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Mondposition nach Montenbruck & Pfleger
Diese Reihenentwicklungen stammen von den Improved Lunar Ephemeris (ILE) die in den 60ern des letzten Jahrhunderts für das Apollo Mondprogramm entwickelt wurden. O. Montenbruck & T. Pfleger geben diese Summenterme in ihrem Buch »Astronomie auf dem PC« wieder.
$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}$$
Störungen der mittleren Längen
| \(\begin{align} m &= 134\overset{\circ}{.}96292 + 477000\overset{\circ}{.}0\cdot T + 198\overset{\circ}{.}86753\cdot T + 33\overset{''}{.}25\cdot T^2/3600'' \\ l &= 218\overset{\circ}{.}31617\ + 480960\overset{\circ}{.}0\cdot T + 307\overset{\circ}{.}88088\cdot T - 4\overset{''}{.}06\cdot T^2/3600''\\ M &= 357\overset{\circ}{.}52543\ + 35640\overset{\circ}{.}0\cdot T + 359\overset{\circ}{.}04944\cdot T - 0\overset{''}{.}58\cdot T^2/3600'' \\ L &= 280\overset{\circ}{.}4659\ + 36000\overset{\circ}{.}0\cdot T + 0\overset{\circ}{.}76953\cdot T + 1\overset{''}{.}09\cdot T^2/3600'' \\ \Omega &= 125\overset{\circ}{.}04334\ - 1800\overset{\circ}{.}0\cdot T - 134\overset{\circ}{.}13785\cdot T + 7\overset{''}{.}5\cdot T^2/3600'' \\ D = l - L &= 297\overset{\circ}{.}85027\ + 444960\overset{\circ}{.}0\cdot T + 307\overset{\circ}{.}11135\cdot T - 5\overset{''}{.}15\cdot T^2/3600'' \\ F = l - \Omega &= 93\overset{\circ}{.}27283\ + 483120\overset{\circ}{.}0\cdot T + 82\overset{\circ}{.}01873\cdot T - 11\overset{''}{.}56\cdot T^2/3600'' \end{align}\) |
Die Bedeutung der mittleren Bahnelemente sind in diesem Abschnitt beschrieben. Die oben angegebenen mittleren Längen unterliegen eigenen Störungen, die korrigiert werden müssen. Dazu werden noch weitere Hilfswerte benötigt:
| \[\begin{align} Q_1 &= 71\overset{\circ}{.}399992662 + 20\overset{\circ}{.}199993462\cdot T \\ Q_2 &= 153\overset{\circ}{.}651286737 - 150\overset{\circ}{.}679479663\cdot T \\ Q_3 &= 53\overset{\circ}{.}7933283741 - 1800\overset{\circ}{.}0\cdot T - 135\overset{\circ}{.}0399484259\cdot T + 7\overset{''}{.}434536643\cdot T^2/3600'' \\ Q_4 &= 100\overset{\circ}{.}327834231 + 16\overset{\circ}{.}218247831\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\ Q_5 &= 60\overset{\circ}{.}579116386 - 132\overset{\circ}{.}861235214\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\ Q_6 &= 330\overset{\circ}{.}500001582 + 119\overset{\circ}{.}000001582\cdot T \\ Q_7 &= 236\overset{\circ}{.}321484183 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T - 170\overset{\circ}{.}433620217\cdot T \\ Q_8 &= 222\overset{\circ}{.}721236567 - 282\overset{\circ}{.}549880233\cdot T \\ Q_9 &= 281\overset{\circ}{.}854104885 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T -314\overset{\circ}{.}107509915\cdot T \\ N &= 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3\cdot T \end{align}\] |
Die korrigierten Mittelwerte werden dann durch Addition bestimmt: \[\begin{align} l' &= l + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta l_n}{3600''} \ G_n \\ m' &= m + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta m_n}{3600''} \ G_n \\ M' &= M + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta M_n}{3600''} \ G_n \\ D' &= D + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta D_n}{3600''} \ G_n \\ F' &= F + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta F_n}{3600''} \ G_n \end{align}\]
und die korrespondierenden Koeffizienten aus der Tabelle für die Störungsterme entnommen:
| n | $\Delta l_n['']$ | $\Delta m_n['']$ | $\Delta M_n['']$ | $\Delta F_n['']$ | $\Delta D_n['']$ | $G_n$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $01$ | $+7.261$ | $+9.337$ | $+0.00$ | $-88.699$ | $+7.261$ | $\sin(\Omega)$ |
| $02$ | $+0.282$ | $+1.122$ | $+0.00$ | $-15.298$ | $+0.280$ | $\sin(N + \Omega)$ |
| $03$ | $+0.840$ | $+2.940$ | $-6.40$ | $+0.210$ | $+7.240$ | $\sin(Q_1)$ |
