{"id":2854,"date":"2017-02-16T14:03:15","date_gmt":"2017-02-16T13:03:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?p=2854"},"modified":"2017-10-27T21:37:55","modified_gmt":"2017-10-27T19:37:55","slug":"mathematische-raetsel-fingeruebungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/mathematische-raetsel-fingeruebungen\/","title":{"rendered":"Mathematische R\u00e4tsel & Finger\u00fcbungen"},"content":{"rendered":"

Nachstehend findet man einige R\u00e4tsel, die zur Sch\u00e4rfung der mathematischen F\u00e4higkeiten dienen sollen. Man sollte versuchen, die Aufgaben selbstst\u00e4ndig zu l\u00f6sen, manchmal bekommt man auch Tipps oder eine kleine Hilfestellung. Die Beispiele besch\u00e4ftigen sich vor allem mit Geometrie.<\/p>\n

Es geht um das visuelle Erkennen der gestellten Aufgabe und der daraus resultierenden mathematischen Formulierung. Hat man die mathematischen Zusammenh\u00e4nge gefunden, ist noch das konkrete Ausrechnen notwendig.<\/p>\n

<\/i> Diese „Finger\u00fcbungen<\/strong><\/em>“ k\u00f6nnen das praktische Rechnen erheblich verbessern! Man sollte wirklich versuchen, die Beispiele zuerst selbstst\u00e4ndig<\/strong> zu l\u00f6sen. Bei jedem Beispiel ist eine Musterl\u00f6sung enthalten. Es kann aber durchaus sein, dass es eine alternative L\u00f6sungsm\u00f6glichkeit gibt, welche zum selben Ergebnis f\u00fchrt.<\/p><\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\n

Mathematische R\u00e4tselaufgaben<\/h2>\n
\n
\n
<\/span>Bsp. 1: Zwei Kreise<\/div>\n
\n

Gegeben<\/strong>: In einem Kreis mit dem Radius \\(R=8\\) befindet sich ein kleinerer Kreis, der den gr\u00f6\u00dferen im Punkt \\(P\\) ber\u00fchrt. Ein weiterer Ber\u00fchrpunkt \\(S\\) liegt auf der waagrechten Strecke \\(\\overline{MQ}\\) und teilt diese in der H\u00e4lfte.<\/p>\n

Gesucht<\/strong>: Radius \\(r\\) des kleineren Kreises (rot).<\/p>\n

\"Zwei<\/a><\/p>\n

\n
<\/span>L\u00f6sung<\/div>\n
\\(r=3\\) <\/div>\n<\/div>\n

\u2192 Zur L\u00f6sungsdatei<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>Bsp. 2: Raute mit Inkreis<\/div>\n
\n

Gegeben<\/strong>: Von einer Raute \\(ABCD\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(a\\) ist bekannt, dass ihr Inkreis die halbe Fl\u00e4che der Raute hat.<\/p>\n

Gesucht<\/strong>: Berechne den Winkel \\(\\alpha\\) beim Punkt \\(A\\) der Raute, damit diese Bedingung erf\u00fcllt ist!<\/p>\n

\"Raute<\/a><\/p>\n

\n
<\/span>L\u00f6sung<\/div>\n
\u00a0\\(\\alpha \\approx 39,54\u00b0\\) <\/div>\n<\/div>\n

\u2192 Zur L\u00f6sungsdatei<\/a> <\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>Bsp. 3: Gleichseitiges Dreieck und Quadrat<\/div>\n
\n

Gegeben<\/strong>: Ein gleichseitiges Dreieck \\(\\triangle ABC\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(s=2\\), mit einem Quadrat bei Punkt \\(B\\) mit der Seitenl\u00e4nge \\(1\\). Die obere Seite des Quadrats schneidet die Seite \\(BC\\) im Punkt \\(E\\), die Verbindung \\(AE\\) schneidet die H\u00f6he \\(h\\) des Dreiecks im Punkt \\(F\\).<\/p>\n

Gesucht<\/strong>: Der Inkreisradius \\(r_i\\) des Dreiecks \\(\\triangle ABF\\) (in der Skizze rot).<\/p>\n

\"Gleichseitiges<\/a><\/p>\n

\n
<\/span>L\u00f6sung<\/div>\n
\u00a0\\(r\\approx 0,3163\\) <\/div>\n<\/div>\n

\u2192 Zur L\u00f6sungsdatei<\/a> <\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>Bsp. 4: Rechtwinkeliges Dreieck mit zwei Kreisen<\/div>\n
\n

Gegeben<\/strong>: Einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten \\(3,4\\) und der Hypothenuse \\(5\\) sind zwei Kreise eingeschrieben, die einander ber\u00fchren. Die Kreise sind kongruent (fl\u00e4chengleich) und ber\u00fchren beide die Hypothenuse. Der obere Kreis ber\u00fchrt die kurze Kathete \\(3\\), der untere die lange Kathete \\(4\\).<\/p>\n

Gesucht<\/strong>: Der Radius \\(r\\) der Kreise<\/p>\n

\"Rechtwinkeliges<\/a><\/p>\n

\n
<\/span>L\u00f6sung<\/div>\n
\u00a0\\(r=\\frac{5}{7}\\) <\/div>\n<\/div>\n

L\u00f6sungsdatei in Bearbeitung....<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>Bsp. 5: Parabel mit Kreis<\/div>\n
\n

