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-¹ Der Kern der Olberschen Methode besteht in der Bestimmung des Verhältnisses $\Phi_3$ zu $\Phi_1$ und der Anwendung der Lambertschen Formel. Für das Verhältnis der kurtierten Distanzen $\Phi_3$ und $\Phi_1$ wird die Annahme gemacht, dass man für die Verhältnisse der Flachen $n_1$ zu $n_3$ bzw. $N_3$ zu $N_1$ die Zwischenzeiten setzen kann, d.h. dass die Sehnen der Parabelbahn und der Erdbahn zwischen den äußeren Beobachtungen von den mittleren Radiusvektoren im Verhältnis der Zeiten geschnitten werden. Für Kometenbahnen haben bereits Euler und Lambert diese Voraussetzung gemacht – Olbers dehnte dieses auch auf die Erdbahn aus und fand damit ein recht praktikabeles Verfahren zur Bahnbestimmung von Parabelbahnen. Diese Fußnote wird durch die nachfolgenden Beschreibungen deutlich.
+¹ Der Kern der Olberschen Methode besteht in der Bestimmung des Verhältnisses $\Phi_3$ zu $\Phi_1$ und der Anwendung der Lambertschen Formel. Für das Verhältnis der kurtierten Distanzen $\Phi_3$ und $\Phi_1$ wird die Annahme gemacht, dass man für die Verhältnisse der Flächen $n_1$ zu $n_3$ bzw. $N_3$ zu $N_1$ die Zwischenzeiten setzen kann, d.h., dass die Sehnen der Parabelbahn und der Erdbahn zwischen den äußeren Beobachtungen von den mittleren Radiusvektoren im Verhältnis der Zeiten geschnitten werden. Für Kometenbahnen haben bereits Euler und Lambert diese Voraussetzung gemacht – Olbers dehnte dieses auch auf die Erdbahn aus und fand damit ein recht praktikables Verfahren zur Bahnbestimmung von Parabelbahnen. Diese Fußnote wird durch die nachfolgenden Beschreibungen deutlich.
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 ===== Parabelbahnen =====
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 In den meisten Fällen werden die Koordinaten des Objektes in $\alpha$ und $\delta$ vorliegen, wie es beim Anschluss an Katalogsterne üblich ist. Die Umrechnung dieser Werte erfolgt quadrantenrichtig mit der Glg. 1 zu
 $$\begin{align}
-\beta &= \arcsin (\sin\delta\cdot\cos\varepsilon - \cos\delta\cdot\sin\varepsilon\cdot\sin\alpha)\\\\
+\beta &= \arcsin(\sin(\delta)\cdot\cos(\varepsilon) - \cos(\delta)\cdot\sin(\varepsilon)\cdot\sin(\alpha)) \\\\
-\lambda &= 2\cdot\arctan\left( \frac{\sin\delta\cdot\sin\varepsilon + \cos\delta\cdot\cos\varepsilon\cdot\sin\alpha}{\cos\beta + \cos\alpha\cdot\cos\delta}  \right)
+\lambda &= 2\cdot\arctan\left(\frac{\sin(\delta)\cdot\sin(\varepsilon) + \cos(\delta)\cdot\cos(\varepsilon)\cdot\sin(\alpha)}{\cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot\cos(\delta)}\right)
 \end{align}\tag{1}$$
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   * für $B1950.0$: $\varepsilon = 23\overset{\circ}{.}44579$ bzw.
