In diesem Kapitel sollen für den Planeten Mars einige zusätzliche Daten berechnet werden, die für die Beobachtung nützlich sein können.

Nachstehend werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:

Abb.1 zeigt als Beispiel das Aussehen von Mars am 1. November 2024 um 00:00 UT. Von der Erde aus gesehen betrug der beleuchtete Anteil der Planetenscheibe 88.7 % (d.h. $k \approx 0.89$).

Abb. 1: Bezeichnungen für den Planeten Mars

Bei der Berechnung dieser Größen ist der Einfluss der Lichtlaufzeit zu berücksichtigen. Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, muss außerdem die Aberration der Sonne von Mars aus gesehen bei der Berechnung von $D_S$ berücksichtigt werden; bei der Berechnung von $P$ sind die Auswirkungen von Nutation und Aberration auf die Marsposition zu berücksichtigen.

Im Laufe der Jahre wurden in den astronomischen Almanachen verschiedene Positionen für den Nordpol des Mars (d.h. die Koordinaten des Punktes auf der Himmelskugel, auf den die Achse zeigt) verwendet.

Nach Lowell und Crommelin (Monthly Notices of the Royal Astron. Soc., Vol. 66, 1905) sind die Rektaszension $\alpha_0$ und die Deklination $\delta_0$ des Nordpols des Mars zu Beginn des Jahres $t$, bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums, gegeben durch

\[\begin{align} \alpha_0 &= 21^h 10^m + 1\overset{s}{.}565\cdot (t - 1905.0) \\ \delta_0 &= +54^{\circ} 30' + 12\overset{''}{.}60\cdot (t - 1905.0) \end{align}\]

Diese Position des Nordpols wurde 1909 angenommen. Von 1968 bis 1980 verwendete die Astronomical Ephemeris jedoch die von G. de Vaucouleurs (Icarus, Vol. 3, Seite 243, 1964) ermittelte Position zu Beginn des Jahres $t$ mit

\[\begin{align} \alpha_0 &= 316\overset{\circ}{.}55 + 0\overset{\circ}{.}006750\cdot (t - 1905.0) \\ \delta_0 &= +52\overset{\circ}{.}85 + 0\overset{\circ}{.}003479\cdot (t - 1905.0) \end{align}\]

Man beachte den Unterschied von $1^{\circ}39'$ zwischen den beiden Werten von $\delta_0$, für die gleiche Epoche $1905.0$. Kürzlich angenommen sind gemäß M.E. Davies (Report of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites 1982), die Werte

\[ \left. \begin{array}{l} \alpha_0 = 317\overset{\circ}{.}342 \\ \delta_0 = +52\overset{\circ}{.}711 \end{array} \right\} \quad \text{Äquinoktium 1950.0 und Epoche J1950.0} \]

\[ \left. \begin{array}{l} \alpha_0 = 317\overset{\circ}{.}681 \\ \delta_0 = +52\overset{\circ}{.}886 \end{array} \right\} \quad \text{Äquinoktium 2000.0 und Epoche J2000.0} \]

Aus diesen Werten leitete man die folgenden Ausdrücke für die Länge und Breite des Nordpols des Mars ab, bezogen auf die Ekliptik und das mittlere Äquinoktium des Datums:

\[\begin{align} \lambda_0 &= 352\overset{\circ}{.}9065 + 1\overset{\circ}{.}17330\cdot T \\ \beta_0 &= +63\overset{\circ}{.}2818 - 0\overset{\circ}{.}00394\cdot T \end{align}\tag{1}\label{glg_01}\]

wobei $T$ wie gewohnt die Zeit in julianischen Jahrhunderten ab der Epoche $J2000.0$ ist. In der Herleitung wurden die Präzession der Rotationsachsen von Erde und Mars berücksichtigt.

Für einen gegebenen Zeitpunkt $t$ können die Werte von $D_E, D_S, P, \omega$ usw. wie folgt berechnet werden.

