{"id":2908,"date":"2017-02-16T15:51:40","date_gmt":"2017-02-16T14:51:40","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?p=2908"},"modified":"2017-02-16T16:42:48","modified_gmt":"2017-02-16T15:42:48","slug":"gleichseitiges-dreieck-und-quadrat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/gleichseitiges-dreieck-und-quadrat\/","title":{"rendered":"Gleichseitiges Dreieck und Quadrat"},"content":{"rendered":"
Beispiel<\/div>\n
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\"Gleichseitiges<\/a>Gegeben<\/strong>: Ein gleichseitiges Dreieck \\(\\triangle ABC\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(s=2\\), mit einem Quadrat bei Punkt \\(B\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(1\\). Die obere Seite des Quadrats schneidet die Seite \\(BC\\) im Punkt \\(E\\), die Verbindung \\(AE\\) schneidet die H\u00f6he \\(h\\) des Dreiecks im Punkt \\(F\\).<\/p>\n

Gesucht<\/strong>: Der Inkreisradius \\(r_i\\) des Dreiecks \\(\\triangle ABF\\) (in der Skizze rot).<\/p>\n

Anmerkung<\/strong>: Die Aufgabe l\u00e4sst sich komplett ohne Winkelberechnungen l\u00f6sen! Es reichen der Satz von Pythagoras sowie die Kenntnis \u00fcber \u00e4hnliche Dreiecke.<\/p>\n

Hilfestellung<\/strong>: Der Inkreisradius eines Dreiecks ist gegeben durch \\(\\displaystyle {{r}_{i}}=\\frac{{2A}}{U}\\)<\/p>\n<\/div>\n

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\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
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\"Gleichseitiges<\/a><\/p>\n

Die H\u00f6he \\(h\\) des gleichseitigen Dreiecks \\(\\triangle ABC\\) ist gegeben durch<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\begin{align}{}{{1}^{2}}+{{h}^{2}}&={{2}^{2}}\\quad \\Rightarrow \\\\h&=\\sqrt{{{{2}^{2}}-{{1}^{2}}}}=\\sqrt{3}\\end{align}\\)<\/p>\n

Die L\u00e4nge \\(x\\) ist dann die H\u00f6he \\(h\\) des Dreiecks abz\u00fcglich der Seitenl\u00e4nge des Quadrats, also<\/p>\n

\\(x=h-1=\\sqrt{3}-1\\)<\/p>\n

Nun verh\u00e4lt sich \\(\\displaystyle \\frac{y}{x}\\) so wie \\(\\displaystyle \\frac{1}{h}\\), also<\/p>\n

\\(\\displaystyle y=\\frac{x}{h}=\\frac{{\\sqrt{3}-1}}{{\\sqrt{3}}}=1-\\frac{1}{{\\sqrt{3}}}\\)<\/p>\n

Jetzt zum gesuchten Dreieck \\(\\triangle ABF\\):<\/p>\n

Der Punkt \\(E\\) hat vom Punkt \\(A\\) die waagrechte Entfernung \\(1+y\\). Es verh\u00e4lt sich die H\u00f6he des Quadrats \\(1\\) zu \\((1+y)\\) so wie die H\u00f6he \\(h_1\\) des Dreiecks \\(\\triangle ABF\\) zu \\(1\\), also<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\frac{1}{{1+y}}=\\frac{{{{h}_{1}}}}{1}\\quad \\Rightarrow \\quad {{h}_{1}}=\\frac{1}{{1+y}}\\)<\/p>\n

Einsetzen von \\(\\displaystyle y\\) liefert<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\begin{align}{}{{h}_{1}}&=\\frac{1}{{1+\\left( {1-\\frac{1}{{\\sqrt{3}}}} \\right)}}\\\\&=\\frac{1}{{2-\\frac{1}{{\\sqrt{3}}}}}=\\frac{1}{{\\frac{{2\\sqrt{3}-1}}{{\\sqrt{3}}}}}\\\\&=\\frac{{\\sqrt{3}}}{{2\\sqrt{3}-1}}\\end{align}\\)<\/p>\n

