{"id":73,"date":"2015-02-24T16:15:20","date_gmt":"2015-02-24T15:15:20","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=73"},"modified":"2016-02-21T20:57:16","modified_gmt":"2016-02-21T19:57:16","slug":"allgemeine-quadratische-funktion","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/allgemeine-quadratische-funktion\/","title":{"rendered":"Allgemeine quadratische Funktion"},"content":{"rendered":"<p>Eine &#8222;<strong>quadratische Funktion<\/strong>&#8220; hat die allgemeine Form<\/p>\n\\(f(x) = a x^2 + b x + c\\)\n<p>Im ersten Term kommt das <strong>\\(x\\)<\/strong> <em>quadratisch<\/em> vor, im zweiten Term nur als <strong>\\(x\\)<\/strong>, und im dritten Term kommt das <strong>\\(x\\)<\/strong> gar nicht vor. Die Werte \\(a, b, c\\)\u00a0 hei\u00dfen <strong>Koeffizienten<\/strong>. Die Koeffizienten k\u00f6nnen nat\u00fcrlich positiv oder negativ sein.<\/p>\n<p>Man nennt<\/p>\n<ul>\n<li>den ersten Term \\(a x^2\\)\u00a0 den <em>quadratischen<\/em> Term<\/li>\n<li>den zweiten Term \\(b x\\)\u00a0 den <em>linearen<\/em> Term<\/li>\n<li>den letzten Term \\(c\\)\u00a0 den <em>konstanten<\/em> Term.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Je nachdem, welche Werte nun die Koeffizienten annehmen, sieht die Funktion aus.<\/p>\n<p>Nachstehend kann man ein Geogebra-Applet aufrufen, bei dem man die Werte f\u00fcr \\(a, b, c\\) einstellen kann, um dann zu beobachten, wie sich die Funktion ver\u00e4ndert. (Man muss Java-Applets im Browser zulassen)<\/p>\n<blockquote><p>\u2192 <a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/popups\/applet\/quadratische_funktion.html\" class=\"popup\" data-width=\"1600\" data-height=\"900\" data-scrollbars=\"1\" alt=\"popup\">Applet zu quadratischen Funktionen anzeigen<\/a><\/blockquote>\n<p>Im Speziellen beobachtet man:<\/p>\n<ul>\n<li>Wenn <strong>\\(a\\) positiv<\/strong> ist, ist die Parabel nach <strong>oben<\/strong> offen.<\/li>\n<li>Wenn <strong>\\(a\\) negativ <\/strong>ist, ist die Parabel nach <strong>unten <\/strong>offen.<\/li>\n<li>Der Wert <strong>\\(c\\)<\/strong> gibt an, wo die Funktion die y-Achse schneidet. Das ist leicht einzusehen, denn wenn man f\u00fcr \\(x=0\\)\u00a0 einsetzt, bleibt ja nur der konstante Term \\(c\\)\u00a0 \u00fcbrig. Ver\u00e4ndert man also nur den Wert <strong>\\(c\\)<\/strong>, wird die Funktion nur in y-Richtung verschoben, ohne dass sich die &#8222;Form&#8220; der Funktion ver\u00e4ndert.<\/li>\n<li>Ist \\(c=0\\), dann geht die Funktion durch den Ursprung \\((0|0)\\)<\/li>\n<li>Der Wert <strong>\\(b\\) <\/strong>verschiebt die Funktion in beide Richtungen.<\/li>\n<li>Wenn der <strong>\\(a = 0\\)<\/strong> ist, f\u00e4llt der quadratische Term weg und man erh\u00e4lt eine <em>lineare<\/em> Funktion, ein Gerade!<\/li>\n<li>Ist der Koeffizient \\(a&gt;1\\), wird die Funktion noch oben hin &#8222;gestreckt&#8220;, ist \\(a&lt;-1\\), erfolgt die Streckung nach unten (im Vergleich mit der Normalparabel, siehe unten).<\/li>\n<li>Ist <strong>\\(-1 &lt; a &lt;1\\)<\/strong>, liegt also zwischen -1 und 1, wird die Funktion &#8222;gestaucht&#8220;\u00a0(im Vergleich mit der Normalparabel, siehe unten).