| $04$ | $+0.370$ | $+0.830$ | $-1.89$ | $+0.237$ | $+2.127$ | $\sin(Q_2)$ |
| $05$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+0.00$ | $-1.860$ | $+0.000$ | $\sin(Q_3)$ |
| $06$ | $+0.310$ | $+0.310$ | $+0.00$ | $+0.310$ | $+0.310$ | $\sin(Q_4)$ |
| $07$ | $+14.270$ | $+14.388$ | $+0.00$ | $+14.100$ | $+14.270$ | $\sin(Q_5)$ |
| $08$ | $+0.040$ | $+0.140$ | $-0.27$ | $+0.040$ | $+0.310$ | $\sin(Q_6)$ |
| $09$ | $+0.026$ | $+0.091$ | $+0.20$ | $+0.026$ | $-0.174$ | $\sin(Q_7)$ |
| $10$ | $+0.108$ | $+0.108$ | $+0.108$ | $+0.108$ | $+0.108$ | $\sin(Q_8)$ |
| $11$ | $+0.126$ | $+0.126$ | $+0.126$ | $+0.126$ | $+0.126$ | $\sin(Q_9)$ |
Planetare Störungen
| \(\begin{align} \text{Störungsterm: } V &= 134\overset{\circ}{.}25 + 38\overset{\circ}{.}5\cdot T \\\\ \text{Venus: } M_2 &= 179\overset{\circ}{.}8849972242 + 58320\overset{\circ}{.}0\cdot T + 197\overset{\circ}{.}8158694482\cdot T\\\\ \text{Erde: } M_3 &= 98\overset{\circ}{.}3716361111 + 35640\overset{\circ}{.}0\cdot T + 359\overset{\circ}{.}3728833347\cdot T\\\\ \text{Mars: } M_4 &= 353\overset{\circ}{.}3610202404 + 19080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 60\overset{\circ}{.}3113452404\cdot T\\\\ \text{Jupiter: } M_5 &= 32\overset{\circ}{.}2594777798 + 2880\overset{\circ}{.}0\cdot T + 154\overset{\circ}{.}9071583378\cdot T + 0\overset{\circ}{.}33 \cdot\sin(V) \\\\ \text{Saturn: } M_6 &= 47\overset{\circ}{.}9866138904 + 1080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 142\overset{\circ}{.}1171055596\cdot T - 0\overset{\circ}{.}83\cdot \sin(V) \end{align}\) |
Die Summenterme sind:
| \[\begin{align} \Delta\gamma &= -3.33179\cdot 10^{-6}\cdot\cos(\Omega) - 5.3858\cdot 10^{-7}\cdot\cos(\Omega + N) - 6.4043\cdot 10^{-8}\cdot\sin(Q_3) \\ \Phi_2 &= \sum_{n=1}^{12} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_2 + \varphi) \\ \Phi_4 &= \sum_{n=13}^{14} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_4 + \varphi) \\ \Phi_5 &= \sum_{n=15}^{26} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_5 + \varphi) \end{align}\] |
Die Koeffizienten stammen aus der folgenden Tabelle:
| n | $h_n['']$ | $p_n$ | $q_n$ | $r_n$ | $s_n$ | $a_n$ | $b_n$ | $\varphi[^{\circ}]$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $01$ | $+0.822$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-1$ | $0.0 $ |
| $02$ | $+0.307$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ | $179.8$ |
| $03$ | $+0.348$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+3$ | $-2$ | $272.9$ |
| $04$ | $+0.176$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+4$ | $-3$ | $271.7$ |
| $05$ | $+0.129$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $180.0$ |
| $06$ | $+0.152$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-1$ | $0.0 $ |
| $07$ | $+0.127$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+3$ | $-3$ | $180.0$ |
| $08$ | $+0.136$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $-2$ | $179.5$ |
| $09$ | $+0.662$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+3$ | $-3$ | $180.0$ |
| $10$ | $+0.137$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ | $+2$ | $0.0 $ |
| $11$ | $+0.133$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+1$ | $-1$ | $0.0 $ |
| $12$ | $+0.157$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $-2$ | $179.6$ |
| $13$ | $+0.195$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $180.2$ |
| $14$ | $+0.327$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $224.4$ |
| $15$ | $+0.643$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $178.8$ |
| $16$ | $+0.187$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $359.6$ |
| $17$ | $+0.165$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $241.5$ |
| $18$ | $+0.144$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-1$ | $1.0 $ |
