.37 $ | $+0.001 $ | $-0.0028 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $-1$ |
| $071$ | $-2.494 $ | $-1.17 $ | $-0.003 $ | $-0.0017 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $-2$ |
| $072$ | $+0.360 $ | $+0.20 $ | $-0.012 $ | $-0.0043 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $-4$ |
| $073$ | $-1.167 $ | $-1.25 $ | $+0.008 $ | $-0.0106 $ | $+1$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ |
| $074$ | $-7.412 $ | $-6.12 $ | $+0.117 $ | $+0.0484 $ | $+1$ | $+2$ | $+0$ | $-2$ |
| $075$ | $-0.311 $ | $-0.65 $ | $-0.032 $ | $+0.0044 $ | $+1$ | $+2$ | $+0$ | $-4$ |
| $076$ | $+0.757 $ | $+1.82 $ | $+0.105 $ | $+0.0112 $ | $+1$ | $-2$ | $+0$ | $+2$ |
| $077$ | $+2.580 $ | $+2.32 $ | $-0.027 $ | $+0.0196 $ | $+1$ | $-2$ | $+0$ | $+0$ |
| $078$ | $+2.533 $ | $+2.40 $ | $-0.014 $ | $-0.0212 $ | $+1$ | $-2$ | $+0$ | $-2$ |
| $079$ | $-0.344 $ | $-0.57 $ | $-0.025 $ | $+0.0036 $ | $+0$ | $+3$ | $+0$ | $-2$ |
| $080$ | $-0.992 $ | $-0.02 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ |
| $081$ | $-45.099 $ | $-0.02 $ | $+0.000 $ | $-0.0010 $ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| $082$ | $-0.179 $ | $-9.52 $ | $+0.000 $ | $-0.0833 $ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ |
| $083$ | $-0.301 $ | $-0.33 $ | $+0.000 $ | $+0.0014 $ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $-4$ |
| $084$ | $-6.382 $ | $-3.37 $ | $+0.000 $ | $-0.0481 $ | $+1$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ |
| $085$ | $+39.528 $ | $+85.13 $ | $+0.000 $ | $-0.7136 $ | $+1$ | $+0$ | $-2$ | $+0$ |
| $086$ | $+9.366 $ | $+0.71 $ | $+0.000 $ | $-0.0112 $ | $+1$ | $+0$ | $-2$ | $-2$ |
| $087$ | $+0.202 $ | $+0.02 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $+0$ | $-2$ | $-4$ |
| $088$ | $+0.415 $ | $+0.10 $ | $+0.000 $ | $+0.0013 $ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $+0$ |
| $089$ | $-2.152 $ | $-2.26 $ | $+0.000 $ | $-0.0066 $ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $-2$ |
| $090$ | $-1.440 $ | $-1.30 $ | $+0.000 $ | $+0.0014 $ | $+0$ | $+1$ | $-2$ | $+2$ |
| $091$ | $+0.384 $ | $-0.04 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+0$ | $+1$ | $-2$ | $-2$ |
| $092$ | $+1.938 $ | $+3.60 $ | $-0.145 $ | $+0.0401 $ | $+4$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
| $093$ | $-0.952 $ | $-1.58 $ | $+0.052 $ | $-0.0130 $ | $+4$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ |
| $094$ | $-0.551 $ | $-0.94 $ | $+0.032 $ | $-0.0097 $ | $+3$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| $095$ | $-0.482 $ | $-0.57 $ | $+0.005 $ | $-0.0045 $ | $+3$ | $+1$ | $+0$ | $-2$ |
| $096$ | $-0.100 $ | $-0.08 $ | $+0.003 $ | $+0.0006 $ | $+3$ | $+1$ | $+0$ | $-4$ |
| $097$ | $+0.681 $ | $+0.96 $ | $-0.026 $ | $+0.0115 $ | $+3$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ |
| $098$ | $+0.183 $ | $-0.23 $ | $-0.003 $ | $-0.0017 $ | $+3$ | $-1$ | $+0$ | $-2$ |
| $099$ | $+0.197 $ | $-0.09 $ | $+0.002 $ | $-0.0009 $ | $+2$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ |
| $100$ | $-0.297 $ | $-0.27 $ | $+0.002 $ | $-0.0009 $ | $+2$ | $+2$ | $+0$ | $-2$ |
| $101$ | $+0.254 $ | $+0.21 $ | $+0.003 $ | $+0.0000 $ | $+2$ | $-2$ | $+0$ | $-2$ |
| $102$ | $-0.250 $ | $-0.22 $ | $+0.004 $ | $+0.0014 $ | $+1$ | $+3$ | $+0$ | $-2$ |
| $103$ | $-0.123 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0004 $ | $+2$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ |
| $104$ | $-3.996 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0004 $ | $+2$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| $105$ | $+0.557 $ | $-0.75 $ | $+0.000 $ | $-0.0090 $ | $+2$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ |
| $106$ | $-0.459 $ | $-0.38 $ | $+0.000 $ | $-0.0053 $ | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ |
| $107$ | $-1.298 $ | $+0.74 $ | $+0.000 $ | $+0.0004 $ | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $+0$ |
| $108$ | $+0.538 $ | $+1.14 $ | $+0.000 $ | $-0.0141 $ | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $-2$ |
| $109$ | $+0.173 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0002 $ | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $-4$ |
| $110$ | $+0.263 $ | $+0.02 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $+1$ | $+2$ | $+0$ |
| $111$ | $+0.426 $ | $+0.07 $ | $+0.000 $ | $-0.0006 $ | $+1$ | $+1$ | $-2$ | $-2$ |
| $112$ | $-0.304 $ | $+0.03 $ | $+0.000 $ | $+0.0003 $ | $+1$ | $-1$ | $+2$ | $+0$ |
| $113$ | $-0.372 $ | $-0.19 $ | $+0.000 $ | $-0.0027 $ | $+1$ | $-1$ | $-2$ | $+2$ |
| $114$ | $+0.418 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+0$ | $+0$ | $+4$ | $+0$ |
| $115$ | $-0.330 $ | $-0.04 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+3$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| $116$ | $+0.113 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+5$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
Die folgende Tabelle gilt für die Breite $\beta$:
| n | $c_n['']$ | $p_n$ | $q_n$ | $r_n$ | $s_n$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $01$ | $-526.069$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ |
| $02$ | $+44.297 $ | $+1$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ |
| $03$ | $+20.599 $ | $-1$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ |
| $04$ | $-24.649 $ | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ |
| $05$ | $-22.571 $ | $+0$ | $+1$ | $+1$ | $-2$ |
| $06$ | $-3.352 $ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-4$ |
| $07$ | $-6.000 $ | $+1$ | $+0$ | $+1$ | $-4$ |
| $08$ | $-30.598 $ | $-1$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ |
| $09$ | $-2.000 $ | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ |
| $10$ | $+10.985 $ | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $-2$ |
Die geozentrischen Koordinaten des Mondes
| \[P = 1.000002208^{|p_n|}\cdot (1.0 - 0.002495388\cdot (T+1))^{|q_n|}\cdot (1.000002708 + 139.978\cdot \Delta\gamma)^{|r_n|}\] |
Der Faktor $P$ ist aufgrund der Exponenten in $P$ mit jedem einzelnen Term in der obigen Reihenentwicklung von $\Delta\lambda$, $\Delta S$, $\gamma C$ und $\Delta \sin(\Pi)$ zu multiplizieren.
