Wenn die Geraden \\(g: x = P + r\\, \\vec{u}\\)\u00a0 und\u00a0 \\(h:x\u00a0 = Q + s\\, \\vec{v}\\)\u00a0 windschief sind und der Normalenvektor auf beide Richtungsvektoren \\(\\vec{n}\\) ist, dann lautet der Abstand der beiden Geraden<\/p>\n\\(\\large{d= \\frac{|(\\vec{Q}-\\vec{P})\\cdot \\vec{n}|}{|\\vec{n}|}}\\)\n
Im Folgenden arbeiten wir jedoch mit der „Methode der laufenden Punkte<\/em>“ (= allgemeine Punkte der Geraden), die ohne vorherige Berechnung eines Normalenvektors auskommt.<\/p>\n Die Punkte \\(F_{g}\\) und \\(F_{h}\\) seien die Fu\u00dfpunkte des gemeinsamen Lotes. Die braunen Hilfsebenen sollen nur das r\u00e4umliche Vorstellungsverm\u00f6gen unterst\u00fctzen und haben f\u00fcr die Rechnung keine weitere Bedeutung.<\/p>\n Die Verbindungslinie \\(\\overrightarrow{F_{g}F_{h}}\\) muss auf beide Geraden und somit auf beide Richtungsvektoren senkrecht stehen. Daraus folgt, dass die jeweiligen Skalarprodukte der Richtungsvektoren mit dem Vektor\u00a0\\(\\overrightarrow{F_{g}F_{h}}\\) Null ergeben m\u00fcssen. Daraus erh\u00e4lt man ein Gleichungssystem, mit dessen L\u00f6sung sich die Koordinaten der Fu\u00dfpunkte berechnen lassen.<\/p>\n Gegeben sind die windschiefen Geraden\u00a0\\(\\displaystyle g:\\vec{X}=\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {-7} \\\\ 2 \\\\ {-3} \\end{array}} \\right)+r\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{array}} \\right)\\) und \\(\\displaystyle h:\\vec{X}=\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {-3} \\\\ {-3} \\\\ 3 \\end{array}} \\right)+s\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array}} \\right)\\)\n Gesucht sind der kleinste Abstand \\( d \\) der Geraden und die dazugeh\u00f6renden Fu\u00dfpunkte \\( F_g \\) und \\( F_h \\) auf den Geraden.<\/p>\n<\/div>\n\n Schritt 1<\/strong><\/p>\n Ein Punkt auf der Geraden \\(g\\) ist gegeben mit<\/p>\n \\(\\displaystyle \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {-7} \\\\ {2+r} \\\\ {-3+2r} \\end{array}} \\right)\\)<\/p>\n Ein Punkt auf der Geraden \\(h\\) ist gegeben mit<\/p>\n \\(\\displaystyle \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {-3+s} \\\\ {-3+2s} \\\\ {3+s} \\end{array}} \\right)\\)<\/p>\n Der Abstand berechnet sich mit (Endpunkt – Anfangspunkt) zu<\/p>\n \\(\\displaystyle \\overrightarrow{{{{F}_{g}}{{F}_{h}}}}=\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {-3+s} \\\\ {-3+2s} \\\\ {3+s} \\end{array}} \\right)-\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {-7} \\\\ {2+r} \\\\ {-3+2r} \\end{array}} \\right)=\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {4+s} \\\\ {-5+2s-r} \\\\ {6+s-2r} \\end{array}} \\right)\\)<\/p>\n Schritt 2<\/strong><\/p>\n Wir kennen die Bedingung, dass die Verbindung \\(\\overrightarrow{F_{g}F_{h}}\\) auf beide<\/strong> Richtungsvektoren senkrecht stehen muss. Wir erhalten ein Gleichungssystem mit den beiden Parametern \\(r\\) und \\(s\\).<\/p>\n Gerade \\(g\\): Der Richtungsvektor \\(\\vec{u}\\) der Geraden \\(g\\) lautet \\(\\vec{u}= \\displaystyle \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{array}} \\right)\\) Gerade \\(h\\): Der Richtungsvektor \\(\\vec{v}\\) der Geraden \\(h\\) lautet \\(\\vec{u}= \\displaystyle \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array}} \\right)\\) Das Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten \\(r\\) und \\(s\\) k\u00f6nnen wir mit dem Additionsverfahren l\u00f6sen. Man sieht, dass das gemeinsame Vielfache von 4 und 6 die 12 ist, also ziehen wir das 2-fache der 2. Gleichung vom 3-fachen der 1. Gleichung ab, um das \\(s\\) loszuwerden:<\/p>\n \\begin{align} \\(\\displaystyle 2\\cdot II-3\\cdot I\\)<\/p>\n \\begin{align} Einsetzen von \\(r=3\\) in \\(II\\) ergibt<\/p>\n \\begin{align}Vorgehensweise: Abstand windschiefer Geraden mit laufenden Punkten<\/h3>\n
![\"windschiefe_geraden_abstand\"](\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2015\/09\/windschiefe_geraden_abstand.png\")
<\/a>Gegeben seien zwei windschiefe Geraden<\/p>\n\\(g: x = P + r\\, \\vec{u}\\)\u00a0\u00a0\u00a0 und<\/p>\n\\(h:x\u00a0 = Q + s\\, \\vec{v}\\)\n\\(\\vec{u}\\) und \\(\\vec{v}\\) sind die Richtungsvektoren der Geraden \\(g\\) bzw. \\(h\\).<\/p>\nSchritt f\u00fcr Schritt<\/h3>\n
\n
\n\\(\\displaystyle \\overrightarrow{F_{g}F_{h}}\\cdot \\vec{u} = 0\\Rightarrow \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {4+s} \\\\ {-5+2s-r} \\\\ {6+s-2r} \\end{array}} \\right)\\cdot \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{array}} \\right)=0\\)
\n\\(\\displaystyle \\begin{array}{l}(4+s)\\cdot 0+(-5+2s-r)\\cdot 1+(6+s-2r)\\cdot 2=0\\\\-5+2s-r+12+2s-4r=0\\\\7+4s-5r=\\\\4s-5r=-7\\quad \\quad I\\end{array}\\)<\/p>\n
\n\\(\\displaystyle \\overrightarrow{F_{g}F_{h}}\\cdot \\vec{v} = 0\\Rightarrow \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {4+s} \\\\ {-5+2s-r} \\\\ {6+s-2r} \\end{array}} \\right)\\cdot \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{array}} \\right)=0\\)
\n\\(\\displaystyle \\begin{array}{l}(4+s)\\cdot 1+(-5+2s-r)\\cdot 2+(6+s-2r)\\cdot 1=0\\\\4+s-10+4s-2r+6+s-2r=0\\\\6s-4r=0\\quad \\quad II\\end{array}\\)<\/p>\n
\nI\\quad 4r-5s & =-7\\\\
\nII\\quad 6s-4r & =0
\n\\end{align}<\/p>\n
\n-12s+15r & =-21\\\\
\n12s-8r & =0\\\\
\n-7r & = -21\\\\
\nr &=3
\n\\end{align}<\/p>\n
\n6s-4\\cdot 3& =0\\\\
\n6s & =12\\\\
\ns&=2
\n\\end{align}<\/p>\n