Gegeben<\/strong>: In eine Parabel mit der Gleichung \\(f(x)=\\frac{1}{8}x^2\\) \"f\u00e4llt\" von oben ein Kreis mit dem Radius \\(r=8\\), bis er die Parabel an den Punkten \\(P,P^{\\prime}\\) ber\u00fchrt.<\/p>\n

Gesucht<\/strong>: Die Koordinaten des Kreismittelpunkts \\(M\\).<\/p>\n

\"Parabel<\/a><\/p>\n

\n
<\/span>L\u00f6sung<\/div>\n
\u00a0\\(M=\\left( 0|10 \\right) \\) <\/div>\n<\/div>\n

L\u00f6sungsdatei in Bearbeitung....<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

Angewandte Mathematik<\/h2>\n
\n
\n
<\/span>Bsp. 6: Skateboard-Minirampe (Zentralmatura Beispiel)<\/div>\n
\n

Dies ist ein Beispiel aus der Zentralmatura 2016<\/em><\/p><\/blockquote>\n

Ein Unternehmen, das Skate-Parks errichtet, plant eine neue Minirampe.<\/p>\n

Das seitliche Profil der Rampe kann durch eine Parabel 2. Ordnung modelliert werden:<\/p>\n

\\(f(x)=0,2\\cdot {{x}^{2}}-2\\cdot x+4,95\\quad \\quad mit\\quad 1,5<x<4,5\\)<\/p>\n

\\(x...\\) waagrechte Entfernung von der R\u00fcckwand in Metern (m)
\n\\(f(x)...\\) H\u00f6he der Rampe in Metern (m) an der Stelle \\(x\\)<\/p>\n

\"Abb.<\/a><\/p>\n

    \n
  1. Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfl\u00e4che einer seitlichen Abdeckung.
    \nEntnehmen Sie die dazu notwendigen Werte der Abbildung 1.<\/li>\n
  2. Zeigen Sie, dass die gegebene Parabel 2. Ordnung beim \u00dcbergang zum Boden keine waagrechte Tangente aufweist.<\/li>\n
  3. Dokumentieren Sie die Berechnung des Winkels zwischen Plateau und Rampe.<\/li>\n
  4. Auf Kundenwunsch wird eine h\u00f6here Rampe errichtet, deren seitliches Profil wieder durch eine quadratische Funktion \\(f\\) mit \\(f(x)=a\\cdot {{x}^{2}}+b\\cdot x+c\\) beschrieben werden kann.
    \nH\u00f6he der Rampe: 3 m
    \nTiefe des Plateaus: 1,5 m
    \nmaximales Gef\u00e4lle: 100 %
    \nBodenl\u00e4nge der Rampe: 6,5 m<\/li>\n<\/ol>\n

    \"Minirampe<\/a><\/p>\n

    \u2013 Stellen Sie mit den gegebenen Angaben ein Gleichungssystem zur Berechnung der
    \nKoeffizienten dieser quadratischen Funktion auf.<\/p>\n

    Hinweis zur Aufgabe:<\/em>
    \n L\u00f6sungen m\u00fcssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind<\/em>
    \n mit passenden Ma\u00dfeinheiten anzugeben.<\/em><\/p>\n

    \n
    <\/span>L\u00f6sung<\/div>\n
    \n
      \n
    1. Seitenfl\u00e4che \\(A = 6,3 m^2\\)<\/li>\n
    2. Der Tiefpunkt liegt bei \\(T = (5|0)\\) (nur dort ist die Tangente waagrecht)<\/li>\n
    3. a) Ableitung von \\(f\\) bilden
      \nb) \\(x\\)-Stelle (\\(x = 1,5\\)) in 1. Ableitung einsetzen und \\(k\\) berechnen
      \nc) Winkel mithilfe der Beziehung \\(\\alpha = arctan(k)\\) berechnen. Ein negatives \\(k\\) ergibt einen Winkel im 2. Quadranten (\\(\\alpha = 125,54^{\\circ})\\)<\/li>\n
    4. \\(\\displaystyle \\begin{array}{l}I\\quad \\quad 2,25a+1,5b+c\\,\\,=3\\\\II\\quad 42,25a+6,5b+c=0\\\\III\\quad \\quad \\,\\,\\,3a+\\quad \\,\\,\\,b\\quad \\,\\,\\,=-1\\end{array}\\)
      \nDas Gleichungssystem muss hier nicht gel\u00f6st werden. Die L\u00f6sung sei aber trotzdem angegeben:\\(a = 0,08\\)
      \n\\(b = -1,24\\)
      \n\\(c = 4,68\\)Die Gleichung f\u00fcr die Rampe lautet daher\\(f(x)=0,08{{x}^{2}}-1,24x+4,48\\)
      \nim Intervall \\(1,5 < x < 6,5\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n

      \u2192 Zur L\u00f6sungsdatei<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Nachstehend findet man einige R\u00e4tsel, die zur Sch\u00e4rfung der mathematischen F\u00e4higkeiten dienen sollen. Man sollte versuchen, die Aufgaben selbstst\u00e4ndig zu l\u00f6sen, manchmal bekommt man auch Tipps oder eine kleine Hilfestellung. Die Beispiele besch\u00e4ftigen sich vor allem mit Geometrie. Es geht…<\/p>\n

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