| $19$ | $+0.158$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $179.0$ |
| $20$ | $+0.190$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $180.0$ |
| $21$ | $+0.167$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-1$ | $+1$ | $178.5$ |
| $22$ | $+1.137$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $-2$ | $180.3$ |
| $23$ | $+0.211$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-1$ | $+1$ | $178.4$ |
| $24$ | $+0.436$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $-3$ | $7.5 $ |
| $25$ | $+0.240$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $-2$ | $+2$ | $179.9$ |
| $26$ | $+0.284$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $-2$ | $+3$ | $172.5$ |
Hauptstörungen für den Mond
Hier werden die obigen, korrigierten Mittelwerte verwendet
| \[\begin{align} \Delta\lambda &= \sum_n a_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta S &= \sum_n b_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta\beta &= \sum_n c_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \gamma C &= \sum_n d_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta\sin(\Pi) &= \sum_n e_n\cdot \cos(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \end{align}\] |
und die korrespondierenden Koeffizienten aus der nachfolgenden Tabelle für die Länge $\lambda$ und den Radius $R$ entnommen:
| n | $a_n['']$ | $b_n['']$ | $d_n['']$ | $e_n['']$ | $p_n$ | $q_n$ | $r_n$ | $s_n$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $001$ | $+0.127 $ | $+0.6 $ | $-0.042 $ | $+0.0082 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+6$ |
| $002$ | $+13.902 $ | $+14.06 $ | $-0.001 $ | $+0.2607 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+4$ |
| $003$ | $+0.403 $ | $-4.06 $ | $+0.394 $ | $+0.0023 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+3$ |
| $004$ | $+2369.912 $ | $+2373.36 $ | $+0.601 $ | $+28.2333 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| $005$ | $-125.154 $ | $-112.79 $ | $-0.725 $ | $-0.9781 $ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ |
| $006$ | $+1.979 $ | $+6.98 $ | $-0.445 $ | $+0.0433 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+4$ |
| $007$ | $+191.953 $ | $+192.72 $ | $+0.029 $ | $+3.0861 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| $008$ | $-8.466 $ | $-13.51 $ | $+0.455 $ | $-0.1093 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ |
| $009$ | $+22639.500 $ | $+22609.07 $ | $+0.079 $ | $+186.5398 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
| $010$ | $+18.609 $ | $+3.59 $ | $-0.094 $ | $+0.0118 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ |
| $011$ | $-4.586.465 $ | $-4.578.13 $ | $-0.077 $ | $+34.3117 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ |
| $012$ | $+3.215 $ | $+5.44 $ | $+0.192 $ | $-0.0386 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-3$ |
| $013$ | $-38.428 $ | $-38.64 $ | $+0.001 $ | $+0.6008 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-4$ |
| $014$ | $-0.393 $ | $-1.43 $ | $-0.092 $ | $+0.0086 $ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $-6$ |
| $015$ | $-0.289 $ | $-1.59 $ | $+0.123 $ | $-0.0053 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+4$ |
| $016$ | $+0.150 $ | $+0.53 $ | $-0.0032$ | $+0.0027 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+3$ |
| $017$ | $-24.420 $ | $-25.10 $ | $+0.040 $ | $-0.3000 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ |
| $018$ | $+18.023 $ | $+17.93 $ | $+0.007 $ | $+0.1494 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+1$ |
| $019$ | $-668.146 $ | $-126.98 $ | $-1.302 $ | $-0.3997 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| $020$ | $+0.560 $ | $+0.32 $ | $-0.001 $ | $-0.0037 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $-1$ |
