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--- konstellationen_der_planeten [2024/05/04 23:03] – [Stationäre Position] quern
+++ konstellationen_der_planeten [2024/12/20 01:38] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 ===== Perihel und Aphel =====
-Die Perihelzeit ist der Zeitpunkt, an der der Planet im sonnennächsten Punkt steht. Die folgenden Gleichungen stammen aus J. Meeus' [[literaturhinweise#books_meeus|Astronomical Algorithms]]. Der Gleichungen für den Hilfswert $k$ in der Tabelle haben die folgende Struktur
+Die Perihelzeit ist der Zeitpunkt, an der der Planet im sonnennächsten Punkt steht. Die folgenden Gleichungen stammen aus J. Meeus' [[literaturhinweise#books_meeus|Astronomical Algorithms]]. Der Gleichungen für den Hilfswert $k$ in der **Tabelle 1** haben die folgende Struktur:
-$$k = \frac{U_t}{360^{\circ}} \cdot n_m \cdot (J - J_p)$$
+$$k = \frac{U_t}{360^{\circ}} \cdot n_m \cdot (J - J_p)\tag{1}$$
-mit $J_p$ als Perihelzeit, J in [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahren]] und $n_m$ als die mittlere tägliche Bewegung des Planeten um die Sonne, sowie das tropische Jahr $U_t$. $k$ ist dann eine ganze Zahl (Integer) für das Perihel, sowie eine ganze Zahl vermehrt um $0.5$ für das Aphel. Andere $k$-Werte liefern nur sinnlose Ergebnisse! Es folgt die genäherte Berechnung des Hilfswerts $k$:
+mit $J_p$ als Perihelzeit, J in [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahren]] und $n_m$ als die mittlere tägliche Bewegung des Planeten um die Sonne, sowie das tropische Jahr $U_t$. $k$ ist dann eine **Ganzzahl** (Integer) für das Perihel, sowie eine Ganzzahl vermehrt um $0.5$ für das Aphel. Andere $k$-Werte liefern nur sinnlose Ergebnisse! Es folgt die genäherte Berechnung des Hilfswerts $k$:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,350px,100px,350px"&float=center}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,310px,100px,310px"&float=center}}
 ^   Tabelle 1   ||||
 ^  Planet   ^  $k\approx$                                         ^   Planet  ^  $k\approx$  ^
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 Mit dem Erhalt von $k$ kann man nun den Zeitpunkt des Periheldurchgangs (Perihelzeit) bzw. des Apheldurchgangs (Aphelzeit) bestimmen:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,600px"&float=center}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,500px"&float=center}}
 ^  Tabelle 2  ||
 ^  Planet   ^  $JDE=$  ^
-| Merkur   | \(2451590\overset{d}{.}257 + 87.96934963 \cdot k - 0.000 \cdot k^2\) |
+| Merkur:   | \(2451590\overset{d}{.}257 + 87.96934963 \cdot k\) |
-| Venus    | \(2451738\overset{d}{.}233 + 224.7008188 \cdot k - 3.27 \cdot 10^{-6} \cdot k^2\) |
+| Venus:    | \(2451738\overset{d}{.}233 + 224.7008188 \cdot k - 3.27 \cdot 10^{-8} \cdot k^2\) |
-| Erde     | \(2451547\overset{d}{.}507 + 365.2596358 \cdot k + 1.556 \cdot 10^{-6} \cdot k^2\) |
+| Erde:     | \(2451547\overset{d}{.}507 + 365.2596358 \cdot k + 1.56 \cdot 10^{-8} \cdot k^2\) |
-| Mars     | \(2452195\overset{d}{.}026 + 686.9957857 \cdot k - 1.187 \cdot 10^{-5} \cdot k^2\) |
+| Mars:     | \(2452195\overset{d}{.}026 + 686.9957857 \cdot k - 1.187 \cdot 10^{-7} \cdot k^2\) |
-| Jupiter  | \(2455636\overset{d}{.}938 + 4332.8970652 \cdot k + 1.367 \cdot 10^{-2} \cdot k^2\) |
+| Jupiter:  | \(2455636\overset{d}{.}936 + 4332.8970652 \cdot k + 1.367 \cdot 10^{-4} \cdot k^2\) |
-| Saturn   | \(2452830\overset{d}{.}111 + 10764.21676 \cdot k + 8.27 \cdot 10^{-2} \cdot k^2\) |
+| Saturn:   | \(2452830\overset{d}{.}12 + 10764.21676 \cdot k + 8.27 \cdot 10^{-4} \cdot k^2\) |
-| Uranus   | \(2470213\overset{d}{.}5 + 30694.8767 \cdot k - 0.541 \cdot k^2\) |
+| Uranus:   | \(2470213\overset{d}{.}5 + 30694.8767 \cdot k - 0.00541 \cdot k^2\) |
-| Neptun   | \(2468895\overset{d}{.}1 + 60190.33 \cdot k + 3.429 \cdot k^2\) |
+| Neptun:   | \(2468895\overset{d}{.}1 + 60190.33 \cdot k + 0.03429 \cdot k^2\) |
 Das $JDE(k)$ kann [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|hier]] in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet werden, das Resultat ist dann in dynamischer Zeit.