   * für $J2000.0$: $\varepsilon = 23\overset{\circ}{.}43929$
 ===== Berechnung der Erdposition =====
-Bekannt sein müssen weiterhin die drei Positionen der Erde zu den Zeitpunkten $i = 1\dots 3$ der Beobachtung. Diese beschaffe man sich, bezogen auf dasselbe Äquinoktium wie und $\lambda$ und $\beta$, aus einem Jahrbuch oder errechne diese hinreichend genau mit dem anschließend dargestellten Formelsatz. Benötigt werden die heliozentrische Länge $L$ und der Radiusvektor $R$ der Erde. Die Breite der Erde weicht maximal $1\overset{''}{.}2$ von der Ekliptikebene ab und bleibt unberücksichtigt – ebenso Abberation, Lichtzeitkorrektur und Parallaxe für diese erste Bahnbestimmung.\\
+Bekannt sein müssen weiterhin die drei Positionen der Erde zu den Zeitpunkten $i = 1, 2, 3$ der Beobachtung. Diese beschafft man sich, bezogen auf dasselbe Äquinoktium wie und $\lambda$ und $\beta$, aus einem Jahrbuch oder errechnet diese hinreichend genau mit dem anschließend dargestellten Formelsatz. Benötigt werden die heliozentrische Länge $L$ und der Radiusvektor $R$ der Erde. Die Breite der Erde weicht maximal $1\overset{''}{.}2$ von der Ekliptikebene ab und bleibt unberücksichtigt – ebenso [[koordinatenreduktion#aberration|Aberration]], [[koordinatenreduktion#lichtlaufzeit|Lichtzeitkorrektur]] und Parallaxe für diese erste Bahnbestimmung. \\
 Für die drei Zeitpunkte der Beobachtung sind jeweils zu berechnen:
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 $$\begin{align}
-C_i =&\;(1\overset{\circ}{.}91946 - 0\overset{\circ}{.}004789\cdot T_i)\cdot\sin M \\
+C_i =&\;(1\overset{\circ}{.}91946 - 0\overset{\circ}{.}004789\cdot T_i)\cdot\sin(M) \\
-&+0.020095\cdot\sin (2\cdot M) \\
+&+0.020095\cdot\sin(2\cdot M) \\
-&+0.000293\cdot\sin (3\cdot M)
+&+0.000293\cdot\sin(3\cdot M)
 \end{align}\tag{3}$$
 Zum Zeitpunkt des Äquinoktium des Datums betragen dann die wahre Länge $L$ der Sonne, die Anomalie $\nu$ der
 Sonne und der Radiusvektor $R$ zur Sonne
 $$\begin{align}
 L_i =&\;L_{i}' + C_i \\
 \nu_i =&\;M_{i} + C_i \\
-R_i =&\;1.0000002\cdot\frac{1-\epsilon_i^2}{1 + \epsilon_i\cdot\cos\nu_i}
+R_i =&\;1.0000002\cdot\frac{1 - \epsilon_i^2}{1 + \epsilon_i\cdot\cos(\nu_i)}
 \end{align}\tag{4}$$
-Um die Länge in einem Standardäqunoktium zu erhalten, ist die Präzession anzubringen.
+Um die Länge in einem Standardäqunoktium zu erhalten, ist die Präzession anzubringen. Diese lautet für $B1950.0$
-Diese lautet für $B1950.0$
 $$\begin{align}
-T_i =& \frac{JD_i - 2433282.423}{36525}\\
+T_i =& \frac{JD_i - 2433282.423}{36525} \\
 p_i =& 1\overset{\circ}{.}3966626\cdot T_i + 0\overset{\circ}{.}0003088\cdot T_i^2
 \end{align}\tag{5}$$
 und für $J2000.0$
 $$\begin{align}
-T_i =& \frac{JD_i - 2451545.0}{36525}\\
+T_i =& \frac{JD_i - 2451545.0}{36525} \\
 p_i =& 1\overset{\circ}{.}3969713\cdot T_i + 0\overset{\circ}{.}0003088\cdot T_i^2
 \end{align}\tag{6}$$
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 Verfügung:
-  * die Beobachtungszeitpunkte $t_i,\quad i = 1\dots 3$
+  * die Beobachtungszeitpunkte $t_i,\quad i = 1, 2, 3$
-  * die ekliptikalen geozentrischen Längen $\lambda_i,\quad i = 1\dots 3$ in Grad
+  * die ekliptikalen geozentrischen Längen $\lambda_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Grad
-  * die ekliptikalen geozentrischen Längen $\beta_i,\quad i = 1\dots 3$ in Grad
+  * die ekliptikalen geozentrischen Längen $\beta_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Grad
-  * die heliozentrischen Längen der Erde $L_i,\quad i = 1\dots 3$ in Grad
+  * die heliozentrischen Längen der Erde $L_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Grad
-  * die Entfernungen der Erde zur Sonne $R_i,\quad i = 1\dots 3$ in Astronomischen Einheiten (AE)
+  * die Entfernungen der Erde zur Sonne $R_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Astronomischen Einheiten (AE)
 Aus den Beobachtungszeitpunkten werden die Differenzen
+\[\begin{aligned}
+\tau_1 &= k\cdot (t_3 - t_2) \\
+\tau_2 &= k\cdot (t_3 - t_1) \\
+\tau_3 &= k\cdot (t_2 - t_1)
+\end{aligned}\tag{7}\]
-$$\begin{align}
+mit der [[:wichtige_konstanten#naturkonstanten|Konstante]] $k = 0.01720209895$ gebildet.