| \[\begin{align} \lambda &= l' + \frac{\Delta\lambda + \Phi_2 + \Phi_4 + \Phi_5 + \Delta\lambda_N}{3600''} \\\\ \beta &= \frac{(1.000002708 + 139.978\Delta\gamma)\cdot (18519\overset{''}{.}7 + \gamma C)}{3600''}\cdot \sin(U) \\ & - \frac{6\overset{''}{.}24}{3600''}\cdot \sin\big(3 \cdot U \big) + \frac{4\overset{''}{.}0}{3600''}\cdot 10^{-3}\cdot \sin\big(5 \cdot U\big) + \frac{\Delta\beta}{3600''} \quad \text{mit} \quad U = \frac{\Delta S}{3600} + F \\\\ \Delta &= \frac{6378.14\text{ km}}{\sin(\Pi)} \quad \textsf{mit} \quad \sin(\Pi) = \left(0.999953253\cdot0\overset{\circ}{.}95075 + \frac{\Delta\sin(\Pi)}{3600''}\right) \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \end{align}\] |
$\Delta \sin(\Pi)$ in der obigen Gleichung ist als ein einziger Wert oder einzige Variable zu verstehen. Deshalb wird hier $\sin(\Pi)$ separat berechnet und daraus dann der Abstand $\Delta$ bestimmt. Der Korrekturfaktor $0.999953253$ für die Parallaxe $\Pi$ und den Mondabstand $\Delta$ entstand durch die Überarbeitung der Brownschen Mondtheorie in der ILE und muss lt.Montenbruck/Pfleger zum konstanten Wert $3422\overset{''}{.}77 = 0\overset{\circ}{.}95075$ multipliziert werden, obwohl der Wert nahe Eins liegt. Nimmt man - wie in der ILE vorgeschlagen - den Wert $3422\overset{''}{.}54$, so entfällt der Multiplikator.
Beispiel
Man berechne die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten des Mondes für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) mit der Methode von Montenbruck/Pfleger
Für den gegebenen Zeitpunkt wurde der Julianische Tag hier bereits ermittelt zu $JD=2460050.34375$. Im Jahr 2023 war der Wert von $\Delta T = 69^{s}$, diese müssen hinzugefügt werden, um die Position der Mondes in der gleichmäßigen Skala der dynamischen Zeit $TD$ zu erhalten. Ein Tag hat 86400 Sekunden, daher folgt
\(\begin{align} JDE &= 2460050.34375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\&= 2460050.34455 \end{align}\)
Daraus erhält man die julianischen Jahrhunderte bezüglich der Epoche $J2000$ zu
\(\begin{align} T &= \frac{(2460050.34455 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.232863642672 \end{align}\)
Für alle großen bzw. negativen Winkelwerte wird im Weiteren die Reduktions-Funktion verwendet, um die Werte auf das Intervall [0°-360°] zu bringen.
Mittels $T$ erhält die mittleren Längen $m, l, M, L, \Omega, D$ und $F$ sukzessive
\(\begin{align} m &= 111257\overset{\circ}{.}22999303279\\ &= 17\overset{\circ}{.}229993\\ l &= 112288\overset{\circ}{.}10795180977\\ &= 328\overset{\circ}{.}107952\\ M &= 8740\overset{\circ}{.}395206607433\\ &= 100\overset{\circ}{.}395207\\ L &= 8663\overset{\circ}{.}736248185152\\ &= 23\overset{\circ}{.}736248\\ \Omega &= -325\overset{\circ}{.}3469322119048\\ &= 34\overset{\circ}{.}653068\\ D &= 103984\overset{\circ}{.}37170362461\\ &= 304\overset{\circ}{.}371704\\ F &= 112613\overset{\circ}{.}45488402166\\ &= 293\overset{\circ}{.}454884 \end{align}\)
Für die Hilfswerte $Q_1$ bis $Q_9$ bzw. $N$ erhält man
\(\begin{align} Q_1 &= 76\overset{\circ}{.}103837\\ Q_2 &= 118\overset{\circ}{.}563514\\ Q_3 &= -396\overset{\circ}{.}80701074935945\\ &= 323\overset{\circ}{.}192989\\ Q_4 &= 104\overset{\circ}{.}104972\\ Q_5 &= 29\overset{\circ}{.}641063\\ Q_6 &= 358\overset{\circ}{.}210775\\ Q_7 &= 28\overset{\circ}{.}971868\\ Q_8 &= 156\overset{\circ}{.}925642\\ Q_9 &= 41\overset{\circ}{.}048063\\ N &= 272\overset{\circ}{.}214414 \end{align}\)
Die Korrekturen der mittleren Längen sind die Summe der 11 Terme der ersten Tabelle.