Man berechne den julianischen Ephemeridentag $JDE$ und damit $T$. Damit ergeben sich $\lambda_0, \beta_0$ gemäß Glg. $\eqref{glg_01}$

Man berechnet die heliozentrischen Koordinaten $l_0, b_0$ sowie den Radiusvektor $R$ der Erde, bezogen auf die Ekliptik und das mittlere Äquinoktium des Datums, beispielsweise mithilfe der Planetentheorien VSOP87 oder DE200, wie sie (gekürzt) in diesem Kapitel vorgestellt wurden.

Nun berechnet man die entsprechenden heliozentrischen Koordinaten $l,b,r$ von Mars, jedoch für den Zeitpunkt $t - \tau$, wobei $\tau$ die Lichtlaufzeit vom Mars zur Erde ist:

$$\tau = 0.0057755183\cdot\Delta\quad \text{in Tagen}\tag{2}\label{glg_02}$$

Da die geozentrische Entfernung $\Delta$ zum Mars im Voraus nicht bekannt ist, sollte sie im Schritt 4 iterativ ermittelt werden, als Startwert kann $\Delta = 0$ verwendet werden.

Man berechnet nun die rechtwinkeligen Koordinaten $x, y, z$ und dann die Marsdistanz $\Delta$ zur Erde mit Hilfe von

\[\begin{align} x &= r\cdot\cos b \cdot\cos l - R\cdot\cos l_0 \\ y &= r\cdot\cos b \cdot\sin l - R\cdot\sin l_0\tag{3}\label{glg_03} \\ z &= r\cdot\sin b - R\cdot\sin b_0 \end{align}\]

\[\Delta = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \gt 0\tag{4}\label{glg_04}\]

Hier sollte die oben erwähnte Iteration mit Startwert $\Delta = 0$ erfolgen. Die Iteration der Schritte 3/4 sollte so oft durchgeführt werden, bis sich die Lichtlaufzeit $\tau$ nicht mehr merklich ändert. Meistens sind 2 Iterationen völlig ausreichend.

Die geozentrische ekliptikale Länge und Breite von Mars sind damit gegeben durch

\[\begin{align} \tan\lambda &= \frac{y}{x}\tag{5}\label{glg_05} \\ \tan\beta &= \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}\tag{6}\label{glg_06} \end{align}\]

Zu beachten ist hier die quadrantenrichtige Berechnung durch Anwendung der $\text{arctan2}$-Funktion.

Mit diesen Daten berechnet man nun die planetozentrische Deklination der Erde mit

\[\begin{align} \sin D_E &= -\sin\beta_0\cdot \sin\beta - \cos\beta_0\cdot\cos\beta\cdot \cos (\lambda_0 - \lambda)\tag{7}\label{glg_07} \\ D_E &= \text{arcsin}(\dots ) \end{align}\]

Ist $D_E$ positiv, ist der Nordpol von Mars der Erde zugeneigt.

Der Längengrad $\Omega$ des aufsteigenden Knotens der Marsbahn ist nun mit ausreichender Genauigkeit

$$\Omega = 49\overset{\circ}{.}5581 + 0\overset{\circ}{.}7721\cdot T\tag{8}\label{glg_08}$$

Korrigiert wird anschließend $l$ und $b$ um die Aberration der Sonne vom Mars aus gesehen:

\[\begin{align} l' &= l - \frac{0\overset{\circ}{.}00697}{r}\tag{9}\label{glg_09} \\ b' &= b - 0\overset{\circ}{.}000225 \cdot \frac{\cos (l - \Omega)}{r}\tag{10}\label{glg_10} \end{align}\]

Die planetozentrische Deklination $D_S$ der Sonne ist damit

\[\begin{align} \sin D_S &= -\sin\beta_0\cdot \sin b' - \cos\beta_0\cdot\cos b'\cdot \cos (\lambda_0 - l')\tag{11}\label{glg_11} \\ D_S &= \text{arcsin}(\dots ) \end{align}\]

Ist $D_S$ positiv, wird der Nordpol von Mars von der Sonne beleuchtet.