| $021$ | $-165.145 $ | $-165.06 $ | $+0.054 $ | $+1.9178 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $-2$ |
| $022$ | $-1.877 $ | $-6.46 $ | $-0.416 $ | $+0.0339 $ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $-4$ |
| $023$ | $+0.213 $ | $+1.02 $ | $-0.074 $ | $+0.0054 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+4$ |
| $024$ | $+14.387 $ | $+14.78 $ | $-0.017 $ | $+0.2833 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| $025$ | $-0.586 $ | $-1.20 $ | $+0.054 $ | $-0.0100 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ |
| $026$ | $+769.016 $ | $+767.96 $ | $+0.107 $ | $+10.1657 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
| $027$ | $+1.750 $ | $+2.01 $ | $-0.018 $ | $+0.0155 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ |
| $028$ | $-211.656 $ | $-152.53 $ | $+5.679 $ | $-0.3039 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ |
| $029$ | $+1.225 $ | $+0.91 $ | $-0.030 $ | $-0.0088 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-3$ |
| $030$ | $-30.773 $ | $-34.07 $ | $-0.308 $ | $+0.3722 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-4$ |
| $031$ | $-0.570 $ | $-1.40 $ | $-0.074 $ | $+0.0109 $ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $-6$ |
| $032$ | $-2.921 $ | $-11.75 $ | $+0.787 $ | $-0.0484 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ |
| $033$ | $+1.627 $ | $+1.52 $ | $-0.022 $ | $+0.0164 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $+1$ |
| $034$ | $-109.673 $ | $-115.18 $ | $+0.461 $ | $-0.9490 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| $035$ | $+0.137 $ | $-0.12 $ | $+0.005 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $-1$ |
| $036$ | $-205.962 $ | $-182.36 $ | $+2.056 $ | $+1.4437 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $-2$ |
| $037$ | $+0.233 $ | $+0.36 $ | $+0.012 $ | $-0.0025 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $-3$ |
| $038$ | $-4.391 $ | $-9.66 $ | $-0.471 $ | $+0.0673 $ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $-4$ |
| $039$ | $+0.283 $ | $+1.53 $ | $-0.111 $ | $+0.0060 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $+4$ |
| $040$ | $+14.577 $ | $+31.70 $ | $-1.540 $ | $+0.2302 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ |
| $041$ | $+147.687 $ | $+138.76 $ | $+0.679 $ | $+1.1528 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ |
| $042$ | $-1.089 $ | $+0.55 $ | $+0.021 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $-1$ |
| $043$ | $+28.475 $ | $+23.59 $ | $-0.443 $ | $-0.2257 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $-2$ |
| $044$ | $-0.276 $ | $-0.38 $ | $-0.006 $ | $-0.0036 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $-3$ |
| $045$ | $+0.636 $ | $+2.27 $ | $-0.146 $ | $-0.0102 $ | $+1$ | $-1$ | $+0$ | $-4$ |
| $046$ | $-0.189 $ | $-1.68 $ | $+0.131 $ | $-0.0028 $ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $+2$ |
| $047$ | $-7.486 $ | $-0.66 $ | $-0.037 $ | $-0.0086 $ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ |
| $048$ | $-8.096 $ | $-16.35 $ | $-0.740 $ | $+0.0918 $ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $-2$ |
| $049$ | $-0.151 $ | $-0.65 $ | $-0.044 $ | $+0.0028 $ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $-4$ |
| $050$ | $-5.741 $ | $-0.04 $ | $+0.000 $ | $-0.0009 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ |
| $051$ | $+0.255 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+1$ |
| $052$ | $-411.608 $ | $-0.20 $ | $+0.000 $ | $-0.0124 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| $053$ | $+0.584 $ | $+0.84 $ | $+0.000 $ | $+0.0071 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-1$ |
| $054$ | $-55.173 $ | $-52.14 $ | $+0.000 $ | $-0.1052 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ |
| $055$ | $+0.254 $ | $+0.25 $ | $+0.000 $ | $-0.0017 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-3$ |