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-Die dargestellten Terme geben nur Näherungen wieder. Die Abweichungen können bis zu einem halben Jahr und mehr betragen. Es empfiehlt sich daher, die kleinsten und größten Radien der Planeten zur Sonne iterativ zur entsprechenden Zeit zu berechnen. Nur bei der Erde können die erhaltenen Werte noch zusätzlich mit der folgenden Tabelle korrigiert werden. Die so erhaltenen Korrekturen werden zur Perihelzeit $JDE$ der Erde hinzuaddiert.
+Die dargestellten Terme geben nur Näherungen wieder. Die Abweichungen können bis zu einem halben Jahr und mehr betragen. Es empfiehlt sich daher, die kleinsten und größten Radien der Planeten zur Sonne iterativ zur entsprechenden Zeit zu berechnen. Nur bei der Erde können die erhaltenen Werte noch zusätzlich mit der folgenden **Tabelle 3** korrigiert werden. Die so erhaltenen Korrekturen werden zur Perihelzeit $JDE$ der Erde hinzuaddiert.
+</WRAP>
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,100px,310px"&float=center}}
 ^  Tabelle 3  |||
 ^  Perihel  ^  Aphel  ^  Multiplikator  ^
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 | $-0\overset{d}{.}056$ | $+0\overset{d}{.}029$ | $\sin(136\overset{\circ}{.}95 + 659\overset{\circ}{.}306737 \cdot k)$ |
 | $-0\overset{d}{.}045$ | $+0\overset{d}{.}031$ | $\sin(249\overset{\circ}{.}52 + 329\overset{\circ}{.}653368 \cdot k)$ |
+<WRAP center round box 100%>
+==== Beispiel 1 ====
+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Zeitpunkt des Periheldurchgangs von Mars für das Jahr 2024!**
+----
+Aus der **Tabelle 1** erhält man mit der dezimalen Jahreszahl $J = 2024.0$ den auf die nächste Ganzzahl gerundeten Wert von $k$ mit
+\(\begin{align}
+k &= \textrm{round}(0.5316512813\cdot(J − 2001.78))\\
+  &= \textrm{round}(0.5316512813\cdot(2024.0 − 2001.78))\\
+  &= 12
+\end{align}\)
+Damit erhält man den julianischen Ephemeridentag des Periheldurchgangs für Mars aus **Tabelle 2** mit
+\(\begin{align}
+JDE &= 2452195.026 + 686.9957857\cdot k - 1.187\cdot 10^{-7}\cdot k^2\\
+    &= 2452195.026 + 686.9957857\cdot 12 - 1.187\cdot 10^{-7}\cdot 12^2\\
+    &= 2460438.975411307
+\end{align}\)
+Der erhaltene julianische Tag ist in der Zeitskala der [[:dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischen Zeit]] gegeben. Die Umwandlung des julianischen Tages [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|in ein Kalenderdatum]] ergibt dann den $8.5.2024, \textrm{11:25}\;TD$. Auf eine Rückrechnung in Weltzeit $UT$ kann im Rahmen der Genauigkeit dieses Algorithmus verzichtet werden.