\(\begin{align} \sum_{1}^{11} \frac{\Delta l_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00348276\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta m_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00432656\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta M_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = -0\overset{\circ}{.}00212285\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta D_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00560835\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta F_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = -0\overset{\circ}{.}00812755 \end{align}\)
Daraus ergeben sich die korrigierten Winkel zu
\(\begin{align} m' &= 17\overset{\circ}{.}234320\\ l' &= 328\overset{\circ}{.}111435\\ M' &= 100\overset{\circ}{.}393084\\ D' &= 304\overset{\circ}{.}377312\\ F' &= 293\overset{\circ}{.}446756 \end{align}\)
Die planetaren Störungen $V, M_2, M_3, M_4, M_5$ und der Faktor $\Delta \gamma$ sind
\(\begin{align} V &= 143\overset{\circ}{.}215250\\ M_2 &= 13806\overset{\circ}{.}556761819184\\ &= 126\overset{\circ}{.}556762\\ M_3 &= 8481\overset{\circ}{.}316739647977\\ &= 201\overset{\circ}{.}316740\\ M_4 &= 4810\overset{\circ}{.}443641977762\\ &= 130\overset{\circ}{.}443642\\ M_5 &= 739\overset{\circ}{.}1766212912058\\ &= 19\overset{\circ}{.}176621\\ Δγ &= -3.0255243\cdot 10^{-6} \end{align}\)
Bei den Termen für die planetaren Störungen ist darauf zu achten, dass die Summierung über verschiedene Indizes läuft: $\Phi_2$ geht von 1-12, $\Phi_4$ von 13-14 sowie $\Phi_5$ von 15-26.
\(\begin{align} \Phi_2 &= -0\overset{\circ}{.}17383184773270005\\ &= 359\overset{\circ}{.}826168\\ \Phi_4 &= -0\overset{\circ}{.}19606005774737872\\ &= 359\overset{\circ}{.}803940\\ \Phi_5 &= 0\overset{\circ}{.}108794 \end{align}\)
Nun bildet man die Summen der Werte aus der großen Tabelle mit 116 Termen. Dabei wird der Faktor $P$ mit jedem Term multipliziert, man erhält
\(\begin{align} \Delta\lambda &= 991\overset{''}{.}324785\\ \Delta S &= 1225\overset{''}{.}090898\\ \gamma C &= -0\overset{''}{.}727399\\ \Delta\sin \Pi &= 152\overset{''}{.}594321 \end{align}\)
Das $\Delta\beta$ wird separat mithilfe der zugehörigen Tabelle (10 Terme) ermittelt.
$\Delta\beta = -365\overset{''}{.}718418$
Schließlich erhält man die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten mit den oben angegebenen Gleichungen. Der Fator $U$ wird für die Breite $\beta$ benötigt mit
\(\begin{align} U &= \frac{\Delta S}{3600} + F\\ &= 293\overset{\circ}{.}795187 \end{align}\)
Es ergeben sich damit
\(\begin{align} \lambda &= 328\overset{\circ}{.}386730\\ \beta &= -4\overset{\circ}{.}807033\\ \Delta &= 368001.4\;\textsf{km} \end{align}\)
Man vergleiche diese Werte mit jenen aus Mondposition nach Meeus.
| Größe | Meeus | Montenbruck/Pfleger |
|---|---|---|
| $\lambda =$ | $328\overset{\circ}{.}387212$ | $328\overset{\circ}{.}386730$ |
| $\beta =$ | $−4\overset{\circ}{.}806013$ | $-4\overset{\circ}{.}807033$ |
| $\Delta =$ | $367995.8\;\textsf{km}$ | $368001.4\;\textsf{km}$ |