{"id":2902,"date":"2017-02-16T15:43:52","date_gmt":"2017-02-16T14:43:52","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?p=2902"},"modified":"2017-02-19T16:01:05","modified_gmt":"2017-02-19T15:01:05","slug":"raute-mit-inkreis","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/raute-mit-inkreis\/","title":{"rendered":"Raute mit Inkreis"},"content":{"rendered":"<div class=\"beispiel\">Beispiel<\/div>\n<div class=\"bsp_angabe\">\n<p>Von einer Raute \\(ABCD\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(a\\) ist bekannt, dass ihr Inkreis die halbe Fl\u00e4che der Raute hat.<\/p>\n<p><strong>Gesucht<\/strong>: Berechne den Winkel \\(\\alpha\\) beim Punkt \\(A\\) der Raute, damit diese Bedingung erf\u00fcllt ist!<\/p>\n<p><strong>Ben\u00f6gtigte Kenntnisse:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Zusammenh\u00e4nge bei der geometrischen Figur <em>Raute<\/em><\/li>\n<li>Gleichungen umformen<\/li>\n<li>Sinus und Cosinus im rechtwinkeligen Dreieck<\/li>\n<li>Doppelte und halbe Winkel als Argument der Sinus-Funktion:<br \/>\n\\(\\sin (2x) = 2\\cdot\\sin(x)\\cdot\\cos(x)\\) bzw.<br \/>\n\\(\\sin (x) = 2\\cdot\\sin(\\frac{x}{2})\\cdot\\cos(\\frac{x}{2})\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"sp-wrap sp-wrap-default\">\n<div class=\"sp-head\" title=\"Erweitern\">\nL\u00f6sung 1\n<\/div>\n<div class=\"sp-body folded\">\n<div id=\"attachment_2139\" style=\"width: 310px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/raute_inkreis_beispiel.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-2139\" class=\"wp-image-2139 size-medium\" src=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/raute_inkreis_beispiel-300x136.png\" alt=\"Raute mit Inkreis - L\u00f6sung\" width=\"300\" height=\"136\" srcset=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/raute_inkreis_beispiel-300x136.png 300w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/raute_inkreis_beispiel-768x349.png 768w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/raute_inkreis_beispiel-1400x636.png 1400w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/raute_inkreis_beispiel.png 1564w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><\/p>\n<p id=\"caption-attachment-2139\" class=\"wp-caption-text\">Skizze &#8211; Raute mit Inkreis<\/p>\n<\/div>\n<p>Wir wissen, dass sich bei der Raute die Diagonalen einander halbieren und auch die Diagonalen die Winkel halbieren (siehe Skizze).<\/p>\n<p>F\u00fcr den Inkreisradius ergibt sich aus dem rechtwinkeligen Dreieck \\(\\triangle AFM\\) mit \\(\\frac{e}{2}\\) als Hypothenuse und dem Inkreisradius als Gegenkathete des Winkels \\(\\frac{\\alpha }{2}\\)<\/p>\n<p>\\({{r}_{i}}=\\frac{e}{2}\\cdot \\sin \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\)<\/p>\n<p>Die Fl\u00e4che des Inkreises betr\u00e4gt demnach<\/p>\n<p>\\(\\begin{array}{} A_{Inkreis}=r_{i}^{2}\\cdot \\pi \\\\ \\quad\\quad\\quad =\\left( \\frac{e}{2}\\cdot \\sin \\left( \\frac{\\alpha}{2} \\right) \\right)^{2}\\cdot \\pi \\\\ \\quad\\quad\\quad =\\frac{e^2}{4}\\cdot \\sin ^2\\left( \\frac{\\alpha}{2} \\right)\\cdot \\pi \\end{array}\\)<\/p>\n<p>Aus dem Dreieck \\(\\triangle ABM\\) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen \\(a\\) und \\(e\\).<\/p>\n<p>\\(a\\cdot \\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)=\\frac{e}{2}\\quad \\Rightarrow \\quad e=2\\cdot a\\cdot \\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\)<\/p>\n<p>Das kann man in die Fl\u00e4chenformel des Inkreises einsetzen und erh\u00e4lt<\/p>\n<p>\\(\\begin{array}{l}{{A}_{{Inkreis}}}=\\frac{{{{{\\left( {2\\cdot a\\cdot \\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)} \\right)}}^{2}}}}{4}\\cdot {{\\sin }^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\pi \\\\ \\quad\\quad\\quad =\\frac{{4\\cdot {{a}^{2}}\\cdot {{{\\cos }}^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)}}{4}\\cdot {{\\sin }^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\pi \\\\ \\quad\\quad\\quad={{a}^{2}}\\cdot {{\\cos }^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot {{\\sin }^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\pi \\end{array}\\)<\/p>\n<p>Dies sollte nun die <strong>halbe<\/strong> Fl\u00e4che der Raute sein. F\u00fcr die Fl\u00e4che der Raute gilt<\/p>\n<p>\\(A_{Raute}=a\\cdot h = a\\cdot a\\cdot \\sin \\alpha =a^2\\cdot \\sin \\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{A_{Raute}}{2} = \\frac{a^2\\cdot \\sin \\alpha}{2}\\)<\/p>\n<p>Eingesetzt also<\/p>\n<p>\\({{a}^{2}}\\cdot {{\\cos }^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot {{\\sin }^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\pi =\\frac{{{{a}^{2}}\\cdot \\sin \\alpha }}{2}\\quad \\quad |:{{a}^{2}}\\)<\/p>\n<p>Das \\(a^2\\) k\u00fcrzt sich weg und es bleibt als Bedingung<\/p>\n<p>\\({{\\cos }^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot {{\\sin }^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\pi =\\frac{{\\sin \\alpha }}{2}\\)<\/p>\n<p>Den \\(\\sin \\alpha \\) im Z\u00e4hler der rechten Seite kann man schreiben als \\(2\\cdot \\sin \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\), daher folgt<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{array}{*{20}{l}} {{{{\\cos }}^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot {{{\\sin }}^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\pi =\\frac{{2\\cdot \\sin \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)}}{2}} \\\\ {{{{\\cos }}^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot {{{\\sin }}^{2}}\\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\pi =\\sin \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\quad \\quad |:\\sin \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\quad :\\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)} \\\\ {\\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\sin \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\pi =1} \\end{array}\\)<\/p>\n<p>Auf der linken Seite mit 2 erweitert ergibt schlie\u00dflich<\/p>\n<p>\\(\\frac{{\\overbrace{{2\\cdot \\cos \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\cdot \\sin \\left( {\\frac{\\alpha }{2}} \\right)}}^{{=\\,\\,\\sin \\left( {2\\cdot \\frac{\\alpha }{2}} \\right)\\,\\,=\\,\\,\\sin \\alpha }}}}{2}\\cdot \\pi =1\\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{{\\sin \\alpha }}{2}=\\frac{1}{\\pi }\\quad \\Rightarrow \\quad \\sin \\alpha =\\frac{2}{\\pi }\\)<\/p>\n<p>\\(\\alpha = \\sin^{-1}\\left( \\frac{2}{\\pi } \\right) \\approx 39,54{}^\\circ\\)<\/p>\n<p>Der Winkel \\(\\alpha\\) der Raute muss \\(\\alpha \\approx 39,54{}^\\circ\\) betragen, damit der Inkreis die halbe Fl\u00e4che der Raute hat.<\/p>\n<div class=\"spdiv\">[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"sp-wrap sp-wrap-default\">\n<div class=\"sp-head\" title=\"Erweitern\">\nL\u00f6sung 2\n<\/div>\n<div class=\"sp-body folded\">\n<div id=\"attachment_3014\" style=\"width: 310px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Raute-mit-Inkreis-L\u00f6sung-2.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-3014\" class=\"wp-image-3014 size-medium\" src=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Raute-mit-Inkreis-L\u00f6sung-2-300x131.png\" alt=\"Raute mit Inkreis - L\u00f6sung 2\" width=\"300\" height=\"131\" srcset=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Raute-mit-Inkreis-L\u00f6sung-2-300x131.png 300w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Raute-mit-Inkreis-L\u00f6sung-2-768x337.png 768w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Raute-mit-Inkreis-L\u00f6sung-2.png 1109w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><\/p>\n<p id=\"caption-attachment-3014\" class=\"wp-caption-text\">Raute mit Inkreis &#8211; L\u00f6sung 2<\/p>\n<\/div>\n<p>Es gibt einen alternativen L\u00f6sungsweg, der etwas k\u00fcrzer und vielleicht eleganter ist.<\/p>\n<p>Aus der Skizze sieht man folgende Zusammenh\u00e4nge:<\/p>\n<p>Die Fl\u00e4che der Raute ist bekanntlich \\(\\displaystyle A_{Raute} = a\\cdot h\\)<\/p>\n<p>Die H\u00f6he der Raute ist aber der <strong>doppelte<\/strong> Inkreisdurchmesser (der Inkreis ber\u00fchrt ja unten und oben die jeweiligen Seiten \\(\\displaystyle a\\)).<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle h = 2\\cdot r_i \\)<\/p>\n<p>Daraus folgt die Fl\u00e4che der Raute mit<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle A_{Raute} = 2\\, a\\, r_i\\)<\/p>\n<p>Die Fl\u00e4che des Inkreises ist<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle A_{In} = r_i^2\\, \\pi\\)<\/p>\n<p>Die Fl\u00e4che des Inkreises soll die <strong>halbe<\/strong> Fl\u00e4che der Raute sein:<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{array}{l}r_{i}^{2}\\pi =\\frac{{2\\,{{r}_{i}}\\,a}}{2}\\\\{{r}_{i}}\\,\\pi =a\\end{array}\\)<\/p>\n<p>Die H\u00f6he der Raute ist im rechtwinkeligen Dreieck \\(\\displaystyle \\triangle AED\\) mit der Hypothenuse \\(\\displaystyle a\\) aber die Gegenkathete zum Winkel \\(\\displaystyle \\alpha\\), also<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle h=a\\sin \\alpha \\), also folgt<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{array}{l}a\\sin \\alpha =2\\,{{r}_{i}}\\\\a=\\frac{{2\\,{{r}_{i}}}}{{\\sin \\alpha }}\\end{array}\\)<\/p>\n<p>Das setzt man nun in \\(\\displaystyle {{r}_{i}}\\,\\pi =a\\) ein und erh\u00e4lt<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle {{r}_{i}}\\,\\pi =\\frac{{2\\cdot {{r}_{i}}}}{{\\sin \\alpha }}\\)<\/p>\n<p>Das \\(\\displaystyle r_i\\) k\u00fcrzt sich, und die Umstellung nach \\(\\displaystyle \\sin \\alpha\\) ergibt<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{array}{l}\\pi =\\frac{2}{{\\sin \\alpha }}\\\\\\sin \\alpha =\\frac{2}{\\pi }\\end{array}\\)<\/p>\n<p>Daraus folgt schlie\u00dflich<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\alpha ={{\\sin }^{{-1}}}\\left( {\\frac{2}{\\pi }} \\right)\\approx 39,54{}^\\circ \\)<\/p>\n<div class=\"spdiv\">[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Beispiel Von einer Raute \\(ABCD\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(a\\) ist bekannt, dass ihr Inkreis die halbe Fl\u00e4che der Raute hat. 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