-\Theta_1 &= (t_3 - t_2)\cdot k\\
-\Theta_2 &= (t_3 - t_1)\cdot k\\
-\Theta_3 &= (t_2 - t_1)\cdot k\\
-\end{align}\tag{7}$$
-mit der Konstanten $k = 0.01720209895$ gebildet.
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-Die $t_i$ mit $i = 1\dots 3$ sind als Bruchteile von Jahrhunderten seit dem julianischen Tag $JD = 2415020.0$ in der Notation
+Die $t_i$ mit $i = 1, 2, 3$ sind als Bruchteile von Jahrhunderten seit dem julianischen Tag $JD = 2415020.0$ in der Notation
 $\large t_i = \frac{JD_i - 2415020.0}{36525}$ zu berechnen.
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 Das Verhältnis $M$ der kurtierten (= auf die Ekliptikebene des Kometen projizierten) Distanzen wird berechnet zu
 \[\begin{align}
-M_1 &= \Theta_1\cdot \big[\tan \beta_2\cdot \sin (\lambda_1 - L_2) - \tan \beta_1\cdot \sin (\lambda_2 - L_2)\big]\\
+M_1 &= \tau_1\cdot\big[\tan(\beta_2)\cdot\sin(\lambda_1 - L_2) - \tan(\beta_1)\cdot\sin(\lambda_2 - L_2)\big] \\
-M_2 &= \Theta_3\cdot \big[\tan \beta_3\cdot \sin (\lambda_2 - L_2) - \tan \beta_2\cdot \sin (\lambda_3 - L_2)\big]\\
+M_2 &= \tau_3\cdot\big[\tan(\beta_3)\cdot\sin(\lambda_2 - L_2) - \tan(\beta_2)\cdot\sin(\lambda_3 - L_2)\big] \\
 M &= \frac{M_1}{M_2}
 \end{align}\tag{8}\]
-Unter der Annahme eines geschätzten Wertes der Distanz $\Phi_1$ (Anfangswert im Bereich von 0.5-1.5 AE) wird der
+Unter der Annahme eines geschätzten Wertes der Distanz $\Phi_1$ (Anfangswert im Bereich von $0.5 - 1.5 AE$) wird der tatsächliche Radiusvektor $r_1$ der ersten Beobachtung, der tatsächliche Radiusvektor $r_3$ der dritten Beobachtung und die zwischen $r_1$ und $r_3$ liegende Sehne $s$ mit
-tatsächliche Radiusvektor $r_1$ der ersten Beobachtung, der tatsächliche Radiusvektor $r_3$ der dritten Beobachtung
-und die zwischen $r_1$ und $r_3$ liegende Sehne $s$ mit
 \[\begin{align}
-r_{1}^2 &= R_{1}^2 + 2\cdot R_1 \cdot\cos (\lambda_1 - L_1)\cdot\Phi_1 + \frac{\Phi_{1}^2}{\cos^2\beta_1}\\
+r_{1}^2 &= R_{1}^2 + 2\cdot R_1\cdot\cos(\lambda_1 - L_1)\cdot\Phi_1 + \frac{\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_1)} \\
-r_{3}^2 &= R_{3}^2 + 2\cdot R_3 \cdot\cos (\lambda_3 - L_3)\cdot\Phi_1\cdot M + \frac{M^2\cdot\Phi_{1}^2}{\cos^2\beta_3}\\
+r_{3}^2 &= R_{3}^2 + 2\cdot R_3\cdot\cos(\lambda_3 - L_3)\cdot\Phi_1\cdot M + \frac{M^2\cdot\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_3)} \\
-s^2 &= r_{1}^2 + r_{3}^2 - 2\cdot R_1\cdot R_3\cdot\cos (L_3 - L_1)\\
+s^2 &= r_{1}^2 + r_{3}^2 - 2\cdot R_1\cdot R_3\cdot\cos(L_3 - L_1) \\
-    &- 2\cdot\Phi_1\cdot \big[ R_1\cdot M\cdot\cos(\lambda_3 - L_1) + R_3\cdot\cos(\lambda_1 - L_3)\big]\\