+<WRAP center round info 100%>
+J. Meeus bemerkt zu den gegebenen Formeln: »//Die angegebenen Formeln zur Berechnung des $JDE$ basieren auf **ungestörten** elliptischen Umlaufbahnen. Aus diesem Grund können die für Mars ermittelten Zeitpunkte um einige Stunden fehlerhaft sein.//« \\
+Die Fehler für Jupiter und Saturn können auch noch wesentlich größer sein.
+</WRAP>
+  * Die Astronomiesoftware **Alcyone** gibt den minimalen heliozentrischen Abstand von Mars nur auf die Stunde genau mit $8.5.2024,\textrm{11:00}\;TD$ an.
+  * Eine Berechnung mittels der vollständigen Planetentheorie VSOP87D zeigt, dass der geringste Abstand von Mars in den Zeitraum vom $8.5.2024,\textrm{10:08} - \textrm{11:20}\;TD$ fällt. Der Mittelwert ist $\textrm{10:44}\;TD$ mit einem Abstand von $R = 1.38150448\; AU$.
+  * Die Astronomiesoftware **SOLEX 12.1** gibt die folgenden Daten: $8.5.2024,\textrm{10:05} - \textrm{11:23}\;TD$, $R = 1.38150448\; AU$.
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}}
+^ Perihelzeitpunkt von Mars 2024   ||||
+^  Dieses Beispiel  ^  Alcyone  ^  VSOP87  ^  SOLEX 12.1  ^
+|  $8.5.2024,\textrm{11:25}\;TD$  |  $8.5.2024,\textrm{11:00}\;TD$  |  $8.5.2024,\textrm{10:44}\;TD$  |  $8.5.2024,\textrm{10:44}\;TD$  |
 </WRAP>
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 Nach der Perihel- und Aphelzeit liegt es nahe, die Zeiten der Knotendurchgänge zu ermitteln. Es gilt für den aufsteigenden Knoten:
-$$\nu = 360^{\circ} - \omega \quad\textsf{oder}\quad \nu = - \omega$$
+$$\nu = 360^{\circ} - \omega \quad\textsf{oder}\quad \nu = - \omega\tag{2}$$
 Und für den absteigenden Knoten:
-$$\nu = 180^{\circ} - \omega$$
+$$\nu = 180^{\circ} - \omega\tag{3}$$
 Die »Knotenzeit« ist von der Bahnform abhängig. $G$ und $M_S$ kann man aus der Liste für die [[:wichtige_konstanten|Konstanten]] entnehmen.
-<WRAP center round box 100%>
 **Ellipse**:
-$$E = 2 \cdot \arctan\left(\sqrt{\frac{1 - \epsilon}{1 + \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)$$
+$$E = 2 \cdot \arctan\left(\sqrt{\frac{1 - \epsilon}{1 + \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)\tag{4}$$
-$$M = E - \frac{180^\circ}{\pi}\cdot \epsilon \cdot \sin(E)$$
+$$M = E - \frac{180^\circ}{\pi}\cdot \epsilon \cdot \sin(E)\tag{5}$$
 Die Zeit $t$ des Knotendurchgangs ist dann:
-$$t = t_0 + \frac{M}{n_m}$$
+$$t = t_0 + \frac{M}{n_m}\tag{6}$$
-</WRAP>
-<WRAP center round box 100%>
 **Parabel**:
 Es gilt: $q\neq 0$:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="550px"&float=center}}
+$$t = t_0 + \sqrt{\frac{2\cdot q^3}{G\cdot (M_S + m)}} \cdot\left(\frac{1}{3}\cdot \tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)\tag{7}$$
-| $$t = t_0 + \sqrt{\frac{2\cdot q^3}{G\cdot (M_S + m)}} \cdot\left(\frac{1}{3}\cdot \tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)$$  |
 Für geradlinige (entartete) Parabelbahnen gibt es eine modifizierte Gleichung:
-$$t = t_0 \pm \sqrt{\frac{2}{9}\cdot \frac{r^3}{G\cdot (M_S + m)}}$$
+$$t = t_0 \pm \sqrt{\frac{2}{9}\cdot \frac{r^3}{G\cdot (M_S + m)}}\tag{8}$$
 Die negative Wurzel ist zu wählen, wenn sich $M_S$ und $m$ aufeinander zubewegen. Das positive Vorzeichen gilt umgekehrt analog.
