{"id":5,"date":"2015-02-20T15:27:58","date_gmt":"2015-02-20T14:27:58","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=5"},"modified":"2015-10-29T01:02:42","modified_gmt":"2015-10-29T00:02:42","slug":"nullstellen-und-scheitelpunkt","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/nullstellen-und-scheitelpunkt\/","title":{"rendered":"Nullstellen und Scheitelpunkt"},"content":{"rendered":"
Beispiel:<\/div>\n
\n

Gegeben sei die quadratische Funktion \\(f(x)=2x^2-3x+1\\)<\/p>\n

    \n
  1. Berechne die Nullstellen dieser Funktion.<\/li>\n
  2. Gibt die Koordinaten des Scheitelpunktes \\(S\\) an.<\/li>\n
  3. Zeichne den Graphen der Funktion und beschrifte die Nullstellen und den Scheitelpunkt.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \n
    \nL\u00f6sung\n<\/div>\n
    \n

    1.) Nullstellen<\/strong><\/p>\n

    Die Nullstellen einer Funktion erh\u00e4lt man, indem man \\(f(x)= 0\\) setzt und jene Werte f\u00fcr \\(x\\) berechnet, bei denen das zutrifft. Mit anderen Worten, man muss die quadratische Gleichung \\(f(x)=2x^2-3x+1 = 0\\) l\u00f6sen.<\/p>\n

    Die allgemeine Form der quadratischen Funktion lautet: \\(f(x)=ax^2+bx+c\\).<\/p>\n

    Allgemein: \\(f(x)=ax^2+bx+c\\)
    \nUnsere Gleichung: \\(f(x)=2x^2-3x+1\\)<\/p>\n

    Wir vergleichen die Zahlen und schreiben in unserem Fall:<\/p>\n

    \\(a = 2, b = -3, c = 1\\)<\/p>\n

    Nun setzen wir diese Werte in die bekannte „Mitternachtsformel<\/strong><\/a>“ ein: \\(x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4 a c} }{2a}\\)<\/p>\n

    \\(x_{1,2} = \\frac{-(-3) \\pm \\sqrt{(-3)^2 – 4(2\\cdot 1)} }{2\\cdot2} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{9 – 8} }{4} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{1} }{4} = \\frac{3 \\pm 1 }{4}\\)<\/p>\n

    \\(x_1 =\u00a0 \\frac{3+1}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\)<\/p>\n

    \\(x_2 =\u00a0 \\frac{3-1}{4} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\)<\/p>\n

    Nullstellen sind also \\(N_1 = (1|0)\\) und \\(N_2 = (\\frac{1}{2}|0)\\)<\/p>\n

    2.) Scheitelpunkt<\/strong><\/p>\n

    Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \\(S = \\left( \\frac{-b}{2a} | c – \\frac{b^2}{4a} \\right)\\)<\/p>\n

    Wir setzen f\u00fcr a, b, c unsere Werte ein und erhalten<\/p>\n

    \\(S = \\left( \\frac{-(-3)}{2\\cdot2} | 1 – \\frac{(-3)^2}{4\\cdot2} \\right) = \\left( \\frac{3}{4} | 1 – \\frac{9}{8} \\right) = \\left( \\frac{3}{4} | -\\frac{1}{8} \\right)\\)<\/p>\n

    Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \\(S = \\left( \\frac{3}{4} | -\\frac{1}{8} \\right)\\)<\/p>\n

    3.) Graph der Funktion<\/strong><\/p>\n

    \"f(x)=2x^2-3x+1\"<\/a><\/p>\n

    [Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

     <\/p>\n

     <\/p>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Beispiel: Gegeben sei die quadratische Funktion \\(f(x)=2x^2-3x+1\\) Berechne die Nullstellen dieser Funktion. Gibt die Koordinaten des Scheitelpunktes \\(S\\) an. Zeichne den Graphen der Funktion und beschrifte die Nullstellen und den Scheitelpunkt.      <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/5\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}