Wenn der Sinus, der Cosinus oder der Tangens eines Winkels bekannt ist, kann der Winkel selbst mithilfe der Umkehrfunktionen Arcussinus, Arcuscosinus oder Arcustangens ermittelt werden. Diese „inversen“ trigonometrischen Funktionen sind jedoch nicht einwertig.
Wenn zum Beispiel $\sin \alpha = 0.5$ ist, dann ist $\alpha$ = $30^\circ$, $150^\circ$, $390^\circ$ usw.

Aus diesem Grund geben z.B. Taschenrechner oder Programmiersprachen inverse trigonometrische Funktionen nur über den halben Bereich von $0^\circ$ bis $360^\circ$ korrekt zurück:

• Arcussinus und Arcustangens ergeben ein Winkel zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ (also zwischen $-\tfrac{\pi}{2}$ und $+\tfrac{\pi}{2}$ im Bogenmaß), während
• Arcuscosinus einen Wert zwischen $0^\circ$ und $+180^\circ$ (zwischen 0 und $\pi$ im Bogenmaß) angibt.
• Der dritte Quadrant fehlt und muß über rechentechnische Verfahren ermittelt werden.

Versucht man es z.B. mit $\cos (143^\circ)$, ist das Ergebnis $-0.79863551$, was bei Verwendung der Umkehrfunktion wieder $143^\circ$ zurückgibt.

Versucht man nun aber $\cos (217^\circ)$, erhält man ebenfalls $-0.79863551$, was, wenn man seinen Arcuscosinus nimmt, $143^\circ$ ergibt.

Daher entsteht immer dann, wenn die Umkehrfunktion von $\sin$, $\cos$ oder $\tan$ verwendet wird, eine Mehrdeutigkeit, die bei Bedarf auf die eine oder andere Weise geklärt werden muss. Jedes Problem sollte dabei separat untersucht werden.

Betrachtet wir aber z.B. die Umrechnung von Rektaszension $\alpha$ und Deklination $\delta$ in die ekliptikalen Größen $\lambda$ und $\beta$ mithilfe der folgenden Formeln:

\[ \begin{align} I)\quad \cos(\beta)\cdot \sin(\lambda) &= \sin(\delta)\cdot \sin(\varepsilon) + \cos(\delta)\cdot \cos(\varepsilon)\cdot \sin(\alpha) \\ II)\quad \cos(\beta)\cdot \cos(\lambda) &= \cos(\delta)\cdot \cos(\alpha) \end{align} \]

Wir bezeichnen der Einfachheit halber die rechten Seiten mit $A$ und $B$. Wenn wir nun die erste Gleichung durch die zweite dividieren, erhalten wir

\[ \frac{\cos(β)\cdot \sin(λ)}{\cos(β)\cdot \cos(λ)} = \frac{\sin(λ)}{\cos(λ)} = \tan \lambda = \frac{A}{B} \]

Die Anwendung der Umkehrfunktion Arcustangens auf den Quotienten $\tfrac{A}{B}$ ergibt nur den Winkel $\lambda$ zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ mit einer Mehrdeutigkeit von $\pm 180^\circ$. Diese Mehrdeutigkeit kann man nun mit der folgenden Fallunterscheidung beseitigen:

Wenn $B \lt 0$ ist, addiere 180° zum Ergebnis.

Damit erhält man $\lambda$ im korrekten Quadranten. Gegebenenfalls sollte der Winkel noch auf das Intervall [0-360°] gebracht werden.

Viele Programmiersprachen enthalten heute eine nützliche „zweite“ Arcustangensfunktion wie z.B. ATN2 oder ATAN2, die die beiden Argumente $A$ und $B$ getrennt verwendet und den Winkel direkt im richtigen Quadranten zurückgeben kann.