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--- kreisbahnsatelliten [2025/09/18 23:10] – angelegt hcgreier
+++ kreisbahnsatelliten [2025/10/16 22:39] (aktuell) – quern
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 ===== Aufgabe =====
-Es soll der Projektionspunkt $P$ eines Kreisbahnsatelliten $S$ auf die sich drehende Erde bestimmt werdem. Der Einfachheit halber sei die Erde als Kugel mit dem Erdradius $R_E$ aufgefasst und die Erde habe eine konstante Winkelgeschwindigkeit $\omega_{E}$.
+Es soll der Projektionspunkt $P$ eines Kreisbahnsatelliten $S$ auf die sich drehende Erde bestimmt werden. Der Einfachheit halber sei die Erde als Kugel mit dem Erdradius $R_E$ aufgefasst und die Erde habe eine konstante Winkelgeschwindigkeit $\omega_{E}$.
 ===== Lösung =====
-<imgcaption image1|Orbit eines Kreisbahnsatelliten >{{ :relativbahn_kreisbahnsatellit.png?800 |}}</imgcaption>
+<imgcaption image1|Orbit eines Kreisbahnsatelliten >{{ relativbahn_kreisbahnsatellit_01.png?800 |}}</imgcaption>
-Der Punkt $P$ wird eine bestimmte Bewegung auf der Erdoberfläche ausführen, die durch den Zusammenhang zwischen der geografischen Länge $\varphi (t)$ und der geografischen Breite $\psi (t)$ angegeben werden kann. Aus dem orthogonalen sphärischen Dreieck $\bigtriangleup QTP$ kann man mit dem Erdradius $R_E$ sowie der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{E}$ der Erde folgern:
+Der projizierte Punkt $P$ wird eine bestimmte Bewegung auf der Erdoberfläche ausführen, die durch den Zusammenhang zwischen der geografischen Länge $\varphi (t)$ und der geografischen Breite $\psi (t)$ angegeben werden kann. Aus dem orthogonalen sphärischen Dreieck $\bigtriangleup QTP$ kann man mit dem Erdradius $R_E$ sowie der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{E}$ der Erde folgern:
 <imgcaption image2|Beziehungen im Dreieck QTP>{{ :relativbahn_kreisbahnsatellit_02.png?600 |}}</imgcaption>
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 \[\begin{aligned}
 \psi(t) &= \arcsin \big[\sin\alpha\cdot \sin(\omega_S\cdot t)\big] \\[2ex]
-\phi(t) &= \arctan \big[\cos\alpha\cdot \tan (\omega_S\cdot t)\big] - \omega_E\cdot t
+\varphi(t) &= \arctan \big[\cos\alpha\cdot \tan (\omega_S\cdot t)\big] - \omega_E\cdot t
 \end{aligned}\tag{2}\]
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 \[\begin{aligned}
 \psi(t) &\approx \alpha\cdot \sin(\omega_S\cdot t) \\[2ex]
-\phi(t) &\approx (\omega_S - \omega_E)\cdot t
+\varphi(t) &\approx (\omega_S - \omega_E)\cdot t
 \end{aligned}\tag{3}\]
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 Ein **geostationärer** Satellit -- d.h. ein Satellit, der immer über demselben Punkt des Erdäquators verweilt -- ist also nur für $\alpha = 0$ und $\omega_S = \omega_E$ möglich.
 </WRAP>
 ===== Projizierte Bahnen in Abhängigkeit der Parameter $\alpha, \omega_S, \omega_E$ =====
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 <imgcaption image3|Bahnkurven des projizierten Punktes P>{{ :relativbahn_kreisbahnsatellit_03.png?1000 |}}</imgcaption>
-  * **[1]** Wenn die Winkelgeschwindigkeit des Satelliten $\omega_S$ viel größer ist als jene der Erde, schreiten die Nullstelen der projizierten Kurve nach Osten hin fort. Es kann auch eine kleine Rückwärtsbewegungen geben.
+  * **[1]** Wenn die Winkelgeschwindigkeit des Satelliten $\omega_S$ viel größer ist als jene der Erde, schreiten die Nullstellen der projizierten Kurve nach Osten hin fort. Es kann auch eine kleine Rückwärtsbewegungen geben.
   * **[2]** Wenn die Winkelgeschwindigkeit des Satelliten $\omega_S$ nur etwas größer ist als jene der Erde, schreiten die Nullstellen immer langsamer nach Osten hin fort, die Rückwärtsbewegungen werden größer.
-  * **[3]** Bei einem Synchronsatelliten ist $\omega_S = \omega_E$, er dreht sich synchron mit der Erde. Wenn Winkel $\alpha \ne 0$ ist, gibt es eine Nord-Süd-Bewegung, die projizierte Kurve sieht aus wie eine "8". Es gibt hier nur eine Nullstelle und kein Voranschreiten.
+  * **[3]** Bei einem Synchronsatelliten ist $\omega_S = \omega_E$, er dreht sich synchron mit der Erde. Wenn der Winkel $\alpha \ne 0$ ist, gibt es eine Nord-Süd-Bewegung, die projizierte Kurve sieht aus wie eine "8". Es gibt hier nur eine Nullstelle und kein Voranschreiten.
   * **[4]** Wenn $\omega_S < \omega_E$ ist, bewegen sich die Nullstellen der projizierten Kurve nur mehr nach Westen, also rückläufig.
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 $$r \gt \sqrt[3]{\frac{g\cdot R_E^2}{\omega_E^2} }\tag{5}$$
-mit $g =$ Erdbeschleunigung am Boden, $g = 9.80665\frac{m}{s^2}$
+mit $g = 9.80665\frac{m}{s^2}$, der Erdbeschleunigung am Boden.
+<WRAP center round tip 100%>
+Setzt man die Standardwerte in die Gleichung (5) ein, nämlich
+\[\begin{aligned}
+g &= 9.80665\;\frac{m}{s^2} \\
+R_E &= 6378.14\;km = 6378140\;m \\
+\omega_E &= \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86400\;s} = 7.2722\cdot 10^{-5}\frac{1}{s}
+\end{aligned}\]
+erhält man für den Radius eines geostationären Satelliten $r = 42253126\;m = 42253.1\;km$ vom Erdmittelpunkt bzw. $r = 42253.1\;km - 6378.14\;km = 35875\;km$ Höhe über der Erdoberfläche.
+</WRAP>