{"id":2671,"date":"2017-02-07T15:40:28","date_gmt":"2017-02-07T14:40:28","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=2671"},"modified":"2017-04-10T14:05:32","modified_gmt":"2017-04-10T12:05:32","slug":"gerade-in-der-ebene","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/gerade-in-der-ebene\/","title":{"rendered":"Gerade in der Ebene"},"content":{"rendered":"<h2>Darstellungsm\u00f6glichkeiten von Geraden in \\(\\mathbb{R}^2\\)<\/h2>\n<p>Es gibt im Prinzip drei M\u00f6glichkeiten, eine Gerade in der Ebene zu beschreiben.<\/p>\n<ul>\n<li>Die <strong>explizite<\/strong> Form, z.B. \\(y=\\frac{1}{3}x+\\frac{11}{3}\\)<\/li>\n<li>Die <strong>implizite<\/strong> Form, z.B. \\(-x+3y=11\\)<\/li>\n<li>Die <strong>Parameterform<\/strong>, z.B. \\(g:X=\\left( \\begin{array}{} 1 \u00a0 \\\\\u00a0 4 \\end{array} \\right)+t\\cdot \\left( \\begin{array}{} 3 \\\\\u00a0 1 \\end{array}\\right)\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Alle drei Formen beschreiben hier dieselbe Gerade. Es gibt noch eine weitere M\u00f6glichkeit, die <strong>Normalenform<\/strong>, dazu sp\u00e4ter.<\/p>\n<h2>Die &#8222;altbekannte&#8220; Geradengleichung (explizite Form)<\/h2>\n<p>Die altbekannte Geradengleichung in der Ebene \\(\\mathbb{R}^2\\) lautet<\/p>\n<p>\\(y = k\\cdot x+d\\)<\/p>\n<p>Dabei sind \\(k\\) und \\(d\\) konstante reelle Zahlen, \\(k\\) ist die <strong>Steigung<\/strong> der Geraden und \\(d\\) der \\(y-\\)<strong>Achsenabschnitt<\/strong>, also wo die Gerade die \\(y-\\)Achse schneidet. Sowohl \\(k\\) als auch \\(d\\) k\u00f6nnen dabei positiv oder negativ sein.<\/p>\n<ul>\n<li>\\(k&gt;0\\): Die Gerade ist <strong>steigend<\/strong>, d.h. mit gr\u00f6\u00dferen \\(x-\\)Werten nehmen auch die \\(y-\\)Werte zu.<\/li>\n<li>\\(k&lt;0\\): Die Gerade ist <strong>fallend<\/strong>, d.h. mit gr\u00f6\u00dferen \\(x-\\)Werten nehmen die \\(y-\\)Werte ab.<\/li>\n<li>\\(d&gt;0\\): Die Gerade schneidet die \\(y-\\)Achse im positiven Bereich, d.h. oberhalb der \\(x-\\)Achse.<\/li>\n<li>\\(d&lt;0\\): Die Gerade schneidet die \\(y-\\)Achse im negativen Bereich, d.h. unterhalb der \\(x-\\)Achse.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Man nennt diese Darstellung auch die <strong>explizite Form<\/strong>, d.h. es steht das \\(y\\) alleine auf der linken Seite der Geradengleichung. F\u00fcr jedes eingesetzte \\(x\\) erh\u00e4lt man ein zugeordnetes \\(y\\).<\/p>\n<p><strong>Sonderformen:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>F\u00fcr \\(k=0\\) erh\u00e4lt man \\(y = 0\\cdot x+d\\), also \\(y = d\\). Die Gerade hat die Steigung 0, ist also parallel zur \\(x-\\)Achse.<\/li>\n<li>F\u00fcr \\(d=0\\) erh\u00e4lt man \\(y = k\\cdot x+0\\), also \\(y = k\\cdot x\\). Die Gerade schneidet die hat die \\(y-\\)Achse im Ursprung.<\/li>\n<li>F\u00fcr \\(k=0,\\;d=0\\) erh\u00e4lt man \\(y = 0\\cdot x+0\\), also \\(y = 0\\). Die Gerade ist mit der \\(x-\\)Achse ident.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wir wollen uns aber hier zunn\u00e4chst mit der <em>vektoriellen<\/em> Darstellung (Parameterform) von Geraden besch\u00e4ftigen und nicht mit der expliziten Form.