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-==== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ====
+====== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ======
-Wenn der Sinus, der Cosinus oder der Tangens eines Winkels bekannt ist, kann der Winkel selbst mithilfe der Umkehrfunktionen Arcussinus, Arcuskosinus oder Arcustangens ermittelt werden. Diese "inversen" trigonometrischen Funktionen sind nicht einwertig. Wenn zum Beispiel $\sin \alpha = 0.5$, dann ist $\alpha$ = 30°, 150°, 390° usw. \\
+Wenn der Sinus, der Cosinus oder der Tangens eines Winkels bekannt ist, kann der Winkel selbst mithilfe der Umkehrfunktionen **Arcussinus**, **Arcuscosinus** oder **Arcustangens** ermittelt werden. Diese "inversen" trigonometrischen Funktionen sind jedoch nicht einwertig. \\
+Wenn zum Beispiel $\sin \alpha = 0.5$ ist, dann ist $\alpha$ = $30^\circ$, $150^\circ$, $390^\circ$ usw. \\
-Aus diesem Grund geben z.B. Taschenrechner oder Programmiersprachen inverse trigonometrische Funktionen nur über den halben Bereich von 0 bis 360 Grad korrekt zurück: Arcussinus und Arcustangens ergeben ein Winkel zwischen -90° und +90° Grad (also zwischen -π/2 und +π/2 im Bogenmaß), während der Arcuskosinus einen Wert zwischen 0° und +180° Grad (zwischen 0 und π im Bogenmaß) angibt.
+Aus diesem Grund geben z.B. Taschenrechner oder Programmiersprachen inverse trigonometrische Funktionen nur über den halben Bereich von $0^\circ$ bis $360^\circ$ korrekt zurück:
-Versuchen Sie es beispielsweise mit cos 147°. Die Antwort ist -0,8387, was bei Verwendung der Umkehrfunktion auf 147° zurückgeht. Aber jetzt versuchen Sie es mit cos 213°. Die Antwort ist wiederum -0,8387, was, wenn man seinen Arcuskosinus nimmt, 147° ergibt.
-Daher entsteht immer dann, wenn die Umkehrfunktion von SIN, COS oder TAN verwendet wird, eine Mehrdeutigkeit, die bei Bedarf auf die eine oder andere Weise geklärt werden muss. Jedes Problem sollte dabei separat untersucht werden.
-Beispielsweise geben die Formeln (13.4) und (25.7) den Sinus der Deklination eines Himmelskörpers an. Die Funktion Arcussinus gibt diese Deklination dann immer im richtigen Quadranten an, da alle Deklinationen zwischen -90° und +90° Grad liegen. Hier ist alles in Ordnung.
+  * Arcussinus und Arcustangens ergeben einen Winkel zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ (also zwischen $-\tfrac{\pi}{2}$ und $+\tfrac{\pi}{2}$ im Bogenmaß), während
-Dies gilt auch für den Winkelabstand, dessen Cosinus durch Formel (17.1) gegeben ist. Tatsächlich liegt jeder Winkelabstand im Bereich von 0° bis +180°, was dem Bereich der Arcuscosinusfunktion entspricht. Auch hier passt alles.
+  * Arcuscosinus einen Wert zwischen $0^\circ$ und $+180^\circ$ (zwischen 0 und $\pi$ im Bogenmaß) angibt.
+  * Der dritte Quadrant fehlt und muss über rechentechnische Verfahren ermittelt werden.
+Versucht man es z.B. mit $\cos (143^\circ)$, ist das Ergebnis $-0.79863551$, was bei Verwendung der Umkehrfunktion wieder $143^\circ$ zurückgibt.
+Versucht man nun aber $\cos (217^\circ)$, erhält man ebenfalls $-0.79863551$, was, wenn man seinen Arcuscosinus nimmt, $143^\circ$ ergibt.
+Daher entsteht immer dann, wenn die Umkehrfunktion von $\sin$, $\cos$ oder $\tan$ verwendet wird, eine Mehrdeutigkeit, die bei Bedarf auf die eine oder andere Weise geklärt werden muss. Jedes Problem sollte dabei separat untersucht werden.
+<WRAP center round box 100%>
+**Beispiel**
+Die Gleichung
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="500px"}}
+| $\sin(\delta) = \sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon) + \cos(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)\cdot\sin(\lambda)$ |
+gibt den Sinus der Deklination $\delta$ eines Himmelskörpers an. Die Funktion ''arcsin'' gibt diese Deklination dann immer im richtigen Quadranten an, da alle Deklinationen zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ Grad liegen. Hier ist alles in Ordnung.
+</WRAP>
+<WRAP center round box 100%>
+**Beispiel**
+Die Gleichung
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"}}
+| $\cos(d) = \sin(\delta_1)\cdot\sin(\delta_2) + \cos(\delta_1)\cos(\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1 - \alpha_2)$ |
+gibt den Cosinus des Winkelabstands $d$ zweier Objekte auf der imaginären Himmelkugel an. Tatsächlich liegt jeder Winkelabstand im Bereich von $0^\circ$ bis $+180^\circ$, was auch dem Bereich der ''arccos''-Funktion entspricht. Auch hier passt alles.