Rationalmachen des Nenners ergibt dann<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\begin{align}{}{{h}_{1}}&=\\frac{{\\sqrt{3}}}{{2 \\sqrt{3}-1}}\\cdot \\frac{{2\\sqrt{3}+1}}{{2\\sqrt{3}+1}}\\\\&=\\frac{{\\sqrt{3}\\left( {2\\sqrt{3}+1} \\right)}}{{{{{\\left( {2\\sqrt{3}} \\right)}}^{2}}-{{1}^{2}}}}\\\\&=\\frac{{2\\cdot 3+\\sqrt{3}}}{{4\\cdot 3-1}}\\\\&=\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11}}\\end{align}\\)<\/p>\n

Das gesuchte Dreieck \\(\\triangle ABF\\) ist gleichschenkelig, und die beiden oberen Seiten \\(s_1\\) haben die L\u00e4nge<\/p>\n

\\(\\displaystyle {{s}_{1}}=\\sqrt{{{{1}^{2}}+h_{1}^{2}}}=\\sqrt{{1+h_{1}^{2}}}\\)<\/p>\n

Der Umfang des blauen Dreiecks ist daher<\/p>\n

\\(\\displaystyle U=2+2\\cdot {{s}_{1}}=2+2\\cdot \\sqrt{{1+h_{1}^{2}}}\\)<\/p>\n

und die Fl\u00e4che ist<\/p>\n

\\(\\displaystyle A=2\\cdot \\left( {\\frac{{{{h}_{1}}\\cdot 1}}{2}} \\right)={{h}_{1}}\\)<\/p>\n

Der Inkreisradius eines Dreiecks ist gegeben durch<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\begin{align}{}{{r}_{i}}&=\\frac{{2A}}{U}\\\\&=\\frac{{2\\,{{h}_{1}}}}{{2+2\\cdot \\sqrt{{1+h_{1}^{2}}}}}\\\\&=\\frac{{2\\,{{h}_{1}}}}{{2\\cdot \\left( {1+\\sqrt{{1+h_{1}^{2}}}} \\right)}}\\\\&=\\frac{{{{h}_{1}}}}{{1+\\sqrt{{1+h_{1}^{2}}}}}\\end{align}\\)<\/p>\n

Man kann jetzt noch die H\u00f6he \\(\\displaystyle {{h}_{1}}=\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11}}\\) einsetzen und erh\u00e4lt nach l\u00e4ngerer Rechnung<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\begin{align}{}{{r}_{i}}&=\\frac{{\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11}}}}{{1+\\sqrt{{1+{{{\\left( {\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11}}} \\right)}}^{2}}}}}}\\\\&=\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11+11\\cdot \\sqrt{{1+\\frac{{36+12\\sqrt{3}+3}}{{121}}}}}}\\\\&=\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11+11\\cdot \\sqrt{{\\frac{{121}}{{121}}+\\frac{{39+12\\sqrt{3}}}{{121}}}}}}\\\\&=\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11+11\\cdot \\sqrt{{\\frac{{160+12\\sqrt{3}}}{{121}}}}}}\\\\&=\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11+11\\cdot \\frac{1}{{11}}\\sqrt{{160+12\\sqrt{3}}}}}\\\\&=\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11+\\sqrt{{4\\cdot \\left( {40+3\\sqrt{3}} \\right)}}}}\\\\&=\\frac{{6+\\sqrt{3}}}{{11+2\\sqrt{{40+3\\sqrt{3}}}}}\\end{align}\\)<\/p>\n

Dieser Ausdruck ergibt dann f\u00fcr den Inkreisradius<\/p>\n

\\(\\displaystyle {{r}_{i}}\\approx 0,3163\\)<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Beispiel Gegeben: Ein gleichseitiges Dreieck \\(\\triangle ABC\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(s=2\\), mit einem Quadrat bei Punkt \\(B\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(1\\). Die obere Seite des Quadrats schneidet die Seite \\(BC\\) im Punkt \\(E\\), die Verbindung \\(AE\\) schneidet die H\u00f6he \\(h\\)…<\/p>\n

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