{"id":2589,"date":"2016-12-13T18:24:09","date_gmt":"2016-12-13T17:24:09","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=2589"},"modified":"2016-12-13T19:25:22","modified_gmt":"2016-12-13T18:25:22","slug":"lineare-gleichungen-mit-einer-unbekannten","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/lineare-gleichungen-mit-einer-unbekannten\/","title":{"rendered":"Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten – Beispiele"},"content":{"rendered":"

Sehr h\u00e4ufig kommen in der Unterstufe Gleichungen mit einer Unbekannten vor.
\nDie folgenden Beispiele enthalten die Unbekannten Variablen nur in der 1. Potenz, sie sind also linear<\/strong>. D.h., es kommt kein \\(x^2,\\;x^3\\) usw. in der Gleichung vor, sondern nur \\(x\\).<\/p>\n

Beispiel 1<\/div>\n
\n

\\(\\displaystyle x+\\frac{{3x-9}}{5}=4-\\frac{{5x-12}}{3}\\)<\/p>\n

\\(x=?\\)<\/p>\n<\/div>\n

\n
\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
\n

In dieser Gleichung treten Br\u00fcche auf. Um diese loszuwerden, kann man mit dem Nenner multiplizieren. Zu beachten ist, dass alle Terme<\/strong> der Gleichung korrekt multipliziert werden!<\/p>\n

Wir multiplizieren mit dem Nenner 5 und danach noch mit dem Nenner 3:<\/p>\n

\\(\\displaystyle x+\\frac{{3x-9}}{5}=4-\\frac{{5x-12}}{3}\\quad \\quad |\\cdot 5\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 5x+\\left( {3x-9} \\right)=20-\\frac{{5\\cdot \\left( {5x-12} \\right)}}{3}\\quad \\quad |\\cdot 3\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 15x+3\\cdot \\left( {3x-9} \\right)=60-5\\cdot \\left( {5x-12} \\right)\\)<\/p>\n

Nun hat man keine Br\u00fcche mehr. Die Klammern werden aufgel\u00f6st, wobei die Minuszeichen vor Klammern zu beachten sind (Minusklammer):<\/p>\n

\\(\\displaystyle 15x+9x-27=60-\\left( {25x-60} \\right)\\)<\/p>\n

Alle Terme mit einem \\(x\\) sowie alle Zahlen werden zusammengefasst.<\/p>\n

\\(\\displaystyle 24x-27=60-25x+60\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 24x-27=-25x+120\\quad \\quad |+27\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 24x=-25x+147\\quad \\quad |+25x\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 49x=147\\quad \\quad |:49\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle x=3\\)<\/p>\n

L\u00f6sungsmenge: \\(\\displaystyle L=\\left\\{ 3 \\right\\}\\)<\/p>\n

Probe:<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\begin{align}{}3+\\frac{{3\\cdot 3-9}}{5}&= 4-\\frac{{5\\cdot 3-12}}{3} \\\\ 3+\\frac{0}{9}&=4-\\frac{{15-12}}{3} \\\\ 3&=4-\\frac{3}{3} \\\\ 3&=4-1 \\\\ 3&=3\\end{align}\\)<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
Beispiel 2<\/div>\n
\n

\\(\\displaystyle 5-\\frac{{3+3x}}{2}=x+\\frac{{5x-2}}{3}\\)<\/p>\n

\\(x=?\\)<\/p>\n<\/div>\n

\n
\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
\n

In dieser Gleichung treten Br\u00fcche auf. Um diese loszuwerden, kann man mit dem Nenner multiplizieren. Zu beachten ist, dass alle Terme<\/strong> der Gleichung korrekt multipliziert werden!<\/p>\n

Wir multiplizieren mit dem Nenner 2 und danach noch mit dem Nenner 3:<\/p>\n

\\(\\displaystyle 5-\\frac{{3+3x}}{2}=x+\\frac{{5x-2}}{3}\\quad \\quad |\\cdot 2\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 10-\\left( {3+3x} \\right)=2x+\\frac{{2\\cdot \\left( {5x-2} \\right)}}{3}\\quad \\quad |\\cdot 3\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 30-3\\cdot \\left( {3+3x} \\right)=6x+2\\cdot \\left( {5x-2} \\right)\\)<\/p>\n

Nun hat man keine Br\u00fcche mehr. Die Klammern werden aufgel\u00f6st, wobei die Minuszeichen vor Klammern zu beachten sind (Minusklammer):<\/p>\n

\\(\\displaystyle 30-\\left( {9+9x} \\right)=6x+10x-4\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 30-9-9x=16x-4\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 21-9x=16x-4\\quad \\quad |+4\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 25-9x=16x\\quad \\quad |+9x\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 25=25x\\quad \\quad |:25\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 1=x\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle x=1\\)<\/p>\n

L\u00f6sungsmenge: \\(\\displaystyle L=\\left\\{ 1 \\right\\}\\)<\/p>\n

Probe:<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\begin{align}{}5-\\frac{{3+3\\cdot 1}}{2}&=1+\\frac{{5\\cdot 1-2}}{3}\\\\5-\\frac{{3+3}}{2}&=1+\\frac{{5-2}}{3}\\\\5-\\frac{6}{2}&=1+\\frac{3}{3}\\\\5-3&=1+1\\\\2&=2\\end{align}\\)<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
Beispiel 3<\/div>\n
\n

\\(\\displaystyle \\frac{{3k-5}}{3}-\\frac{{8+3k}}{6}=2-\\frac{{7-3k}}{2}\\)<\/p>\n

\\(k=?\\)<\/p>\n<\/div>\n

\n
\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
\n

In dieser Gleichung treten drei Br\u00fcche auf. Hier k\u00f6nnte man versuchen, alle Terme auf den gemeinsamen Nenner von 6 zu bringen. Die Z\u00e4hler werden mit den entsprechenden Faktoren erweitert.<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\frac{{2\\cdot \\left( {3k-5} \\right)}}{6}-\\frac{{8+3k}}{6}=\\frac{{6\\cdot 2}}{6}-\\frac{{3\\cdot \\left( {7-3k} \\right)}}{6}\\quad \\quad |\\cdot 6\\)<\/p>\n

Nach Multiplikation mit 6 f\u00e4llt \u00fcberall der Nenner weg und man erh\u00e4lt<\/p>\n

\\(\\displaystyle 2\\cdot \\left( {3k-5} \\right)-\\left( {8+3k} \\right)=12-3\\cdot \\left( {7-3k} \\right)\\)<\/p>\n

Zu beachten sind jetzt noch die Minusklammern:<\/p>\n

\\(\\displaystyle 6k-10-8-3k=12-\\left( {21-9k} \\right)\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 3k-18=12-21+9k\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 3k-18=9k-9\\quad \\quad |+9\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle 3k-9=9k\\quad \\quad |-3k\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle -9=6k\\quad \\quad |:6\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle -\\frac{9}{6}=k\\)<\/p>\n

Es kann noch durch 3 gek\u00fcrzt werden:<\/p>\n

\\(\\displaystyle k=-\\frac{3}{2}\\)<\/p>\n

L\u00f6sungsmenge: \\(\\displaystyle L=\\left\\{ {-\\frac{3}{2}} \\right\\}\\)<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sehr h\u00e4ufig kommen in der Unterstufe Gleichungen mit einer Unbekannten vor. Die folgenden Beispiele enthalten die Unbekannten Variablen nur in der 1. Potenz, sie sind also linear. D.h., es kommt kein \\(x^2,\\;x^3\\) usw. in der Gleichung vor, sondern nur \\(x\\).…<\/p>\n

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