| $056$ | $+0.025 $ | $-1.67 $ | $+0.000 $ | $+0.0031 $ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-4$ |
| $057$ | $+1.060 $ | $+2.96 $ | $-0.166 $ | $+0.0243 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| $058$ | $+36.124 $ | $+50.64 $ | $-1.300 $ | $+0.6215 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
| $059$ | $+0.130 $ | $+0.19 $ | $-0.005 $ | $+0.0017 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $-1$ |
| $060$ | $-13.193 $ | $-16.40 $ | $+0.258 $ | $-0.1187 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ |
| $061$ | $-1.187 $ | $-0.74 $ | $+0.042 $ | $+0.0074 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $-4$ |
| $062$ | $-0.293 $ | $-0.31 $ | $-0.002 $ | $+0.0046 $ | $+3$ | $+0$ | $+0$ | $-6$ |
| $063$ | $-0.161 $ | $-0.16 $ | $+0.002 $ | $+0.0020 $ | $+2$ | $+2$ | $+0$ | $-4$ |
| $064$ | $-0.290 $ | $-1.45 $ | $+0.116 $ | $-0.0051 $ | $+2$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ |
| $065$ | $-7.649 $ | $-10.56 $ | $+0.259 $ | $-0.1038 $ | $+2$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| $066$ | $-8.627 $ | $-7.59 $ | $+0.078 $ | $-0.0192 $ | $+2$ | $+1$ | $+0$ | $-2$ |
| $067$ | $-2.740 $ | $-2.54 $ | $+0.022 $ | $+0.0324 $ | $+2$ | $+1$ | $+0$ | $-4$ |
| $068$ | $+1.181 $ | $+3.32 $ | $-0.212 $ | $+0.0213 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ |
| $069$ | $+9.703 $ | $+11.67 $ | $-0.151 $ | $+0.1268 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ |
| $070$ | $-0.352 $ | $-0.37 $ | $+0.001 $ | $-0.0028 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $-1$ |
| $071$ | $-2.494 $ | $-1.17 $ | $-0.003 $ | $-0.0017 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $-2$ |
| $072$ | $+0.360 $ | $+0.20 $ | $-0.012 $ | $-0.0043 $ | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $-4$ |
| $073$ | $-1.167 $ | $-1.25 $ | $+0.008 $ | $-0.0106 $ | $+1$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ |
| $074$ | $-7.412 $ | $-6.12 $ | $+0.117 $ | $+0.0484 $ | $+1$ | $+2$ | $+0$ | $-2$ |
| $075$ | $-0.311 $ | $-0.65 $ | $-0.032 $ | $+0.0044 $ | $+1$ | $+2$ | $+0$ | $-4$ |
| $076$ | $+0.757 $ | $+1.82 $ | $+0.105 $ | $+0.0112 $ | $+1$ | $-2$ | $+0$ | $+2$ |
| $077$ | $+2.580 $ | $+2.32 $ | $-0.027 $ | $+0.0196 $ | $+1$ | $-2$ | $+0$ | $+0$ |
| $078$ | $+2.533 $ | $+2.40 $ | $-0.014 $ | $-0.0212 $ | $+1$ | $-2$ | $+0$ | $-2$ |
| $079$ | $-0.344 $ | $-0.57 $ | $-0.025 $ | $+0.0036 $ | $+0$ | $+3$ | $+0$ | $-2$ |
| $080$ | $-0.992 $ | $-0.02 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ |
| $081$ | $-45.099 $ | $-0.02 $ | $+0.000 $ | $-0.0010 $ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| $082$ | $-0.179 $ | $-9.52 $ | $+0.000 $ | $-0.0833 $ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ |
| $083$ | $-0.301 $ | $-0.33 $ | $+0.000 $ | $+0.0014 $ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $-4$ |
| $084$ | $-6.382 $ | $-3.37 $ | $+0.000 $ | $-0.0481 $ | $+1$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ |
| $085$ | $+39.528 $ | $+85.13 $ | $+0.000 $ | $-0.7136 $ | $+1$ | $+0$ | $-2$ | $+0$ |
| $086$ | $+9.366 $ | $+0.71 $ | $+0.000 $ | $-0.0112 $ | $+1$ | $+0$ | $-2$ | $-2$ |
| $087$ | $+0.202 $ | $+0.02 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $+0$ | $-2$ | $-4$ |
| $088$ | $+0.415 $ | $+0.10 $ | $+0.000 $ | $+0.0013 $ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $+0$ |
| $089$ | $-2.152 $ | $-2.26 $ | $+0.000 $ | $-0.0066 $ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $-2$ |
| $090$ | $-1.440 $ | $-1.30 $ | $+0.000 $ | $+0.0014 $ | $+0$ | $+1$ | $-2$ | $+2$ |
| $091$ | $+0.384 $ | $-0.04 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+0$ | $+1$ | $-2$ | $-2$ |
| $092$ | $+1.938 $ | $+3.60 $ | $-0.145 $ | $+0.0401 $ | $+4$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