+&- 2\cdot\Phi_1\cdot\big[R_1\cdot M\cdot\cos(\lambda_3 - L_1) + R_3\cdot\cos(\lambda_1 - L_3)\big] \\
-	&- 2\cdot M\cdot\Phi_{1}^2\cdot \big[ \cos(\lambda_3 - \lambda_1) + \tan\beta_1\cdot\tan\beta_3\big]\\
+&- 2\cdot M\cdot\Phi_{1}^2\cdot\big[\cos(\lambda_3 - \lambda_1) + \tan(\beta_1)\cdot\tan(\beta_3)\big] \\
 \end{align}\tag{9}\]
 berechnet. Anschließend werden die Werte $r_1, r_3$ und $s$ in die Lambertsche Gleichung
+$$6\cdot k\cdot\tau_2 = \sqrt{(r_1 + r_3 + s)^3} - \sqrt{(r_1 + r_3 - s)^3}\tag{10}$$
-$$6\cdot k\cdot\Theta_2 = \sqrt{(r_1 + r_3 + s)^3} - \sqrt{(r_1 + r_3 - s)^3}\tag{10}$$
 eingesetzt, um deren die Richtigkeit zu prüfen. Ist die Gleichung nicht erfüllt, wird mit einem neuen Wert von $\Phi_1$ gerechnet. Es wird so lange iteriert bis die Gleichung erfüllt ist. Sind die Gleichungen in Glg. 9 mit zwei verschiedenen Werten von $\Phi_1$ durchgerechnet, kann man mittels der [[:iteration#regula_falsi|Regula falsi]] einen neuen Wert berechnen. Ist die Abweichung nur noch $0.001$, kann abgebrochen werden.
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 ===== Die Bestimmung der Bahnelemente =====
-Ist die Iteration nach der Lambertschen Gleichung abgeschlossen, erfolgt die Berechnung der Bahnelemente. Mit $\Phi_1$ und $M$ ergibt sich $\Phi_3 = \Phi_1\cdot M$.
+Ist die Iteration nach der Lambertschen Gleichung abgeschlossen, erfolgt die Berechnung der Bahnelemente. Mit $\Phi_1$ und $M$ ergibt sich $\Phi_3 = \Phi_1\cdot M$. Die Breiten $b_1$ und $b_3$ in der Bahn betragen
-Die Breiten $b_1$ und $b_3$ in der Bahn betragen
 \[\begin{align}
-b_1 &= \arcsin\left(\frac{\Phi_1\cdot\tan\beta_1}{r_1}\right)\\
+b_1 &= \arcsin\left(\frac{\Phi_1\cdot\tan(\beta_1)}{r_1}\right)\\
-b_3 &= \arcsin\left(\frac{\Phi_3\cdot\tan\beta_3}{r_3}\right)
+b_3 &= \arcsin\left(\frac{\Phi_3\cdot\tan(\beta_3)}{r_3}\right)
 \end{align}\tag{11}\]
 Die Längen $l_1$ und $l_3$ in der Bahn betragen
 \[\begin{align}
-l_1 &= 2\cdot\arctan\left(\frac{r_1\cdot\cos b_1 - \Phi_1\cdot\cos\lambda_1 - R_1\cdot\cos L_1}{\Phi_1\cdot\sin\lambda_1 + R_1\cdot\sin L_1}\right)\\
+l_1 &= 2\cdot\arctan\left(\frac{r_1\cdot\cos(b_1) - \Phi_1\cdot\cos(\lambda_1) - R_1\cdot\cos(L_1)}{\Phi_1\cdot\sin(\lambda_1) + R_1\cdot\sin(L_1)}\right) \\
-l_3 &= 2\cdot\arctan\left(\frac{r_3\cdot\cos b_3 - \Phi_3\cdot\cos\lambda_3 - R_3\cdot\cos L_3}{\Phi_3\cdot\sin\lambda_3 + R_3\cdot\sin L_3}\right)
+l_3 &= 2\cdot\arctan\left(\frac{r_3\cdot\cos(b_3) - \Phi_3\cdot\cos(\lambda_3) - R_3\cdot\cos(L_3)}{\Phi_3\cdot\sin(\lambda_3) + R_3\cdot\sin(L_3)}\right)
 \end{align}\tag{12}\]
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 \[\begin{align}