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Weiters ist der <strong>Scheitel<\/strong> der Funktion als roter Punkt eingezeichnet. Die Funktion hat dort ein Minimum oder ein Maximum, und zwar<\/p>\n<ul>\n<li>wenn der Koeffizient <strong>\\(a\\) positiv<\/strong> ist (die Parabel also nach oben offen ist), ist der Scheitel ein Minimum der Funktion.<\/li>\n<li>wenn der Koeffizient <strong>\\(a\\) negativ <\/strong>ist (die Parabel also nach unten offen ist), ist der Scheitel ein Maximum der Funktion.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die strichlierte Kurve ist die\u00a0\u21d2 <a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/ortskurven\/\">Ortskurve<\/a> (ebenfalls eine Parabel), auf der sich der Scheitelpunkt bewegt, wenn man nur den Faktor \\(b\\) der quadratischen Funktion ver\u00e4ndert.<\/p>\n<p>Die allgemeine quadratische Gleichung kann mit der\u00a0\u21d2 &#8222;<a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/quadratische-gleichungen-loesen\/#mitternachtsformel\">Mitternachtsformel<\/a>&#8220; gel\u00f6st werden.<\/p>\n<h4>Die Normalparabel<\/h4>\n<div id=\"attachment_102\" style=\"width: 310px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/normalparabel.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-102\" class=\"size-medium wp-image-102\" src=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/normalparabel-300x279.png\" alt=\"Normalparabel\" width=\"300\" height=\"279\" srcset=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/normalparabel-300x279.png 300w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/normalparabel.png 373w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-102\" class=\"wp-caption-text\">Normalparabel<\/p><\/div>\n<p>Als <strong>Normalform<\/strong> der quadratischen Gleichung wir jene Gleichung bezeichnet, bei der der Koeffizient des quadratischen Terms \\(a=1\\) ist. Man schreibt dann<\/p>\n\\(x^2+px+q=0\\)\n<p>Es kommen bei der Normalform nur mehr zwei Koeffizienten, \\(p\\) und \\(q\\), vor. Die Normalform der quadratischen Gleichung kann mit der\u00a0\u21d2 &#8222;<a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/quadratische-gleichungen-loesen\/#pqformel\">p-q-Formel<\/a>&#8220; gel\u00f6st werden.<\/p>\n<p>Als <strong>Normalparabel<\/strong> bezeichnet man die Funktion dann, wenn die Koeffizienten\u00a0\\(a=1\\),\u00a0 \\(b=0\\)\u00a0 und \\(c=0\\) sind. Man erh\u00e4lt also die Funktion<\/p>\n\\(f(x) = a x^2 + \\underbrace {b\\,x}_{ = 0} + \\underbrace {c}_{ = 0}\\)\n<p>Hier kommt nur mehr der quadratische Term vor, und der Koeffizient \\(a=1\\). Man k\u00f6nnte also auch schreiben<\/p>\n\\(f(x)=1\\cdot x^2\\).<\/p>\n<p>Da \\(a&gt;0\\) ist, ist die Normalparabel oben offen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Eine &#8222;quadratische Funktion&#8220; hat die allgemeine Form \\(f(x) = a x^2 + b x + c\\) Im ersten Term kommt das \\(x\\) quadratisch vor, im zweiten Term nur als \\(x\\), und im dritten Term kommt das \\(x\\) gar nicht vor.&hellip;<\/p>\n<p class=\"more-link-p\"><a class=\"more-link\" href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/allgemeine-quadratische-funktion\/\">Read more &rarr;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/73"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=73"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/73\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=73"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}