Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten – Beispiele

Sehr häufig kommen in der Unterstufe Gleichungen mit einer Unbekannten vor.
Die folgenden Beispiele enthalten die Unbekannten Variablen nur in der 1. Potenz, sie sind also linear. D.h., es kommt kein \(x^2,\;x^3\) usw. in der Gleichung vor, sondern nur \(x\).

Beispiel 1

\(\displaystyle x+\frac{{3x-9}}{5}=4-\frac{{5x-12}}{3}\)

\(x=?\)

Lösung

In dieser Gleichung treten Brüche auf. Um diese loszuwerden, kann man mit dem Nenner multiplizieren. Zu beachten ist, dass alle Terme der Gleichung korrekt multipliziert werden!

Wir multiplizieren mit dem Nenner 5 und danach noch mit dem Nenner 3:

\(\displaystyle x+\frac{{3x-9}}{5}=4-\frac{{5x-12}}{3}\quad \quad |\cdot 5\)

\(\displaystyle 5x+\left( {3x-9} \right)=20-\frac{{5\cdot \left( {5x-12} \right)}}{3}\quad \quad |\cdot 3\)

\(\displaystyle 15x+3\cdot \left( {3x-9} \right)=60-5\cdot \left( {5x-12} \right)\)

Nun hat man keine Brüche mehr. Die Klammern werden aufgelöst, wobei die Minuszeichen vor Klammern zu beachten sind (Minusklammer):

\(\displaystyle 15x+9x-27=60-\left( {25x-60} \right)\)

Alle Terme mit einem \(x\) sowie alle Zahlen werden zusammengefasst.

\(\displaystyle 24x-27=60-25x+60\)

\(\displaystyle 24x-27=-25x+120\quad \quad |+27\)

\(\displaystyle 24x=-25x+147\quad \quad |+25x\)

\(\displaystyle 49x=147\quad \quad |:49\)

\(\displaystyle x=3\)

Lösungsmenge: \(\displaystyle L=\left\{ 3 \right\}\)

Probe:

\(\displaystyle \begin{align}{}3+\frac{{3\cdot 3-9}}{5}&= 4-\frac{{5\cdot 3-12}}{3} \\ 3+\frac{0}{9}&=4-\frac{{15-12}}{3} \\ 3&=4-\frac{3}{3} \\ 3&=4-1 \\ 3&=3\end{align}\)

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Beispiel 2

\(\displaystyle 5-\frac{{3+3x}}{2}=x+\frac{{5x-2}}{3}\)

\(x=?\)

Lösung

In dieser Gleichung treten Brüche auf. Um diese loszuwerden, kann man mit dem Nenner multiplizieren. Zu beachten ist, dass alle Terme der Gleichung korrekt multipliziert werden!

Wir multiplizieren mit dem Nenner 2 und danach noch mit dem Nenner 3:

\(\displaystyle 5-\frac{{3+3x}}{2}=x+\frac{{5x-2}}{3}\quad \quad |\cdot 2\)

\(\displaystyle 10-\left( {3+3x} \right)=2x+\frac{{2\cdot \left( {5x-2} \right)}}{3}\quad \quad |\cdot 3\)

\(\displaystyle 30-3\cdot \left( {3+3x} \right)=6x+2\cdot \left( {5x-2} \right)\)

Nun hat man keine Brüche mehr. Die Klammern werden aufgelöst, wobei die Minuszeichen vor Klammern zu beachten sind (Minusklammer):

\(\displaystyle 30-\left( {9+9x} \right)=6x+10x-4\)

\(\displaystyle 30-9-9x=16x-4\)

\(\displaystyle 21-9x=16x-4\quad \quad |+4\)

\(\displaystyle 25-9x=16x\quad \quad |+9x\)

\(\displaystyle 25=25x\quad \quad |:25\)

\(\displaystyle 1=x\)

\(\displaystyle x=1\)

Lösungsmenge: \(\displaystyle L=\left\{ 1 \right\}\)

Probe:

\(\displaystyle \begin{align}{}5-\frac{{3+3\cdot 1}}{2}&=1+\frac{{5\cdot 1-2}}{3}\\5-\frac{{3+3}}{2}&=1+\frac{{5-2}}{3}\\5-\frac{6}{2}&=1+\frac{3}{3}\\5-3&=1+1\\2&=2\end{align}\)

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Beispiel 3

\(\displaystyle \frac{{3k-5}}{3}-\frac{{8+3k}}{6}=2-\frac{{7-3k}}{2}\)

\(k=?\)

Lösung

In dieser Gleichung treten drei Brüche auf. Hier könnte man versuchen, alle Terme auf den gemeinsamen Nenner von 6 zu bringen. Die Zähler werden mit den entsprechenden Faktoren erweitert.

\(\displaystyle \frac{{2\cdot \left( {3k-5} \right)}}{6}-\frac{{8+3k}}{6}=\frac{{6\cdot 2}}{6}-\frac{{3\cdot \left( {7-3k} \right)}}{6}\quad \quad |\cdot 6\)

Nach Multiplikation mit 6 fällt überall der Nenner weg und man erhält

\(\displaystyle 2\cdot \left( {3k-5} \right)-\left( {8+3k} \right)=12-3\cdot \left( {7-3k} \right)\)

Zu beachten sind jetzt noch die Minusklammern:

\(\displaystyle 6k-10-8-3k=12-\left( {21-9k} \right)\)

\(\displaystyle 3k-18=12-21+9k\)

\(\displaystyle 3k-18=9k-9\quad \quad |+9\)

\(\displaystyle 3k-9=9k\quad \quad |-3k\)

\(\displaystyle -9=6k\quad \quad |:6\)

\(\displaystyle -\frac{9}{6}=k\)

Es kann noch durch 3 gekürzt werden:

\(\displaystyle k=-\frac{3}{2}\)

Lösungsmenge: \(\displaystyle L=\left\{ {-\frac{3}{2}} \right\}\)

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