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Wenn der Sinus, der Cosinus oder der Tangens eines Winkels bekannt ist, kann der Winkel selbst mithilfe der Umkehrfunktionen Arcussinus, Arcuskosinus oder Arcustangens ermittelt werden. Diese „inversen“ trigonometrischen Funktionen sind nicht einwertig. Wenn zum Beispiel $\sin \alpha = 0.5$, dann ist $\alpha$ = 30°, 150°, 390° usw.

Aus diesem Grund geben z.B. Taschenrechner oder Programmiersprachen inverse trigonometrische Funktionen nur über den halben Bereich von 0 bis 360 Grad korrekt zurück: Arcussinus und Arcustangens ergeben ein Winkel zwischen -90° und +90° Grad (also zwischen -π/2 und +π/2 im Bogenmaß), während der Arcuskosinus einen Wert zwischen 0° und +180° Grad (zwischen 0 und π im Bogenmaß) angibt. Versuchen Sie es beispielsweise mit cos 147°. Die Antwort ist -0,8387, was bei Verwendung der Umkehrfunktion auf 147° zurückgeht. Aber jetzt versuchen Sie es mit cos 213°. Die Antwort ist wiederum -0,8387, was, wenn man seinen Arcuskosinus nimmt, 147° ergibt. Daher entsteht immer dann, wenn die Umkehrfunktion von SIN, COS oder TAN verwendet wird, eine Mehrdeutigkeit, die bei Bedarf auf die eine oder andere Weise geklärt werden muss. Jedes Problem sollte dabei separat untersucht werden.

Beispielsweise geben die Formeln (13.4) und (25.7) den Sinus der Deklination eines Himmelskörpers an. Die Funktion Arcussinus gibt diese Deklination dann immer im richtigen Quadranten an, da alle Deklinationen zwischen -90° und +90° Grad liegen. Hier ist alles in Ordnung. Dies gilt auch für den Winkelabstand, dessen Cosinus durch Formel (17.1) gegeben ist. Tatsächlich liegt jeder Winkelabstand im Bereich von 0° bis +180°, was dem Bereich der Arcuscosinusfunktion entspricht. Auch hier passt alles.

Betrachtet wir aber z.B. die Umrechnung von Rektaszension $\alpha$ und Deklination $\delta$ in die ekliptikalen Größen $\lambda$ und $\beta$ mithilfe der folgenden Formeln:

\[ \begin{align} \cos(β)\cdot \sin(λ) =& \sin(δ)\cdot \sin() + \cos(δ)\cdot \cos(ε)\cdot \sin(α) \\ \cos(β)\cdot \cos(λ) =& \cos(δ)\cdot \cos(α) \end{align} \]

Wir bezeichnetn man der Einfachheit halber die rechten Seiten mit $A$ und $B$. Wenn wir nun die erste Gleichung durch die zweite dividieren, erhalten wir

$$\frac{\cos(β)\cdot \sin(λ)}{\cos(β)\cdot \cos(λ)} = \tan \lambda = \frac{A}{B}$$

Die Anwendung der Umkehrfunktion Arcustangens auf den Quotienten $\tfrac{A}{B}$ ergibt nur den Winkel $\lambda$ zwischen -90° und +90° mit einer Mehrdeutigkeit von ±180°.

Diese Mehrdeutigkeit kann man nun mit der folgenden Fallunterscheidung beseitigen:

> Wenn $B \lt 0$ ist, addiere 180° zum Ergebnis.

Damit erhält man $\lambda$ im korrekten Quadranten. Gegebenenfalls sollte der Winkel noch auf das Intervall [0-360°] gebracht werden.

Viele Programmiersprachen enthalten heute eine nützliche „zweite“ Arcustangensfunktion wie z.B. ATN2 oder ATAN2, die die die beiden Argumente $A$ und $B$ getrennt verwendet und den Winkel direkt im richtigen Quadranten zurückgeben kann.

Angenommen, $A = -0.5712$, $B = -0.9139$; dann ergibt ATN(A/B) den Winkel 32°, während ATN2(A, B) den korrekten Wert -148° oder +212° ergibt.