-</WRAP>
-<WRAP center round box 100%>
 **Hyperbel**:
-$$H = 2 \cdot \operatorname{artanh}\left(\sqrt{\frac{1 - \epsilon}{1 + \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)$$
+$$H = 2 \cdot \operatorname{artanh}\left(\sqrt{\frac{1 - \epsilon}{1 + \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)\tag{9}$$
-$$M_h = H - \epsilon \cdot \sinh(H)$$
+$$M_h = H - \epsilon \cdot \sinh(H)\tag{10}$$
 mit dem [[:mathematische_grundlagen#hyperpolische_trigonometrische_funktionen|Areatangens]]. Die Zeit $t$ des Knotendurchgangs ist dann:
+$$t = t_0 + \sqrt{\frac{|a|^3}{G\cdot (M_S + m)}} \cdot M_h\tag{11}$$
-$$t = t_0 + \sqrt{\frac{|a|^3}{G\cdot (M_S + m)}} \cdot M_h$$
-</WRAP>
 ===== Aspekte =====
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 Mit der [[:mathematische_grundlagen#reduktions-_und_rundungsfunktion|Rundungsfunktion]] ''round(x;y)'' und der [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahreszahl]] $J$ gilt für das Integer $k$:
-$$k = \textrm{round}\left(\frac{365.2425 \cdot J + 1721060 - A}{B};\;0\right)$$
+$$k = \textrm{round}\left(\frac{365.2425 \cdot J + 1721060 - A}{B};\;0\right)\tag{12}$$
 $k$ muss **ganzzahlig** sein (Integer), sonst bekommt man sinnlose Ergebnisse. Die nachfolgenden Polynome haben die Form:
-$$JDE_0 = A + B \cdot k + C \cdot k^2 + D \cdot k^3$$
+$$JDE_0 = A + B \cdot k + C \cdot k^2 + D \cdot k^3\tag{13}$$
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,740px"&float=center}}
@@ Zeile 118: / Zeile 150: @@
 | Merkur  | $\begin{pmatrix}63\overset{\circ}{.}5870964337 \\\ 6\overset{\circ}{.}4824017093\end{pmatrix} + 114\overset{\circ}{.}2088723823 \cdot k$ |
 | Venus   | $\begin{pmatrix}82\overset{\circ}{.}7307695973 \\\ 154\overset{\circ}{.}9749113563\end{pmatrix} + 215\overset{\circ}{.}5130493748 \cdot k$ |
-| Mars    | $\begin{pmatrix}181\overset{\circ}{.}9570635522 \\\ 157\overset{\circ}{.}6044929080\end{pmatrix} + 48\overset{\circ}{.}7052321139 \cdot k$  |
+| Mars    | $\begin{pmatrix}181\overset{\circ}{.}9570635522 \\\ 157\overset{\circ}{.}6044929080\end{pmatrix} + 48\overset{\circ}{.}7052321139 \cdot k$ |
-| Jupiter | $\begin{pmatrix}318\overset{\circ}{.}4682572856 \\\ 121\overset{\circ}{.}8981659021\end{pmatrix} + 33\overset{\circ}{.}1402235009 \cdot k$  |
+| Jupiter | $\begin{pmatrix}318\overset{\circ}{.}4682572856 \\\ 121\overset{\circ}{.}8981659021\end{pmatrix} + 33\overset{\circ}{.}1402235009 \cdot k$ |
-| Saturn  | $\begin{pmatrix}318\overset{\circ}{.}0168523565 \\\ 131\overset{\circ}{.}6930615015\end{pmatrix} + 12\overset{\circ}{.}6474830277 \cdot k$  |
+| Saturn  | $\begin{pmatrix}318\overset{\circ}{.}0168523565 \\\ 131\overset{\circ}{.}6930615015\end{pmatrix} + 12\overset{\circ}{.}6474830277 \cdot k$ |
-| Uranus  | $\begin{pmatrix}213\overset{\circ}{.}6881057382 \\\ 31\overset{\circ}{.}5215768674\end{pmatrix} + 4\overset{\circ}{.}3330879947 \cdot k$         |
+| Uranus  | $\begin{pmatrix}213\overset{\circ}{.}6881057382 \\\ 31\overset{\circ}{.}5215768674\end{pmatrix} + 4\overset{\circ}{.}3330879947 \cdot k$ |