-d &= \tan b_1\cdot\sin (l_3 - l_1)\\
+d &= \tan(b_1)\cdot\sin(l_3 - l_1) \\
-c &= \tan b_3 - \tan b_1\cdot\cos(l_3 - l_1)\\
+c &= \tan(b_3) - \tan(b_1)\cdot\cos(l_3 - l_1) \\
 a &= \arctan\left(\frac{d}{c}\right)
 \end{align}\tag{13}\]
 berechnet. Ist $c \lt 0$, so wird zu $a$ genau $180^{\circ}$ addiert. Beträgt $a \lt 0$, so wird zu $a$ genau $360^{\circ}$ addiert. Damit ergibt sich als Erstes die Knotenlänge $\Omega$ und die Bahnneigung $i$ gegen die Ekliptik zu
 \[\begin{align}
-\Omega &= a + l_1\\
+\Omega &= a + l_1 \\
-i &= \arctan \left(\frac{\tan b_1}{\sin a}\right)
+i &= \arctan\left(\frac{\tan(b_1)}{\sin(a)}\right)
 \end{align}\tag{14}\]
 wobei für $l_3 \lt l_1$ eine rückläufige Bahn vorliegt und dann $i = 180^{\circ} - i$ zu setzen ist! Die Berechnung der Argumente der Breite $u_1$ und $u_3$ erfolgt durch
 \[\begin{align}
-u_1 &= \arctan \left(\frac{\tan (l_1 - \Omega)}{\cos i}\right)\\
+u_1 &= \arctan\left(\frac{\tan(l_1 - \Omega)}{\cos(i)}\right) \\
-u_3 &= \arctan \left(\frac{\tan (l_3 - \Omega)}{\cos i}\right)
+u_3 &= \arctan\left(\frac{\tan(l_3 - \Omega)}{\cos(i)}\right)
 \end{align}\tag{15}\]
-wobei für $i = 1,2$ für eine Bahnneigung $i$ von weniger als $90^{\circ}$ $l_1 - \Omega$ und $u$ im selben Quadranten und für eine Bahnneigung von mehr als $90^{\circ}$ $l_1 - \Omega$ und $360^{\circ} - u$ im selben Quadranten zu nehmen sind. Weiters wird die Hilfsgröße $f$ bestimmt zu
+wobei für $i = 1,2$ für eine Bahnneigung $i$ von weniger als $90^{\circ}$ $l_1 - \Omega$ und $u$ im selben Quadranten und für eine Bahnneigung von mehr als $90^{\circ}$ $l_1 - \Omega$ und $360^{\circ} - u$ im selben Quadranten zu nehmen sind. Weiter wird die Hilfsgröße $f$ bestimmt zu
 \[\begin{align}
-f &= \frac{u_3 - u_1}{2}\\
+f &= \frac{u_3 - u_1}{2} \\
-\nu &= \arctan \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{r_1}\cdot\tan f} - \frac{1}{\sqrt{r_3}\cdot\sin f}            }{\frac{1}{\sqrt{r_1}}}\right)\\
+\nu &= \arctan\left(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{r_1}\cdot\tan(f)} - \dfrac{1}{\sqrt{r_3}\cdot\sin(f)}}{\dfrac{1}{\sqrt{r_1}}}\right)\\
-&= \arctan \left(\frac{1}{\tan f} - \frac{\sqrt{r_1}}{\sqrt{r_3}\cdot\sin f}\right)
+&= \arctan\left(\dfrac{1}{\tan(f)} - \dfrac{\sqrt{r_1}}{\sqrt{r_3}\cdot\sin(f)}\right)
 \end{align}\tag{16}\]
-woraus die Länge des Penhel $\pi$, das Argument der Perihellänge $\omega$, die Periheldistanz $q$ und die Zeit $T$ des Periheldurchganges zu
+woraus die Länge des Perihel $\pi$, das Argument der Perihellänge $\omega$, die Periheldistanz $q$ und die Zeit $T$ des Periheldurchganges zu
 \[\begin{align}
-\pi &= u_1 - 2\cdot\nu + \Omega\\