<\/p>\n<h2>Parameterform von Geraden<\/h2>\n<p>Man kann eine Gerade in \\(\\mathbb{R}^2\\) auch wie folgt beschreiben. Man nimmt einen Punkt \\(P=\\left( \\begin{array}{} p_x\u00a0\u00a0 \\\\\u00a0 p_y \\end{array} \\right)\\) und einen Richtungsvektor \\(\\vec{u}=\\left( \\begin{array}{} u_x\u00a0\u00a0 \\\\\u00a0 u_y \\end{array} \\right)\\) und schreibt f\u00fcr die Gerade<\/p>\n<p>\\(g:X=\\left( \\begin{array}{} p_x\u00a0\u00a0 \\\\\u00a0 p_y \\end{array} \\right)+t\\cdot \\left( \\begin{array}{} u_x\u00a0\u00a0 \\\\\u00a0 u_y \\end{array}\\right)\\)<\/p>\n<p>Die Gerade geht dann durch den Punkt \\(P\\) und ist <strong>parallel<\/strong> zum Richtungsvektor \\(\\vec{u}\\). Man nennt \\(t\\) den <strong>Parameter<\/strong>, eine beliebige reelle Zahl. Damit kann man jeden Punkt der Geraden beschreiben, je nachdem, was man f\u00fcr \\(t\\) w\u00e4hlt. So kann man durch die Wahl des Parameters \\(t\\) die gesamte Gerade durchlaufen und jeden Punkt erreichen.<\/p>\n<h2>Geogebra Applet zum Testen<\/h2>\n<p>Im folgenden Applet kann ein Punkt \\(P\\) und ein Richtungsvektor \\(\\vec{u}\\) festgelegt werden. Durch die Wahl des Parameters \\(t\\) l\u00e4uft dann der Punkt \\(Q\\) die Gerade ab.<\/p>\n<blockquote><p>\u2192 <a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/popups\/applet\/geraden_in_der_ebene.html\" class=\"popup\" data-width=\"1230\" data-height=\"900\" data-scrollbars=\"1\" alt=\"popup\"><strong>Gerade in der Ebene <\/strong>(Popup-Fenster)<\/a><\/p><\/blockquote>\n<h2>Umrechnung implizite Form auf Parameterform<\/h2>\n<p>Um von einer gegebenen impliziten Geradengleichung auf die Parameterform umzurechnen, kann man wie folgt vorgehen.\\(\\definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \\) \\(\\definecolor{green}{RGB}{0,153,0} \\)<\/p>\n<p>Man setzt f\u00fcr \\(x = t\\), also ausf\u00fchrlich geschrieben<\/p>\n<p>\\(\\color{red}{x=0+1\\cdot t}\\)<\/p>\n<p>Dies setzt man in die gegebene implizite Gleichung ein und berechnet \\(y\\). Als Beispiel nehmen wir die oben angegebene Gleichung<\/p>\n<p>\\(-x+3y=11\\)<\/p>\n<p>Es ist dann mit \\(x=t\\)<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{align}{}-t+3y&amp;=11\\\\3y&amp;=11+1\\cdot t\\\\ \\color{green}{y}&amp;=\\color{green}{\\frac{11}{3}+\\frac{1}{3}\\cdot t} \\end{align}\\)<\/p>\n<p>Schreibt man nun die Ergebnisse f\u00fcr \\(x\\) und \\(y\\) in Vektorform an, erh\u00e4lt man<\/p>\n<p>\\(\\left( \\begin{array}{} \\color{red}{x} \\\\ \\color{green}{y} \\end{array} \\right)=\\left( \\begin{array}{} \\color{red}{0}\\\\ \\color{green}{\\frac{11}{3}} \\end{array} \\right)+t\\cdot \\left( \\begin{array}{} \\color{red}{1}\\\\ \\color{green}{\\frac{1}{3}} \\end{array}\\right)\\)<\/p>\n<p>Die gesuchte Parameterform der Geraden lautet damit<\/p>\n<p>\\(g:X=\\left( \\begin{array}{} 0\\\\ \\frac{11}{3} \\end{array} \\right)+t\\cdot \\left( \\begin{array}{} 1\\\\ \\frac{1}{3} \\end{array}\\right)\\)<\/p>\n<h2>Umrechnung Parameterform auf implizite Form<\/h2>\n<p>Im umgekehrten Fall schreibt man die Parameterform als Gleichungen f\u00fcr \\(x\\) und \\(y\\) an und versucht dann, den Parameter \\(t\\) zu eliminieren:<\/p>\n<p><strong>Zum Beispiel:<\/strong><\/p>\n<p>\\(\\displaystyle