-| Neptun  | $\begin{pmatrix}202\overset{\circ}{.}6543105847 \\\ 21\overset{\circ}{.}5571580191 \end{pmatrix} + 2\overset{\circ}{.}1949930081 \cdot k$   |
+| Neptun  | $\begin{pmatrix}202\overset{\circ}{.}6543105847 \\\ 21\overset{\circ}{.}5571580191 \end{pmatrix} + 2\overset{\circ}{.}1949930081 \cdot k$ |
 <WRAP center round info 100%>
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 Die ermittelten Werte $M$ bzw. $a$ bis $g$ werden in diese periodischen Terme eingesetzt. Die periodischen Terme sind in Tagen angegeben und werden zu $JDE_0$ addiert. Das so erhaltene $JDE_0$ kann dann in das entsprechende [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|Kalenderdatum]] umgerechnet werden. Das Resultat gibt dann den Zeitpunkt des Ereignisses in [[:dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]] an.
+++++ Tabellen 7 - 13  |
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="360px,360px,140px"&float=center}}
@@ Zeile 240: / Zeile 274: @@
 | $- 0.5964$ | $- 0.5964$ | $\cos(e)$ |
 | $+ 0.0728$ | $+ 0.0728$ | $\cos(g)$ |
+++++
 <WRAP center round box 100%>
-==== Beispiel 1 ====
+==== Beispiel 2 ====
 {{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Oppositionszeitpunkt von Jupiter für das Jahr 2024!**
-----
+In den [[#aspekte|Tabellen 4 & 5 für die Aspekte]] findet man für Jupiter die folgenden Beziehungen für den mittleren Zeitpunkt $JDE_0$ und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils //obere// Werte für Opposition)
-In den [[#aspekte|Tabellen für die Aspekte]] findet man für Jupiter die folgenden Beziehungen für den mittleren Zeitpunkt $JDE_0$ und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils //obere// Werte für Opposition)
 \(\begin{align}
@@ Zeile 287: / Zeile 321: @@
 Es wurde die [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]] verwendet, um den großen Winkel in das Intervall [0°-360°] zu bringen.
-Für Jupiter bis Neptun benötigt man weitere Hilfswinkel, im Fall von Jupiter hat man laut Tabelle nur
+Für Jupiter bis Neptun benötigt man weitere Hilfswinkel, im Fall von Jupiter hat man laut **Tabelle 6** nur
 $a = 82.74 + 40.76\cdot T$
@@ Zeile 307: / Zeile 341: @@
 \end{align}\)
-Nun berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{o}$, die in der Tabelle für Jupiter in der Spalte "Opposition" angegeben sind:
+Nun berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{o}$, die in der **Tabelle 10** für Jupiter in der Spalte "Opposition" angegeben sind:
 | \(\begin{align}
@@ Zeile 344: / Zeile 378: @@
 Zur Berechnung der größten Elongationen beginnt man mit der mittleren unteren Konjunktion (also Berechnung von $JDE_{uk}$ und $M$) und addiert dann diese periodischen Terme $JDE_{öe/we}$ (nach dem Einsetzen von $M$) hinzu. Das Resultat ergibt dann den Zeitpunkt der Elongation in [[:dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]] nach der Umrechnung ins [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|Kalenderdatum]]. Die größte östliche Elongation entspricht der Abendsichtbarkeit und die größte westliche Elongation entspricht der Morgensichtbarkeit.
