Die Himmelsmechanik befasst sich mit den Bahnbewegungen der Himmelskörper und hat einen physikalischen Hintergrund. Die Bahnbestimmung gehört ebenfalls zur Himmelsmechanik. Diese Disziplin der Astronomie bildet die Basis für die darauf aufbauende Ephemeridenrechnung. Die Ephemeridenrechnung selbst bewegt sich auf dem Gebiet der Positionsbestimmungen von der Sonne, dem Mond, den Planeten, den vielen Kleinkörpern und ist eher mathematischer Natur. Der Übergang zwischen den beiden Gebieten ist jedoch fließend, eine genaue Abgrenzung existiert nicht.

Hat man die Koordinaten $\vec{r}$ und $\dot{\vec{r}} = \vec{v}$, so kann man die kinetische Energie $T$ und die potentielle Energie $V \lt 0$ mit der folgenden Beziehung berechnen:

$$E = T + V = \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 + V(r)\tag{1} \qquad\text{mit}\qquad \vec{v}\cdot\vec{v} = v^2$$

mit $E$ als der Gesamtenergie. Sie wird noch als Erhaltungsgrösse der Zeit $t$ behandelt. Die Ableitung nach der Zeit $t$ und Teilung durch den Impuls $\vec{p} = m\cdot\vec{v}$ ergibt eine Differentialgleichung 2. Ordnung:

$$0 = \ddot{r} + \frac{1}{m}\cdot\frac{d}{dr}V(r)\tag{2}$$

Daraus ergeben sich die Newtonschen Kraftgleichungen:

$$F = m\cdot \ddot{r} \qquad und\qquad K = - \frac{d}{dr}V(r) \qquad mit\qquad 0 = F + K\tag{3}$$

Es ist auch umgekehrt die Integration der Energiegleichung (1) möglich:

$$p = \sqrt{2\cdot m}\cdot \int \sqrt{E - V(r)} \text{d}r\tag{4}$$

und

$$t = \sqrt{\frac{m}{2}}\cdot \int \frac{1}{\sqrt{E - V(r)}} \text{d}r\tag{5}$$

Die Koordinaten $\vec{r}$ und $\vec{v}$ sind:

$$\vec{r} = r \left(\begin{split} & \cos(\nu) \\ & \sin(\nu) \end{split}\right)\tag{6}$$

$$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = \dot{r} \left(\begin{split} & \cos(\nu) \\ & \sin(\nu) \end{split}\right) + r\cdot\dot{\nu} \left(\begin{split} - & \sin(\nu) \\ + & \cos(\nu) \end{split}\right)\tag{7}$$

Daraus folgt für $v^2$:

$$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\cdot\dot{\nu}^2\tag{8}$$

Die modifizierte Energiegleichung lautet dann:

$$E = \frac{1}{2}\cdot m\cdot\dot{r}^2 + \frac{1}{2}\cdot m\cdot r^2\dot{\nu}^2 + V(r)\tag{9}$$

1. Keplergesetz: Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem der beiden Brennpunkte sich die Sonne befindet.

$$r = \frac{p}{1 + \epsilon\cdot\cos(\nu)}\tag{6}$$

Zur Geometrie der Ellipse und den Parametern siehe Kegelschnitte.

2. Keplergesetz: Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl (Radius) überstreicht in gleichen Zeiten gleichgrosse Flächenabschnitte $\vec{F}$.

$$\vec{F} = \frac{\vec{L}_{\nu}}{2\cdot m}\cdot T\tag{7} \qquad\text{mit}\qquad T = t_1 - t_2$$

Abb. 1: Das 2. Keplergesetz. Die hellblauen Flächen sind die Flächenabschnitte $\vec{F}$.

$\nu$ = wahre Anomalie

3. Keplergesetz: Das Quadrat der Umlaufzeit $U$ eines Planeten verhält sich wie der Kubus (dritte Potenz) seines mittleren Bahnabstands.

$$\frac{U^2}{r^3} = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M_S}\tag{8}$$

Formt man das 3. Keplergesetz für $r = a = 1 \text{AE}$ um zu

$$U_s = \frac{2\pi}{k}\tag{9}$$

so erhält man die siderische Umlaufszeit $U_s$ der Erde. Die gaußsche Gravitationskonstante $k = \sqrt{GM_S}$ ist als eine fundamentale Naturkonstante für die Stärke der Gravitation verantwortlich.

Sie ist definiert mit

$$k = \frac{2\pi}{U_s}\tag{10}$$

und $U_s$ als das siderische Jahr.

$$\deg(k) = n = \frac{360^{\circ}}{U_s}\tag{11}$$

liefert die mittlere tägliche Bewegung n der Erde um die Sonne.

Die Herleitung: Beruhend auf der Energiebilanzgleichung E mit dem Gravitationpotential $$V(r) = - G \frac{m M_S}{r}\tag{12}$$

$$E = \frac{1}{2} \cdot m\cdot \dot{r}^2 + \frac{1}{2}\cdot m\cdot r^2 \dot{\nu}^2 - G \frac{m\cdot M_S}{r}\tag{13}$$

resultiert aus der Ableitung nach r die Zentripetalkraft $\vec{F}_z$ (links) bzw. die Gravitationskraft $\vec{F}_g$ (rechts): $$F_z = m\cdot\dot{\nu}^2\cdot r = - F_g = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2} \Leftrightarrow \frac{U^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G\cdot M} = \text{konst.} \qquad\text{mit}\qquad\dot{\nu} = \omega = \frac{2\pi}{U}\tag{14}$$

Das Verhältnis der Umlaufszeit U zur Bahngrösse r ist zeitlich konstant und damit eine Erhaltungsgrösse. In einem Relativsystem mit r = r$_1$ – r$_2$ gilt, wobei man in vielen Anwendungen die kleinere Masse nicht vernachlässigen kann: $$\frac{U^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G\cdot \left(m_1 + m_2\right)}\tag{15}$$

Der Runge - Lenz Vektor $\vec{R}_L$ (Abb.2) ist wie E und L$_{\nu}$ eine Erhaltungsgrösse.

$$\vec{A} = (m\cdot\dot{\vec{r}} \times \vec{L}_{\nu}) - G\cdot M_S\cdot m^2 \frac{\vec{r}}{r} = \text{konst.}\tag{16}$$

Abb. 2: Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor A

Der Runge - Lenz Vektor wird auch als Perizentrumsvektor bezeichnet, weil er die in Richtung des Perihels der Planetenbahn zeigt. Nach skalarer Multiplikation mit $\vec{r}$ unter Berücksichtigung der nachfolgenden Relationen

$$\vec{r}\cdot\vec{A} = r\cdot A\cdot\cos(\nu), \quad \vec{r}\cdot\vec{r} = |\vec{r}|^2 = r^2\tag{17}$$

und

$$\vec{r}\cdot (m\cdot\dot{\vec{r}}\times\vec{L}_{\nu}) = - (m\cdot\dot{\vec{r}}\times\vec{r})\cdot \vec{L}_{\nu} = |\vec{L}_{\nu}|^2\tag{18}$$

erhält nach einigen Umformungen die folgende Relation

$$r\cdot \left(\frac{A}{G\cdot M_S\cdot m^2}\cdot\cos(\nu) + 1\right) = \frac{L_{\nu}^2}{G\cdot M_S\cdot m^2}\tag{19}$$

und das resultiert wiederum in die Kegelschnittsgleichung mit

$$\epsilon = \frac{|\vec{A}|}{G\cdot M_S\cdot m^2}\Rightarrow\epsilon\sim A\tag{20}$$