g:X=\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\\\ {-4} \\end{array}} \\right)+t\\cdot \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\\\ 3 \\end{array}} \\right)\\)<\/p>\n<p>Die obere Zeile liefert \\(\\displaystyle x=2+6\\cdot t\\)<\/p>\n<p>Die untere Zeile liefert \\(\\displaystyle y=-4+3\\cdot t\\)<\/p>\n<p>Durch Multiplikation der unteren Zeile mit \\(-2\\) erh\u00e4lt man<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{align}{}x&amp;=2+6\\cdot t\\\\-2y&amp;=8-6\\cdot t\\end{align}\\)<\/p>\n<p>Nun k\u00f6nnen die Zeilen addiert werden, wobei der Parameter \\(t\\) verschwindet und man erh\u00e4lt die<\/p>\n<p><strong>Implizite Form:<\/strong> \\(\\displaystyle x-2y=10\\)<\/p>\n<p>Die explizite Form erh\u00e4lt man daraus, indem man einfach nach \\(y\\) umstellt:<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{align}{}x-2y&amp;=10\\\\-2y&amp;=-x+10\\quad \\quad |\\cdot (-1)\\\\2y&amp;=x-10\\quad \\quad \\quad |:2\\\\y&amp;=\\frac{1}{2}x-5\\end{align}\\)<\/p>\n<div class=\"beispiel\">Beispiel<\/div>\n<div class=\"bsp_angabe\">\n<p>Gegeben sei die Gerade \\(\\displaystyle g:X=\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\\\ 2 \\end{array}} \\right)+t\\cdot \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\\\ 3 \\end{array}} \\right)\\).<\/p>\n<p>Berechne die implizite bzw. explizite Geradengleichung!<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"sp-wrap sp-wrap-default\">\n<div class=\"sp-head\" title=\"Erweitern\">\nL\u00f6sung\n<\/div>\n<div class=\"sp-body folded\">\n<p>Wir schreiben die beiden Zeilen als<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{array}{l}x=4-1\\;t\\\\y=2+3\\;t\\end{array}\\)<\/p>\n<p>Durch Multiplikation der ersten Zeile mit \\(3\\) ergibt sich<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\begin{array}{l}3x=12-3t\\\\y=2+3t\\end{array}\\)<\/p>\n<p>Nun addiert man die beiden Zeilen und erh\u00e4lt die implizite Form mit<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle 3x+y=14\\)<\/p>\n<p>Nach Umstellung ergibt sich die explizite Form zu<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle y=-3x+14\\)<\/p>\n<p>Die Steigung der Geraden ist also \\(-3\\), also eine fallende Gerade, ihr Schnittpunkt mit der \\(y-\\)Achse ist bei \\(y=14\\), also im Punkt \\(\\left(0|14 \\right)\\)<\/p>\n<div class=\"spdiv\">[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Darstellungsm\u00f6glichkeiten von Geraden in \\(\\mathbb{R}^2\\) Es gibt im Prinzip drei M\u00f6glichkeiten, eine Gerade in der Ebene zu beschreiben. Die explizite Form, z.B. \\(y=\\frac{1}{3}x+\\frac{11}{3}\\) Die implizite Form, z.B. \\(-x+3y=11\\) Die Parameterform, z.B. \\(g:X=\\left( \\begin{array}{} 1 \u00a0 \\\\\u00a0 4 \\end{array} \\right)+t\\cdot \\left(&hellip;<\/p>\n<p class=\"more-link-p\"><a class=\"more-link\" href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/gerade-in-der-ebene\/\">Read more &rarr;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2671"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2671"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2671\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2671"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}