+++++ Tabellen 14 - 17  |
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="380px,400px,120px"&float=center}}
@@ Zeile 396: / Zeile 432: @@
 | $+ 0.0309 - 0.0002 \cdot T$ | $- 0.0163$ | $\sin(2\cdot M)$ |
 | $+ 0.0036 - 0.0001 \cdot T$ | $- 0.0075 + 0.0001 \cdot T$ | $\cos(2\cdot M)$ |
+++++
 <WRAP center round box 100%>
-==== Beispiel 2 ====
+==== Beispiel 3 ====
 {{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Zeitpunkt der größten östlichen Elongation von Venus sowie den entsprechenden Winkelabstand für das Jahr 2024!**
@@ Zeile 404: / Zeile 442: @@
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-In den [[#aspekte|Tabellen für die Aspekte]] findet man für Venus die folgenden Beziehungen für den mittleren Zeitpunkt $JDE_0$ und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils //obere// Werte für die untere Konjunktion)
+In den [[#aspekte|Tabellen 4 & 5 für die Aspekte]] findet man für Venus die folgenden Beziehungen für den mittleren Zeitpunkt $JDE_0$ und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils //obere// Werte für die untere Konjunktion)
 \(\begin{align}
@@ Zeile 452: / Zeile 490: @@
 \end{align}\)
-Mittels $T$ und $M$ berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{öe}$, die in der Tabelle für Venus in der Spalte "größte östliche Elongation" angegeben sind:
+Mittels $T$ und $M$ berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{öe}$, die in der **Tabelle 15** für Venus in der Spalte "größte östliche Elongation" angegeben sind:
 | \(\begin{align}
@@ Zeile 496: / Zeile 534: @@
 Auf eine Rückrechnung in Weltzeit $UT$ kann im Rahmen der Genauigkeit dieses Algorithmus verzichtet werden. Die Astronomiesoftware **Alcyone** gibt den gesuchten Zeitpunkt nur auf den Tag genau mit $10.1.2025$ an.
-Es fehlt nun noch der Winkelwert $\eta_{öe}$ für diesen Zeitpunkt, welcher durch die Summe der Terme in der entsprechenden Tabelle gefunden wird:
+Es fehlt nun noch der Winkelwert $\eta_{öe}$ für diesen Zeitpunkt, welcher durch die Summe der Terme in der entsprechenden **Tabelle 17** gefunden wird:
 \(\begin{align}
@@ Zeile 518: / Zeile 556: @@
 Mit den stationären Positionen (in geozentrischer Länge, //nicht// in Rektaszension) der Planeten sind für die Planeten der Beginn der rückläufigen Bewegung mit der 1. Station und das Ende der rückläufigen Bewegung mit der 2. Station gemeint. Bei den unteren Planeten sind es nicht notwendigerweise die größten Elongationen. Dazu muß zuerst für die unteren Planeten der Zeitpunkt $JDE_{uk}$ der unteren Konjunktion und für die oberen Planeten der Zeitpunkt $JDE_o$ der Opposition ermittelt werden. Dazu addiert man dann $JDE_{1s}$ oder $JDE_{2s}$ dazu. Das Resultat ergibt dann den Zeitpunkt der stationären Positionen in [[:dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]] nach der Umrechnung ins [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|Kalenderdatum]].