Wenn $JDE$ der julianische Ephemeridentag ist (Schritt 1, dynamische Zeitskala), der dem gegebenen Zeitpunkt entspricht, berechnet man nun den Winkel $W$ (in Grad) aus

$$W = 11\overset{\circ}{.}504 + 350\overset{\circ}{.}89200025\cdot (JDE - \tau - 2433282.5)\tag{12}\label{glg_12}$$

Dabei ist $\tau$ die Lichtlaufzeit zum Mars, die mit der Iteration im Schritt 3/4 bestimmt wurde. $W$ wird für die Berechnung des Zentralmeridians benötigt (Schritt 12).

Man ermittelt die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$ mit Hilfe dieser Formel. Danach verwendet man die folgenden Ausdrücke, um die Äquatorialkoordinaten des Pols $\alpha_0$ und $\delta_0$ aus den Ekliptikkoordinaten $\lambda_0$ und $\beta_0$ zu bestimmen.

\[\begin{align} \tan\alpha_0 &= \frac{\sin\lambda_0\cdot\cos\varepsilon_0 + \tan\beta_0\cdot\sin\varepsilon_0}{\cos\lambda_0}\tag{13}\label{glg_13} \\[1.2ex] \sin\delta_0 &= \sin\beta_0\cdot\cos\varepsilon_0 + \cos\beta_0\cdot\sin\varepsilon_0\cdot\sin\lambda_0\tag{14}\label{glg_14} \end{align}\]

Zu beachten ist wieder die quadrantenrichtige Berechnung durch Anwendung der $\text{arctan2}$-Funktion für die Rektaszension $\alpha_0$.

Nun berechnet man die Größen $u, v, \alpha, \delta$ und $\zeta$ mit

\[\begin{align} u &= y\cdot\cos\varepsilon_0 - z\cdot\sin\varepsilon_0\tag{15}\label{glg_15} \\[1.2ex] v &= y\cdot\sin\varepsilon_0 + z\cdot\cos\varepsilon_0\tag{16}\label{glg_16} \\[1.2ex] \tan\alpha &= \frac{u}{x}\tag{17}\label{glg_17} \\[1.2ex] \tan\delta &= \frac{v}{\sqrt{x^2 + u^2}}\tag{18}\label{glg_18} \\[1.2ex] \tan\zeta &= \frac{ \sin\delta_0\cdot\cos\delta\cdot\cos (\alpha_0-\alpha) - \sin\delta\cdot\cos\delta_0} {\cos\delta\cdot\sin(\alpha_0 - \alpha)}\tag{19}\label{glg_19} \end{align}\]

Auch hier müssen über die Funktion $\textrm{arctan2}$ die Winkel $\alpha, \delta, \zeta$ im korrekten Quadranten ermittelt werden. $\delta$ liegt im Intervall $[-90^\circ , 90^\circ]$.

Nun findet man die Länge $\omega$ des Zentralmeridians von Mars mit

\[\omega = W - \zeta\tag{20}\label{glg_20} \]

Gegebenenfalls wird ein großer Winkelwert mit der Reduktions-Funktion auf das Intervall $[0^\circ , 360^\circ]$ gebracht.

Die Nutationswerte in Länge ($\Delta\psi$) und Schiefe ($\Delta\varepsilon$) werden ermittelt, wie es z.B. hier erläutert wird. Es sollen nur die wichtigsten Terme verwendet werden, eine Genauigkeit von z.B. $0\overset{''}{.}01$ ist hier nicht erforderlich.

Die Korrektur für die Aberration der Koordinaten $\lambda$ und $\beta$ (Schritt 5) erfolgt über:

Korrektur für $\lambda$: $\Delta\lambda_{Ab} = 0\overset{\circ}{.}005693\cdot\frac{\cos (l_0 - \lambda )}{\cos\beta}$

Korrektur für $\beta$: $\Delta\beta_{Ab} = 0\overset{\circ}{.}005693\cdot \sin (l_0 - \lambda )\cdot\sin\beta $

Die neuen Koordinaten sind nun

\[\begin{align} \lambda &= \lambda + \Delta\lambda_{Ab} \\ \beta &= \beta + \Delta\beta_{Ab} \end{align}\]

Auf eine neue Variablenbezeichnung wurde hier verzichtet.

