{"id":2974,"date":"2017-02-16T18:49:08","date_gmt":"2017-02-16T17:49:08","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?p=2974"},"modified":"2017-02-16T20:01:27","modified_gmt":"2017-02-16T19:01:27","slug":"zwei-kreise","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/zwei-kreise\/","title":{"rendered":"Zwei Kreise"},"content":{"rendered":"
Beispiel<\/div>\n
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Gegeben<\/strong>: In einem Kreis mit dem Radius \\(R=8\\) befindet sich ein kleinerer Kreis, der den gr\u00f6\u00dferen im Punkt \\(P\\) ber\u00fchrt. Ein weiterer Ber\u00fchrpunkt \\(S\\) liegt auf der waagrechten Strecke \\(\\overline{MQ}\\) und teilt diese in der H\u00e4lfte.<\/p>\n

Gesucht<\/strong>: Radius \\(r\\) des kleineren Kreises (rot).<\/p>\n

\"Zwei<\/a><\/p>\n<\/div>\n

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\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
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\"Zwei<\/a><\/p>\n

Die Strecke \\(\\overline{MQ}\\) ist offensichtlich gleich dem Radius \\(R=8\\) des gro\u00dfen Kreises. Der Punkt \\(S\\) teilt diese Strecke in der H\u00e4lfte, also bei \\(4\\). Die Strecke \\(\\overline{OP}\\) ist ebenfalls der Radius des kleinen Kreises. Da der Punkt \\(P\\) ein Ber\u00fchrpunkt der beiden Kreise ist, haben die beiden Kreise dort dieselbe Tangente \\(t_P\\). Die Tangente an einen Kreis steht immer senkrecht zum Radius, daher liegen die Punkte \\(M,O,P\\) auf einer Linie.<\/p>\n

Es sei \\(x\\) die Strecke \\(\\overline{MO}\\). Da die Strecke \\(\\overline{MP}=R\\) ist, folgt<\/p>\n

\\(x = R-r = 8-r\\)<\/p>\n

Aus dem rechtwinkeligen Dreieck \\(\\triangle MSO\\) berechnet sich \\(x\\) mit dem Satz des Pythagoras zu<\/p>\n

\\(4^2+r^2=x^2\\)<\/p>\n

Setzt man das zuvor erhaltene \\(x = 8-r\\) ein, ergibt sich<\/p>\n

\\(\\displaystyle {{4}^{2}}+{{r}^{2}}={{\\left( {8-r} \\right)}^{2}}\\)<\/p>\n

Ausrechnen liefert<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\begin{align}{}16+{{r}^{2}}&={{\\left( {8-r} \\right)}^{2}}\\\\16+\\bcancel{{{{r}^{2}}}}&=64-2\\cdot 8\\cdot r+\\bcancel{{{{r}^{2}}}}\\\\16&=64-16\\,r\\\\16\\,r&=48\\\\r&=3\\end{align}\\)<\/p>\n

Der Radius des kleinen Kreises ist \\(r = 3\\).<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Beispiel Gegeben: In einem Kreis mit dem Radius \\(R=8\\) befindet sich ein kleinerer Kreis, der den gr\u00f6\u00dferen im Punkt \\(P\\) ber\u00fchrt. Ein weiterer Ber\u00fchrpunkt \\(S\\) liegt auf der waagrechten Strecke \\(\\overline{MQ}\\) und teilt diese in der H\u00e4lfte. Gesucht: Radius \\(r\\)…<\/p>\n

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