+++++ Tabellen 18 - 22  |
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="420px,420px,120px"&float=center}}
 ^  Tabelle 18: Merkur   |||
 ^  gr. östl. Elongation (Station 1): $\Delta JDE_{1s}[^d]$  ^  gr. westl. Elongation (Station 2): $\Delta JDE_{2s}[^d]$  ^  ^
-| $- 11.0761 + 0.0003 \cdot T$                             | $+ 11.1343 - 0.0001 \cdot T$                              |                   |
+| $- 11.0761 + 0.0003 \cdot T$ | $+ 11.1343 - 0.0001 \cdot T$ |  |
-| $- 4.7321 + 0.0023 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$          | $- 3.9137 + 0.0073 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$           | $\sin(M)$         |
+| $- 4.7321 + 0.0023 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$ | $- 3.9137 + 0.0073 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$ | $\sin(M)$ |
-| $- 1.3230 - 0.0156 \cdot T$                              | $- 3.3861 - 0.0128 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$           | $\cos(M)$         |
+| $- 1.3230 - 0.0156 \cdot T$ | $- 3.3861 - 0.0128 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$ | $\cos(M)$ |
-| $+ 0.2270 - 0.0046 \cdot T$                              | $+ 0.5222 - 0.0040 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$           | $\sin(2\cdot M)$  |
+| $+ 0.2270 - 0.0046 \cdot T$ | $+ 0.5222 - 0.0040 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$ | $\sin(2\cdot M)$ |
-| $+0.7184 + 0.0013\cdot T - 0.00002\cdot T^2$             | $- 0.5929 + 0.0039 \cdot T - 0.00002 \cdot T$             | $\cos(2\cdot M)$  |
+| $+0.7184 + 0.0013\cdot T - 0.00002\cdot T^2$ | $- 0.5929 + 0.0039 \cdot T - 0.00002 \cdot T$ | $\cos(2\cdot M)$ |
-| $+ 0.0638 + 0.0016 \cdot T$                              | $- 0.0593 + 0.0018 \cdot T$                               | $\sin(3\cdot M)$  |
+| $+ 0.0638 + 0.0016 \cdot T$ | $- 0.0593 + 0.0018 \cdot T$ | $\sin(3\cdot M)$ |
-| $- 0.1655 + 0.0007 \cdot T$                              | $- 0.1733 - 0.0007 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$           | $\cos(3\cdot M)$  |
+| $- 0.1655 + 0.0007 \cdot T$ | $- 0.1733 - 0.0007 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$ | $\cos(3\cdot M)$ |
-| $- 0.0395 - 0.0003 \cdot T$                              | $- 0.0053 - 0.0006 \cdot T$                               | $\sin(4\cdot M)$  |
+| $- 0.0395 - 0.0003 \cdot T$ | $- 0.0053 - 0.0006 \cdot T$ | $\sin(4\cdot M)$ |
-| $+ 0.0247 - 0.0006 \cdot T$                              | $+ 0.0476 - 0.0001 \cdot T$                               | $\cos(4\cdot M)$  |
+| $+ 0.0247 - 0.0006 \cdot T$ | $+ 0.0476 - 0.0001 \cdot T$ | $\cos(4\cdot M)$ |
-| $+ 0.0131$                                               | $+0.0070 + 0.0002\cdot T$                                 | $\sin(5\cdot M)$  |
+| $+ 0.0131$ | $+0.0070 + 0.0002\cdot T$ | $\sin(5\cdot M)$ |
-| $+ 0.0008 + 0.0002 \cdot T$                              | $- 0.0115 + 0.0001 \cdot T$                               | $\cos(5\cdot M)$  |
+| $+ 0.0008 + 0.0002 \cdot T$ | $- 0.0115 + 0.0001 \cdot T$ | $\cos(5\cdot M)$ |
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="420px,420px,120px"&float=center}}
@@ Zeile 563: / Zeile 603: @@
 ^  Tabelle 21: Jupiter  |||
 ^  gr. östl. Elongation (Station 1): $\Delta JDE_{1s}[^d]$  ^  gr. westl. Elongation (Station 2): $\Delta JDE_{2s}[^d]$  ^                   ^
-| $- 60.3670 - 0.0001 \cdot T - 0.00009 \cdot T^2$         | $+ 60.3023 + 0.0002 \cdot T - 0.00009 \cdot T^2$          |                   |
+| $- 60.3670 - 0.0001 \cdot T - 0.00009 \cdot T^2$ | $+ 60.3023 + 0.0002 \cdot T - 0.00009 \cdot T^2$ |  |
-| $- 2.3144 - 0.0124 \cdot T + 0.00007 \cdot T^2$          | $+ 0.3506 - 0.0034 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$           | $\sin(M)$         |
+| $- 2.3144 - 0.0124 \cdot T + 0.00007 \cdot T^2$ | $+ 0.3506 - 0.0034 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$ | $\sin(M)$ |