| $093$ | $-0.952 $ | $-1.58 $ | $+0.052 $ | $-0.0130 $ | $+4$ | $+0$ | $+0$ | $-2$ |
| $094$ | $-0.551 $ | $-0.94 $ | $+0.032 $ | $-0.0097 $ | $+3$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| $095$ | $-0.482 $ | $-0.57 $ | $+0.005 $ | $-0.0045 $ | $+3$ | $+1$ | $+0$ | $-2$ |
| $096$ | $-0.100 $ | $-0.08 $ | $+0.003 $ | $+0.0006 $ | $+3$ | $+1$ | $+0$ | $-4$ |
| $097$ | $+0.681 $ | $+0.96 $ | $-0.026 $ | $+0.0115 $ | $+3$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ |
| $098$ | $+0.183 $ | $-0.23 $ | $-0.003 $ | $-0.0017 $ | $+3$ | $-1$ | $+0$ | $-2$ |
| $099$ | $+0.197 $ | $-0.09 $ | $+0.002 $ | $-0.0009 $ | $+2$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ |
| $100$ | $-0.297 $ | $-0.27 $ | $+0.002 $ | $-0.0009 $ | $+2$ | $+2$ | $+0$ | $-2$ |
| $101$ | $+0.254 $ | $+0.21 $ | $+0.003 $ | $+0.0000 $ | $+2$ | $-2$ | $+0$ | $-2$ |
| $102$ | $-0.250 $ | $-0.22 $ | $+0.004 $ | $+0.0014 $ | $+1$ | $+3$ | $+0$ | $-2$ |
| $103$ | $-0.123 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0004 $ | $+2$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ |
| $104$ | $-3.996 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0004 $ | $+2$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| $105$ | $+0.557 $ | $-0.75 $ | $+0.000 $ | $-0.0090 $ | $+2$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ |
| $106$ | $-0.459 $ | $-0.38 $ | $+0.000 $ | $-0.0053 $ | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ |
| $107$ | $-1.298 $ | $+0.74 $ | $+0.000 $ | $+0.0004 $ | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $+0$ |
| $108$ | $+0.538 $ | $+1.14 $ | $+0.000 $ | $-0.0141 $ | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $-2$ |
| $109$ | $+0.173 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0002 $ | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $-4$ |
| $110$ | $+0.263 $ | $+0.02 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+1$ | $+1$ | $+2$ | $+0$ |
| $111$ | $+0.426 $ | $+0.07 $ | $+0.000 $ | $-0.0006 $ | $+1$ | $+1$ | $-2$ | $-2$ |
| $112$ | $-0.304 $ | $+0.03 $ | $+0.000 $ | $+0.0003 $ | $+1$ | $-1$ | $+2$ | $+0$ |
| $113$ | $-0.372 $ | $-0.19 $ | $+0.000 $ | $-0.0027 $ | $+1$ | $-1$ | $-2$ | $+2$ |
| $114$ | $+0.418 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+0$ | $+0$ | $+4$ | $+0$ |
| $115$ | $-0.330 $ | $-0.04 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+3$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| $116$ | $+0.113 $ | $+0.00 $ | $+0.000 $ | $+0.0000 $ | $+5$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ |
Die folgende Tabelle gilt für die Breite $\beta$:
| n | $c_n['']$ | $p_n$ | $q_n$ | $r_n$ | $s_n$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $01$ | $-526.069$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ |
| $02$ | $+44.297 $ | $+1$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ |
| $03$ | $+20.599 $ | $-1$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ |
| $04$ | $-24.649 $ | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ |
| $05$ | $-22.571 $ | $+0$ | $+1$ | $+1$ | $-2$ |
| $06$ | $-3.352 $ | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-4$ |
| $07$ | $-6.000 $ | $+1$ | $+0$ | $+1$ | $-4$ |
| $08$ | $-30.598 $ | $-1$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ |
| $09$ | $-2.000 $ | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ |
| $10$ | $+10.985 $ | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $-2$ |
Die geozentrischen Koordinaten des Mondes
| \[P = 1.000002208^{|p_n|}\cdot (1.0 - 0.002495388\cdot (T+1))^{|q_n|}\cdot (1.000002708 + 139.978\cdot \Delta\gamma)^{|r_n|}\] |
Der Faktor $P$ ist aufgrund der Exponenten in $P$ mit jedem einzelnen Term in der obigen Reihenentwicklung von $\Delta\lambda$, $\Delta S$, $\gamma C$ und $\Delta \sin(\Pi)$ zu multiplizieren.
