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--- loesung_der_keplergleichung [2024/05/30 14:41] – [Grafiken] hcgreier
+++ loesung_der_keplergleichung [2025/09/17 00:12] (aktuell) – [Methoden zur Bestimmung der wahren Anomalie] quern
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 Die Keplergleichung lautet:
-\[\Large E = M + \epsilon\cdot \sin E \tag{6}\]
+\[E = M + \epsilon\cdot \sin E \tag{6}\]
 Diese Gleichung muss nach $E$ aufgelöst werden. Es handelt sich hier aber um eine //transzendente// Gleichung, die nicht direkt gelöst werden kann, weil $E$ einmal alleine auftaucht und auch als Argument der Sinusfunktion. Im folgenden sollen nun 4 Methoden zur Ermittelung von $E$ bzw. $\nu$ beschrieben werden.
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 Es zeigt sich, dass derart viele Iterationen nur bei sehr großen Werten für $\epsilon$ auftreten, die sehr nahe an $1$ liegen. Die höchste Exzentrizität der Planeten hat Merkur* mit etwa $\epsilon = 0.205631^{\circ}$ (für Epoche $J2000$). Die Berechnung für alle Planeten mit dieser Methode sollte daher keine Probleme bereiten. Für Kometen, die eine sehr hohe Exzentrizität haben können, empfiehlt sich diese Methode nicht.
+{{anchor:kepler1_iter}}
 <WRAP center round info 100%>
 * Pluto hat eine größere Exzentrizität als Merkur mit $\epsilon_{Pluto} = 0.2488^{\circ}$, gilt aber seit 2006 nicht mehr als Planet (Zwergplanet).
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 <WRAP center round tip 100%>
-Es sei darauf hingewiesen, dass eine Genauigkeit von $10^{-9}$ absurd ist, das entspricht etwa 0.000004 Bogensekunden! Der Grenzwert von $10^{-9}$ wurde hier zu Anschauungszwecken gewählt. Er lässt sich aber in der Funktion nach Belieben setzen.
+Es sei darauf hingewiesen, dass eine Genauigkeit von $10^{-9}$ Grad absurd ist, das entspricht etwa 0.000004 Bogensekunden! Der Grenzwert von $10^{-9}$ wurde hier zu Anschauungszwecken gewählt. Er lässt sich aber in der Funktion nach Belieben setzen.
 </WRAP>
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 >{{ :keplergleichung_diff_kepler_approx_planets_sm.png?800 |}}</imgcaption>
-**Abb. 9:** Hier ergibt sich die größe Abweichung für Jupiter mit ca. $4''$. Die Abweichung für die Erde bleibt immer unter $0\overset{''}{.}2$.
+**Abb. 8:** Hier ergibt sich die größe Abweichung für Jupiter mit ca. $4''$. Die Abweichung für die Erde bleibt immer unter $0\overset{''}{.}2$.
 <imgcaption image9|Abweichung der Methode 4 von der Lösung mittels Keplergleichung für die Planeten>{{ :keplergleichung_diff_kepler_approx_planets_big.png?800 |}}</imgcaption>
 Größere Abweichungen gibt es für die Planeten Merkur, Mars und Saturn. Man sieht, dass vor allem Merkur ausreißt, er hat auch die größte Exzentrizität. Die größte Abweichung liegt bei $306\overset{''}{.}91$ beim Winkel $70\overset{\circ}{.}39$. Zur Erstellung einer Grafik wäre das aber immer noch ausreichend, da $300'' = 5' = 0\overset{\circ}{.}08333$ immer noch ein recht kleiner Gradwert ist und in einer Grafik praktisch nicht sichtbar wäre.