-| $ + 6.7439 + 0.0166 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$         | $+ 5.3635 + 0.0247 \cdot T - 0.00007 \cdot T^2$           | $\cos(M)$         |
+| $ + 6.7439 + 0.0166 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$ | $+ 5.3635 + 0.0247 \cdot T - 0.00007 \cdot T^2$ | $\cos(M)$ |
-| $- 0.2259 - 0.0010 \cdot T$                              | $- 0.1872 - 0.0016 \cdot T$                               | $\sin(2\cdot M)$  |
+| $- 0.2259 - 0.0010 \cdot T$ | $- 0.1872 - 0.0016 \cdot T$ | $\sin(2\cdot M)$ |
-| $- 0.1497 - 0.0014 \cdot T$                              | $- 0.0037 - 0.0005 \cdot T$                               | $\cos(2\cdot M)$  |
+| $- 0.1497 - 0.0014 \cdot T$ | $- 0.0037 - 0.0005 \cdot T$ | $\cos(2\cdot M)$ |
-| $+ 0.0105 + 0.0001 \cdot T$                              | $+ 0.0012 + 0.0001 \cdot T$                               | $\sin(3\cdot M)$  |
+| $+ 0.0105 + 0.0001 \cdot T$ | $+ 0.0012 + 0.0001 \cdot T$ | $\sin(3\cdot M)$ |
-| $- 0.0098$                                               | $- 0.0096 - 0.0001 \cdot T$                               | $\cos(3\cdot M)$  |
+| $- 0.0098$ | $- 0.0096 - 0.0001 \cdot T$ | $\cos(3\cdot M)$ |
-| $+ 0.0144 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$                   | $+ 0.0144 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$                    | $\sin(a)$         |
+| $+ 0.0144 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$ | $+ 0.0144 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$ | $\sin(a)$ |
-| $+ 0.3642 - 0.0019 \cdot T - 0.00029 \cdot T^2$          | $+ 0.3642 - 0.0019 \cdot T - 0.00029 \cdot T^2$           | $\cos(a)$         |
+| $+ 0.3642 - 0.0019 \cdot T - 0.00029 \cdot T^2$ | $+ 0.3642 - 0.0019 \cdot T - 0.00029 \cdot T^2$ | $\cos(a)$ |
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 Alle Ausdrücke gelten in einem Zeitraum zwischen $-2000$ und $+4000$. Der Fehler liegt etwa bei maximal 4 Stunden. Für Uranus, Neptun und Pluto liefert Meeus keine Reihenentwicklungen.
+++++
 <WRAP center round box 100%>
-==== Beispiel 3 ====
+==== Beispiel 4 ====
 {{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Zeitpunkt des 1. Stillstands von Mars vor seiner Opposition für das Jahr 2024!**
 <WRAP center round tip 100%>
 Das nachfolgende Beispiel berechnet den Stillstand in ekliptikaler Länge, **nicht** in der Rektaszension des Planeten!
 </WRAP>
 ----
-In den [[#aspekte|Tabellen für die Aspekte]] findet man für Mars die folgenden Beziehungen für den **mittleren** Zeitpunkt $JDE_0$ der Opposition und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils //obere// Werte für die Opposition)
+In den [[#aspekte|Tabellen 4 & 5 für die Aspekte]] findet man für Mars die folgenden Beziehungen für den **mittleren** Zeitpunkt $JDE_0$ der Opposition und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils //obere// Werte für die Opposition)
 \(\begin{align}
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 <WRAP center round tip 100%>
-Am Wert von $T = 0.\color{#cc0000}{25}00117\dots$ kann man nun bereits erkennen, dass die Opposition vom Mars **nicht** im Jahr 2024 stattfindet, sondern 2025! Der 1. Stillstand des Planeten findet aber **vor** der Opposition statt, sodass dieser durchaus noch in das Jahr 2024 fallen könnte.
+Am Wert von $T = 0.\color{#cc0000}{25}00117\dots$ kann man nun bereits erkennen, dass die Opposition von Mars **nicht** im Jahr 2024 stattfindet, sondern 2025! Der 1. Stillstand des Planeten findet aber **vor** der Opposition statt, sodass dieser durchaus noch in das Jahr 2024 fallen könnte.
 </WRAP>
-Mittels $T$ und $M$ berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{1s}$, die in der Tabelle für Mars in der Spalte "**vor der Opposition (Station 1)**" angegeben sind:
+Mittels $T$ und $M$ berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{1s}$, die in der **Tabelle 20** für Mars in der Spalte "**vor der Opposition (Station 1)**" angegeben sind:
 | \(\begin{align}