+</WRAP>
 Betrachtet wir aber z.B. die Umrechnung von Rektaszension $\alpha$ und Deklination $\delta$ in die ekliptikalen Größen $\lambda$ und $\beta$ mithilfe der folgenden Formeln:
-\[ \begin{align} \cos(β)\cdot \sin(λ) =& \sin(δ)\cdot \sin() + \cos(δ)\cdot \cos(ε)\cdot \sin(α) \\
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
-\cos(β)\cdot \cos(λ) =& \cos(δ)\cdot \cos(α) \end{align} \]
+| \[\begin{align} I)\quad \cos(\beta)\cdot \sin(\lambda) &= \sin(\delta)\cdot \sin(\varepsilon) + \cos(\delta)\cdot \cos(\varepsilon)\cdot \sin(\alpha) \\
+II)\quad \cos(\beta)\cdot \cos(\lambda) &= \cos(\delta)\cdot \cos(\alpha) \end{align}\] |
+Wir bezeichnen der Einfachheit halber die rechten Seiten mit $A$ und $B$. Wenn wir nun die erste Gleichung durch die zweite dividieren, erhalten wir
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
+| \[\require{\cancel}\frac{I}{II} = \frac{\bcancel{\cos(β)}\cdot \sin(λ)}{\bcancel{\cos(β)}\cdot \cos(λ)} = \frac{\sin(λ)}{\cos(λ)} = \tan \lambda = \frac{A}{B}\] |
+Die Anwendung der Umkehrfunktion Arcustangens auf den Quotienten $\tfrac{A}{B}$ ergibt nur den Winkel $\lambda$ zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ mit einer Mehrdeutigkeit von $\pm 180^\circ$. Diese Mehrdeutigkeit kann man nun mit der folgenden Fallunterscheidung beseitigen:
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="560px"&float=center}}
+| **Wenn der Nenner $B \lt 0$ ist, addiere 180° zum Ergebnis.** |
+Damit erhält man $\lambda$ im korrekten Quadranten. Gegebenenfalls sollte der Winkel noch mit der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] auf das Intervall [0-360°] gebracht werden.
+<WRAP center round tip 100%>
+Viele Programmiersprachen enthalten heute eine nützliche "zweite" Arcustangensfunktion wie z.B. ''ATN2'' oder ''ATAN2'', die die beiden Argumente $A$ und $B$ getrennt verwendet und den Winkel direkt im richtigen Quadranten zurückgeben kann.
+</WRAP>
+<WRAP center round box 100%>
+**Beispiel**
+Angenommen, Zähler $A = -0.5712$ und Nenner $B = -0.9139$; dann ergibt $\mathrm{ATN}\left(\tfrac{A}{B}\right)$ den Winkel $32^\circ$, während $\mathrm{ATN2}(A, B)$ den korrekten Wert $-148^\circ$ oder, in das Intervall [0-360°] gebracht, $+212^\circ$ ergibt. Da $B$ negativ ist, muss man $32^\circ + 180^\circ = 212^\circ$ rechnen.
+</WRAP>
+<WRAP center round box 100%>
+==== Beispielcode in JavaScript ====
+Da hier in vielen Berechnungen mit Winkeln im **Gradmaß** gerechnet wird, zeigt die folgende Funktion, wie man den ''arctan'' im korrekten Quadranten in Grad ermitteln könnte. JavaScript benutzt dafür die eingebaute Funktion ''Math.atan2''. Für die Rückgabe in Grad muss man nur mehr mit $\tfrac{180}{\pi}$ multiplizieren.
+<code>
+function arctan2(y, x) {
+  return Math.atan2(y, x) * (180/Math.PI);
+}
+console.log(arctan2(4, 3))   // =>  53.13010235415598 (1. Quardant)
+console.log(arctan2(4, -3))  // =>  126.86989764584402 (2. Quardant)
+console.log(arctan2(-4, -3)) // => -126.86989764584402 (3. Quardant)
+console.log(arctan2(-4, 3))  // => -53.13010235415598 (4. Quardant)
+</code>
+</WRAP>
-Wir bezeichnetn man der Einfachheit halber die rechten Seiten mit $A$ und $B$. Wenn wir nun die erste Gleichung durch die zweite dividieren, erhalten wir
-$$\frac{\cos(β)\cdot \sin(λ)}{\cos(β)\cdot \cos(λ)} = \tan \lambda = \frac{A}{B}$$
+<WRAP center round important 100%>
+In der Berechnung wird der Zähler des Bruchs als $y$ und der Nenner als $x$ bezeichnet, wobei $y$ der erste Parameter der Funktion ''arctan2'' ist, also $\alpha = \textrm{arctan2}\left({\frac{y}{x}}\right)$. \\
+Eventuelle negative Winkelwerte können mit der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion#|Reduktions-Funktion]] ''red(...)'' in das Intervall [0°-360°] gebracht werden.
+</WRAP>
-Die Anwendung der Umkehrfunktion Arcustangens auf den Quotienten $\tfrac{A}{B}$ ergibt nur den Winkel $\lambda$ zwischen -90° und +90° mit einer Mehrdeutigkeit von ±180°.
-Diese Mehrdeutigkeit kann man nun mit der folgenden Fallunterscheidung beseitigen:
-> Wenn $B \lt 0$ ist, addiere 180° zum Ergebnis.
-Damit erhält man $\lambda$ im korrekten Quadranten. Gegebenenfalls sollte der Winkel noch auf das Intervall [0-360°] gebracht werden.
-Viele Programmiersprachen enthalten heute eine nützliche "zweite" Arcustangensfunktion wie z.B. ATN2 oder ATAN2, die die die beiden Argumente $A$ und $B$ getrennt verwendet und den Winkel direkt im richtigen Quadranten zurückgeben kann.
-Angenommen, $A = -0.5712$, $B = -0.9139$; dann ergibt ATN(A/B) den Winkel 32°, während ATN2(A, B) den korrekten Wert -148° oder +212° ergibt.