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+++ raketengleichung [2025/10/06 23:36] (aktuell) – quern
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+====== Die Raketengleichung ======
+===== Aufgabe =====
+Eine Rakete der Anfangsmasse $m_0$ stößt pro Zeiteinheit die Gasmenge $\alpha = \frac{\Delta m}{\Delta t} \gt 0$ mit der konstanten Geschwindigkeit $v_0$ aus. Gesucht ist die Bewegungsgleichung. Die Gravitationskraft soll dabei als konstant angenommen werden. Das bedeutet, dass das Raketenproblem nur in der näheren Umgebung der Erdoberfläche betrachtet werden soll.
+<imgcaption image1|Skizze zur Raketengleichung>{{ raketengleichung.png |}}</imgcaption>
+===== Lösung =====
+Die Rakete der Masse $m(t)$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v(t)$ nach oben. Dabei wird die Masse $\Delta m$ mit der konstanten Geschwindigkeit $v_0$ (relativ zur Rakete) nach unten ausgestoßen. Für die Rakete muss das Newtonsche Kraftgesetz in seiner ursprünglichen Form
+$$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\tag{1}$$
+zu Grunde gelegt werden, weil die Raketenmasse veränderlich ist. Daher gilt
+$$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \vec{v}\cdot \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\tag{2}$$
+wobei
+$$\vec{v} = v\cdot \vec{e}_z\tag{3}$$
+die vertikale Geschwindigkeit bedeutet. Die ausgestoßenen Gase tragen innerhalb des Zeitintervalls $\Delta t$ den Impuls
+$$\Delta \vec{p}' = \Delta m\cdot (v - v_0)\cdot \vec{e}_z = \alpha\cdot (v - v_0)\cdot \Delta t\cdot \vec{e}_z\tag{4}$$
+weg. Dies führt zu einer Kraft auf die Rakete (Rückstoßkraft) von der Größe
+$$\vec{F}' = -\frac{\Delta\vec{p}'}{\Delta t} = - \alpha\cdot (v - v_0)\cdot \vec{e}_z\tag{5}$$
+Außerdem wirkt die Schwerkraft zum Erdmittelpunkt mit $-m\cdot g\cdot \vec{e}_z$. Somit lautet das Newtonsche Kraftgesetz
+\[\begin{aligned}
+m\cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + v\cdot \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} &= -\alpha\cdot (v-v_0) - m\cdot g \\
+&= -m\cdot g - \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\cdot (v-v_0)
+\end{aligned}\tag{6}\]
+Diese Bilanz gilt im fest auf der Erde verankertem Inertialsystem. Mit $m = m_0\cdot \alpha\cdot t$ und $\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}= -\alpha$ folgt
+$$m\cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\cdot \vec{e}_z = +\alpha\cdot v_0\cdot \vec{e}_z - m\cdot g\cdot \vec{e}_z\tag{7}$$
+Das Glied $\alpha\cdot v_0$ auf der rechten Seite stellt die vom Rückstoß herrührende Kraft dar. Wir erhalten weiter
+\[\begin{aligned}
+\int\limits_0^v \mathrm{d}v &=\int\limits_0^t\left(\frac{\alpha\cdot v_0}{m_0 - \alpha\cdot t}-g\right) \mathrm{d}t, \\
+v(t) &= -g\cdot t + v_0\cdot \int\limits_0^t \frac{\frac{\alpha}{m_0}}{1 - \left(\frac{\alpha}{m_0}\right)\cdot t}\mathrm{d}t \\
+&= -g\cdot t - v_0\cdot \left[\ln\left(1 - \frac{\alpha}{m_0}\cdot t \right)\right]_0^t \\
+&= -g\cdot t - v_0\cdot \ln\left(1 - \frac{\alpha}{m_0}\cdot t \right)
+\end{aligned}\tag{8}\]
+Offensichtlich hängt die Raketengeschwindigkeit linear von der Austrittsgeschwindigkeit $v_0$ der Rückstoßgase ab. Durch eine weitere Integration ergibt sich die Höhe $h(t)$ der Rakete mit