| \[\begin{align} \lambda &= l' + \frac{\Delta\lambda + \Phi_2 + \Phi_4 + \Phi_5 + \Delta\lambda_N}{3600''} \\\\ \beta &= \frac{(1.000002708 + 139.978\Delta\gamma)\cdot (18519\overset{''}{.}7 + \gamma C)}{3600''}\cdot \sin(U) \\ & - \frac{6\overset{''}{.}24}{3600''}\cdot \sin\big(3 \cdot U \big) + \frac{4\overset{''}{.}0}{3600''}\cdot 10^{-3}\cdot \sin\big(5 \cdot U\big) + \frac{\Delta\beta}{3600''} \quad \text{mit} \quad U = \frac{\Delta S}{3600} + F \\\\ \Delta &= \frac{6378.14\text{ km}}{\sin(\Pi)} \quad \textsf{mit} \quad \sin(\Pi) = 0.999953253\cdot\left(0\overset{\circ}{.}95075 + \frac{\Delta\sin(\Pi)}{3600''}\right) \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \end{align}\] |
$\Delta \sin(\Pi)$ in der obigen Gleichung ist als ein einziger Wert oder einzige Variable zu verstehen. Deshalb wird hier $\sin(\Pi)$ separat berechnet und daraus dann der Abstand $\Delta$ bestimmt. Der Korrekturfaktor $0.999953253$ für die Parallaxe $\Pi$ und den Mondabstand $\Delta$ entstand durch die Überarbeitung der Brownschen Mondtheorie in der ILE und muss multipliziert werden, obwohl der Wert nahe Eins liegt.
Beispiel
Man berechne die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten des Mondes für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ)
Für den gegebenen Zeitpunkt wurde der Julianische Tag hier bereits ermittelt zu $JD=2460050.34375$. Im Jahr 2023 war der Wert von $\Delta T = 69^{s}$, diese müssen hinzugefügt werden, um die Position der Mondes in der gleichmäßigen Skala der dynamischen Zeit $TD$ zu erhalten. Ein Tag hat 86400 Sekunden, daher folgt
\(\begin{align} JDE &= 2460050.34375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\&= 2460050.34455 \end{align}\)
Daraus erhält man die julianischen Jahrhunderte zu
\(\begin{align} T &= \frac{(2460050.34455 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.232863642672 \end{align}\)
Für alle großen bzw. negativen Winkelwerte wird im Weiteren die Reduktions-Funktion verwendet, um die Werte auf das Intervall [0°-360°] zu bringen.
Mittels $T$ erhält die mittleren Längen $m, l, M, L, \Omega, D$ und $F$ sukzessive
\(\begin{align} m &= 111257\overset{\circ}{.}22999303279\\ &= 17\overset{\circ}{.}229993\\ l &= 112288\overset{\circ}{.}10795180977\\ &= 328\overset{\circ}{.}107952\\ M &= 8740\overset{\circ}{.}395206607433\\ &= 100\overset{\circ}{.}395207\\ L &= 8663\overset{\circ}{.}736248185152\\ &= 23\overset{\circ}{.}736248\\ \Omega &= -325\overset{\circ}{.}3469322119048\\ &= 34\overset{\circ}{.}653068\\ D &= 103984\overset{\circ}{.}37170362461\\ &= 304\overset{\circ}{.}371704\\ F &= 112613\overset{\circ}{.}45488402166\\ &= 293\overset{\circ}{.}454884 \end{align}\)
Für die Hilfswerte $Q_1$ bis $Q_9$ bzw. $N$ erhält man
\(\begin{align} Q_1 &= 76\overset{\circ}{.}103837\\ Q_2 &= 118\overset{\circ}{.}563514\\ Q_3 &= -396\overset{\circ}{.}80701074935945\\ &= 323\overset{\circ}{.}192989\\ Q_4 &= 104\overset{\circ}{.}104972\\ Q_5 &= 29\overset{\circ}{.}641063\\ Q_6 &= 358\overset{\circ}{.}210775\\ Q_7 &= 28\overset{\circ}{.}971868\\ Q_8 &= 156\overset{\circ}{.}925642\\ Q_9 &= 41\overset{\circ}{.}048063\\ N &= 272\overset{\circ}{.}214414 \end{align}\)
Die Korrekturen der mittleren Längen sind die Summe der 11 Terme der ersten Tabelle.