+\pi &= u_1 - 2\cdot\nu + \Omega \\
-\omega &= u_1 - 2\cdot\nu\\
+\omega &= u_1 - 2\cdot\nu \\
-q &= r_1\cdot \cos^2\nu\\
+q &= r_1\cdot\cos^2(\nu) \\
-T &= \sqrt{2}\cdot q^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{(\tan\nu + \frac{1}{3}\cdot \tan^3\nu)}{k} + t_1
+T &= \frac{\sqrt{2}}{k}\cdot q^{\frac{3}{2}}\cdot\left(\tan(\nu) + \frac{1}{3}\cdot\tan^3(\nu)\right) + t_1
 \end{align}\tag{17}\]
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 Für die Rechnung ist es von Vorteil, mit den Gausskonstanten $P_x,P_y$ und $P_z$ bzw. $Q_x,Q_y$ und $Q_z$ zu rechnen. Mit den Hilfsgrößen
 \[\begin{align}
-H_1 &= \cos\omega\cdot\sin\Omega + \sin\omega\cdot\cos\Omega\cdot\cos i\\
+H_1 &= \cos(\omega)\cdot\sin(\Omega) + \sin(\omega)\cdot\cos(\Omega)\cdot\cos(i) \\
-H_2 &= \sin\omega\cdot\sin i\\
+H_2 &= \sin(\omega)\cdot\sin(i) \\
-H_3 &= -\sin\omega\cdot\sin\Omega + \cos\omega\cdot\cos\Omega\cdot\cos i\\
+H_3 &= -\sin(\omega)\cdot\sin(\Omega) + \cos(\omega)\cdot\cos(\Omega)\cdot\cos(i) \\
-H_4 &= \cos\omega\cdot\sin i
+H_4 &= \cos(\omega)\cdot\sin(i)
 \end{align}\tag{18}\]
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 \[\begin{align}
-P_x &= \cos\omega\cdot\cos\Omega - \sin\omega\cdot\sin\Omega\cdot\cos i\\
+P_x &= \cos(\omega)\cdot\cos(\Omega) - \sin\omega\cdot\sin(\Omega)\cdot\cos(i) \\
-P_y &= H_1\cdot\cos\varepsilon - H_2\cdot\sin\varepsilon\\
+P_y &= H_1\cdot\cos(\varepsilon) - H_2\cdot\sin(\varepsilon) \\
-P_z &= H_2\cdot\cos\varepsilon + H_1\cdot\sin\varepsilon
+P_z &= H_2\cdot\cos(\varepsilon) + H_1\cdot\sin(\varepsilon)
 \end{align}\tag{19}\]
 und
 \[\begin{align}
-Q_x &= -\sin\omega\cdot\cos\Omega - \cos\omega\cdot\sin\Omega\cdot\cos i\\
+Q_x &= -\sin(\omega)\cdot\cos(\Omega) - \cos(\omega)\cdot\sin(\Omega)\cdot\cos(i) \\
-Q_y &= H_3\cdot\cos\varepsilon - H_4\cdot\sin\varepsilon\\
+Q_y &= H_3\cdot\cos(\varepsilon) - H_4\cdot\sin(\varepsilon) \\
-Q_z &= H_4\cdot\cos\varepsilon + H_3\cdot\sin\varepsilon
+Q_z &= H_4\cdot\cos(\varepsilon) + H_3\cdot\sin(\varepsilon)
 \end{align}\tag{20}\]
 Daraus werden die Größen
 \[\begin{align}
-A &= 3\cdot k\cdot\frac{t_2 - T}{2\cdot\sqrt{2}\cdot q^{\frac{3}{2}}}\\
+A &= 3\cdot k\cdot\frac{t_2 - T}{2\cdot\sqrt{2}\cdot q^{\frac{3}{2}}} \\
-z &= \textrm{sgn}(A)\\
+z &= \textrm{sgn}(A) \\
 x &= \sqrt[3]{\sqrt{A^2 + 1} + z\cdot A} - \sqrt[3]{\sqrt{A^2 + 1} - z\cdot A}
 \end{align}\tag{21}\]
 bestimmt. Zusätzlich wichtig sind noch die Größen
 \[\begin{align}
-r &= q\cdot (1 + x^2)\\
+r &= q\cdot (1 + x^2) \\
-F_1 &= q\cdot (1 - x^2)\\
+F_1 &= q\cdot (1 - x^2) \\
 F_2 &= 2\cdot q\cdot x\cdot z
 \end{align}\tag{22}\]