Die Korrektur für die Nutation, berechnet in Schritt 13, erfolgt mittels

• Addition von $\Delta\varepsilon$ zur mittleren Ekliptikschiefe: $\varepsilon = \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon$.
• Addition von $\Delta\psi$ zu $\lambda_0$ und $\lambda$.

Jetzt können die ekliptikalen Koordinaten $\lambda_0,\beta_0$ bzw. $\lambda,\beta$ mit Hilfe der Transformationsgleichungen aus Schritt 10 mit Glg $\eqref{glg_13}$ und Glg. $\eqref{glg_14}$ in die äquatorialen Koordinaten umgerechnet werden, wobei nun $\varepsilon$ anstelle von $\varepsilon_0$ verwendet wird.
Man erhält die „gestrichenen“ Koordinaten $\alpha_0',\delta_0'$ sowie $\alpha',\delta'$.

Der Positionswinkel $P$ von Mars kann nun berechnet werden über

\[\tan P = \frac{\cos \delta_0'\cdot \sin (\alpha_0' - \alpha')}{\sin \delta_0'\cdot\cos\delta' - \cos\delta_0'\cdot\sin\delta'\cdot\cos (\alpha_0' - \alpha')}\tag{21}\label{glg_21}\]

Auch hier wird wieder die Funktion $\textrm{arctan2}$ für den korrekten Quadranten verwendet.

Mit $\odot = l_0 + 180^{\circ}$ findet man mit ausreichender Genauigkeit die Rektaszension $\alpha_{\odot}$ und Deklination $\delta_{\odot}$ der Sonne in äquatorialer Form:

\[\begin{align} \tan\alpha_{\odot} = \frac{\cos\varepsilon\cdot\sin\odot}{\cos\odot}\tag{22}\label{glg_22} \\[1.2ex] \sin\delta_{\odot} = \sin\varepsilon\cdot\sin\odot\tag{23}\label{glg_23} \end{align}\]

Mit den äquatorialen Koordinaten $\alpha, \delta$ von Mars erhält man jetzt den Positionswinkel des beleuchteten Anteils über die Beziehung

\[\tan\chi = \frac{\cos\delta_{\odot}\cdot\sin (\alpha_{\odot} - \alpha)}{\sin\delta_{\odot}\cdot\cos\delta - \cos\delta_{\odot}\cdot\sin\delta\cdot\cos (\alpha_{\odot} - \alpha)}\tag{24}\label{glg_24}\]

Wie immer ist die quadrantenrichtige Berechnung durch Anwendung der $\text{arctan2}$-Funktion zu beachten. Damit ergibt sich der Winkel des größten Beleuchtungsdefekts zu

\[Q = \chi + 180^{\circ}\tag{25}\label{glg_25}\]

Den Beleuchtungsgrad $k$, den Phasenwinkel $i$ sowie den Beleuchtungsdefekt $q$ in Bogensekunden kann man schließlich wie folgt ermitteln. Mit den Größen aus den Schritten 2-4

• $R\dots$ Radiusvektor Erde-Sonne
• $r\dots$ Radiusvektor Mars-Sonne
• $\Delta\dots$ Radiusvektor Mars-Erde

erhält man

\[\begin{align} k &= \frac{(r + \Delta)^2 - R^2}{4\cdot r\cdot\Delta}\tag{26}\label{glg_26} \\[1.3ex] i &= \text{arccos}(2\cdot k - 1)\tag{27}\label{glg_27} \\[1.2ex] q &= (1 - k)\cdot\frac{9\overset{''}{.}36}{\Delta}\tag{28}\label{glg_28} \end{align}\]

Der scheinbare Durchmesser $\varnothing$ des Marsscheibchens in Bogensekunden ist gegeben durch

\[\varnothing = \frac{9\overset{''}{.}36}{\Delta}\tag{29}\label{glg_29}\]