+| $$h = \int\limits_0^h v\;\mathrm{d}t = -\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 - v_0\cdot \int\limits_0^t \ln\left(1 - \frac{\alpha}{m_0}\cdot t \right) \mathrm{d}t\tag{9}$$ |
+Mit der Substitution $u = 1 - \frac{\alpha}{m_0}\cdot t$ und $\mathrm{d}u = -(\frac{\alpha}{m_0})\mathrm{d}t$ folgt daraus
+| \[\begin{aligned}
+\frac{v_0\cdot m_0}{\alpha}\cdot \int\limits_{t=0}^t \ln(u)\mathrm{d}u &= \frac{v_0\cdot m_0}{\alpha}\cdot\bigg[u\cdot \ln u - u\bigg]_{t=0}^t \\
+&=\frac{v_0\cdot m_0}{\alpha}\cdot \left[\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right)\cdot \ln\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right) - \left(1-\frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right)\right]_{t=0}^t \\
+&= \frac{v_0\cdot m_0}{\alpha}\cdot\left[\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right)\cdot \ln\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right) + \frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right]
+\end{aligned}\tag{10}\] |
+Damit folgt für die Höhe der Rakete nach der Zeit $t$
+| $$h = -\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 + \frac{v_0\cdot m_0}{\alpha}\cdot \left(1-\frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right)\cdot \ln\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right) + v_0\cdot t\tag{11}$$ |
+Um den Zeitpunkt des Brennschlusses $T$ zu bestimmen, führen wir als $m_1$ die Masse des Gehäuses der Rakete ein. \\
+Es gilt dann: $m_0 = m_1 + \alpha\cdot T$, wobei $\alpha\cdot T$ die Brennstoffmasse ist.
+$$T = \frac{m_0 - m_1}{\alpha}\tag{12}$$
+Zur Zeit des Brennschlusses hat die Rakete die Geschwindigkeit
+| $$v_1 = v(T) = -g\cdot \frac{m_0 - m_1}{\alpha} - v_0\cdot \ln\left(\frac{m_1}{m_0}\right) = -g\cdot \frac{m_0 - m_1}{\alpha} + v_0\cdot\ln\left(\frac{m_0}{m_1}\right)\tag{13}$$ |
+am Ort
+| $$h_1 = h(T) = -\frac{1}{2}\cdot g\cdot\left(\frac{m_0 - m_1}{\alpha}\right)^2 + v_0\cdot \left[\frac{m_0 - m_1}{\alpha} + \frac{m_1}{\alpha}\cdot \ln\left(\frac{m_1}{m_0} \right)\right]\tag{14}$$ |
+Die Endgeschwindigkeit der Rakete hängt linear von der Austrittsgeschwindigkeit $v_0$ der Rückstoßgase ab und ist proportional dem Logarithmus des Verhältnisses aus Anfangs- und Endmasse. Für die weitere Bewegung der Rakete folgt nach dem Energiesatz
+$$\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_1^2 = m\cdot g\cdot h_2\tag{15}$$
+Daraus lässt sich die Höhe $h_2$, die die Rakete nach Brennschluss erreicht, berechnen mit
+$$h_2 = \frac{v_1^2}{2\cdot g}\tag{16}$$
+Die gesamte Steighöhe der Rakete ist dann
+| \[\begin{aligned}
+h =& h_1 + h_2 = h_1 + \frac{v_1^2}{2\cdot g} \\
+h =& \frac{1}{2}\cdot g\cdot \left(\frac{m_0-m_1}{\alpha}\right)^2 - \frac{1}{2}\cdot g\cdot \left(\frac{m_0-m_1}{\alpha}\right)^2 \\
+  +& v_0\cdot \left(\frac{m_0-m_1}{\alpha}\right)\cdot \ln\left(\frac{m_1}{m_0}\right) \\
+  +& \frac{v_0^2}{2\cdot g}\cdot \ln^2\left(\frac{m_1}{m_0}\right) \\
+  +& v_0\cdot \left(\frac{m_0-m_1}{\alpha}\right) \\
+  +& v_0\cdot \frac{m_1}{\alpha}\cdot \ln\left(\frac{m_1}{m_0} \right)
+\end{aligned}\tag{17}\] |
+Man erhält schließlich
+\[\begin{aligned}
+h &= \left(\ln\frac{m_1}{m_0}+1\right)\cdot v_0\cdot \left(\frac{m_0-m_1}{\alpha}\right) \\
+  &+ v_0\cdot \ln\frac{m_1}{m_0}\cdot\left(\frac{v_0}{2\cdot g}\cdot \ln\frac{m_1}{m_0} + \frac{m_1}{\alpha}\right)
+\end{aligned}\tag{18}\]