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 \[\begin{align}
-X &= F_1\cdot P_x + F_2\cdot Q_x - X_e\\
+X &= F_1\cdot P_x + F_2\cdot Q_x - X_e \\
-Y &= F_1\cdot P_y + F_2\cdot Q_y - Y_e\\
+Y &= F_1\cdot P_y + F_2\cdot Q_y - Y_e \\
 Z &= F_1\cdot P_z + F_2\cdot Q_z - Z_e
 \end{align}\tag{23}\]
 wobei die Werte $X_e,Y_e$ und $Z_e$ (Erdkoordinaten) aus $R$ und $L$ vorher zu
 \[\begin{align}
-X_e &= R\cdot\cos L\\
+X_e &= R\cdot\cos(L) \\
-Y_e &= R\cdot\sin L\cdot\cos\varepsilon\\
+Y_e &= R\cdot\sin(L)\cdot\cos(\varepsilon) \\
-Z_e &= R\cdot\sin L\cdot\sin\varepsilon\\
+Z_e &= R\cdot\sin(L)\cdot\sin(\varepsilon) \\
 \end{align}\tag{24}\]
 errechnet werden müssen. Die Entfernung Erde-Komet $\Delta$, die Deklination $\delta$ und die Rektaszension $\alpha$ betragen dann jeweils
 \[\begin{align}
-\Delta &= \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}\\
+\Delta &= \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} \\
-\delta &= \arcsin\left(\frac{Z}{\Delta}\right)\\
+\delta &= \arcsin\left(\frac{Z}{\Delta}\right) \\
-\alpha &= \frac{2\cdot\arctan\left(\frac{\Delta\cdot\cos\delta - X}{Y}\right)}{15}\\
+\alpha &= \frac{2}{15}\cdot\arctan\left(\dfrac{\Delta\cdot\cos(\delta) - X}{Y}\right) \\
 \end{align}\tag{25}\]
 Beträgt die Rektaszension $\alpha$ weniger als $0^h$, so sind $24^h$ zu addieren.
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+===== Beispiele =====
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   * [1] Bauschinger, J.: Die Bahnbestimmung der Himmelskörper, Leipzig 1928
-  * [2] Boulet, D. L.: Methods of Orbit Determination for the Micro Computer, Richmond (USA) 1991.
+  * [2] Bucerius, J.: Himmelsmechanik Bd.1, Mannheim 1966.
-  * [3] Bucerius, J.: Himmelsmechanik Bd.1, Mannheim 1966.
+  * [3] Frischauf, J.: Grundriß der theoretischen Astronomie, Leipzig 1922.
-  * [4] Frischauf, J.: Grundriß der theoretischen Astronomie, Leipzig 1922.
+  * [4] Hansen, P. A.: Über die Bestimmung der Bahn eines Himmelskörpers (Nachdruck), Leipzig 1903.
-  * [5] Hansen, P. A.: Über die Bestimmung der Bahn eines Himmelskörpers (Nachdruck), Leipzig 1903.
+  * [5] Stracke, G.: Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Berlin 1929.
-  * [6] Montenbruck, O./Pfleger, T.: Astronomie mit dem Personalcomputer, Berlin, Heidelberg 1989.
+  * [6] Stumpff, K.: Himmelsmechanik Bd.1, Berlin 1973
-  * [7] Stracke, G.: Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Berlin 1929.
-  * [8] Stumpff, K.: Himmelsmechanik Bd.1, Berlin 1973
-  * [9] Wepner, W.: Mathematisches Hilfsbuch für Studierende und Freunde der Astronomie, Düsseldorf 1982
+Zu den weiteren [[:literaturhinweise|Literaturhinweisen]].