\(\begin{align} \sum_{1}^{11} \frac{\Delta l_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00348276\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta m_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00432656\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta M_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = -0\overset{\circ}{.}00212285\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta D_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00560835\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta F_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = -0\overset{\circ}{.}00812755 \end{align}\)
Daraus ergeben sich die korrigierten Winkel zu
\(\begin{align} m' &= 17\overset{\circ}{.}234320\\ l' &= 328\overset{\circ}{.}111435\\ M' &= 100\overset{\circ}{.}393084\\ D' &= 304\overset{\circ}{.}377312\\ F' &= 293\overset{\circ}{.}446756 \end{align}\)
Die planetaren Störungen $V, M_2, M_3, M_4, M_5$ und der Faktor $\Delta \gamma$ sind
\(\begin{align} V &= 143\overset{\circ}{.}215250\\ M2 &= 13806\overset{\circ}{.}556761819184\\ &= 126\overset{\circ}{.}556762\\ M3 &= 8481\overset{\circ}{.}316739647977\\ &= 201\overset{\circ}{.}316740\\ M4 &= 4810\overset{\circ}{.}443641977762\\ &= 130\overset{\circ}{.}443642\\ M5 &= 739\overset{\circ}{.}1766212912058\\ &= 19\overset{\circ}{.}176621\\ Δγ &= -3.0255243\cdot 10^{-6} \end{align}\)
Bei den Termen für die planetaren Störungen ist darauf zu achten, dass die Summierung über verschiedene Indizes läuft: $\Phi_2$ geht von 1-12, $\Phi_4$ von 13-14 sowie $\Phi_5$ von 15-26.
\(\begin{align} \Phi2 &= -0\overset{\circ}{.}17383184773270005\\ &= 359\overset{\circ}{.}826168\\ \Phi4 &= -0\overset{\circ}{.}19606005774737872\\ &= 359\overset{\circ}{.}803940\\ \Phi5 &= 0\overset{\circ}{.}108794 \end{align}\)
Nun bildet man die Summen der Werte aus der großen Tabelle mit 116 Termen. Dabei wird der Faktor $P$ mit jedem Term multipliziert, man erhält
\(\begin{align} \Delta\lambda &= 991\overset{''}{.}324785\\ \Delta S &= 1225\overset{''}{.}090898\\ \gamma C &= -0\overset{''}{.}727399\\ \Delta\sin \Pi &= 152\overset{''}{.}594321 \end{align}\)
Das $\Delta\beta$ wird separat mithilfe der zugehörigen Tabelle (10 Terme) ermittelt.
$\Delta\beta = -365\overset{''}{.}718418\\$
Schließlich erhält man die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten mit den oben angegebenen Gleichungen. Der Fator $U$ wird für die Breite $\beta$ benötigt mit
\(\begin{align} U &= \frac{\Delta S}{3600} + F\\ &= 293\overset{\circ}{.}795187 \end{align}\)
Es ergeben sich damit
\(\begin{align} \lambda &= 328\overset{\circ}{.}386730\\ \beta &= -4\overset{\circ}{.}807033\\ \Delta &= 368001.4\;\textsf{km} \end{align}\)
Man vergleiche diese Werte mit jenen aus Mondposition nach Meeus.
| Größe | Meeus | Montenbruck/Pfleger |
|---|---|---|
| $\lambda =$ | $328\overset{\circ}{.}387212$ | $328\overset{\circ}{.}386730$ |
| $\beta =$ | $−4\overset{\circ}{.}806013$ | $-4\overset{\circ}{.}807033$ |
| $\Delta =$ | $367995.8\;\textsf{km}$ | $368001.4\;\textsf{km}$ |