{"id":2473,"date":"2016-11-08T16:47:32","date_gmt":"2016-11-08T15:47:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=2473"},"modified":"2016-11-08T19:13:54","modified_gmt":"2016-11-08T18:13:54","slug":"1-summensatz-fuer-sinus-beweis","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/1-summensatz-fuer-sinus-beweis\/","title":{"rendered":"1. Summensatz f\u00fcr Sinus – Beweis"},"content":{"rendered":"

Die einfachen Zusammenh\u00e4nge f\u00fcr Sinus\/Cosinus sollten f\u00fcr den nachstehenden Beweis bekannt sein:<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sin \\alpha =\\frac{{Gegenkathete}}{{Hypotenuse}}=\\frac{{GK}}{{HYP}}\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\cos \\alpha =\\frac{{Ankathete}}{{Hypotenuse}}=\\frac{{AK}}{{HYP}}\\)<\/p>\n

Wir beweisen nun den 1. Summensatz f\u00fcr \\(\\sin(\\alpha + \\beta)\\), d.h. wenn im Argument des Sinus eine Winkelsumme<\/strong><\/em> auftritt.<\/p>\n

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Das Ergebnis lautet<\/div>\n
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\\(\\displaystyle \\sin (\\alpha +\\beta )=\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\beta +\\cos \\alpha \\cdot \\sin \\beta \\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

Geometrischer Beweis<\/h2>\n
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<\/span>Schritt 1<\/div>\n
\"Schritt<\/a>Konstruiere um einen Punkt \\(M\\) einen Kreis mit dem Radius \\(r=1\\) (Einheitskreis).<\/p>\n

Zeichne den waagrechten Schenkel \\(\\overline{MP}\\) ein.<\/p>\n

Zeichne ausgehend vom Schenkel \\(\\displaystyle \\overline{{MP}}\\) einen beliebigen Winkel \\(\\alpha\\) und daran anschlie\u00dfend einen beliebigen Winkel \\(\\beta\\) ein.<\/p>\n

Punkt \\(B\\) ergibt sich als Schnittpunkt von Einheitskreis und dem Schenkel von \\(\\beta\\).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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<\/span>Schritt 2<\/div>\n
\"Schritt<\/a>Konstruiere die Normale durch \\(B\\) auf den Schenkel \\(\\displaystyle \\overline{{MP}}\\) und bezeichne den Fu\u00dfpunkt mit \\(R\\).<\/p>\n

Im Dreieck \\(\\displaystyle \\triangle MBR\\) ist nun die Strecke \\(\\displaystyle \\overline{{BR}}\\) die Gegenkathete zum gesamten Winkel \\((\\alpha + \\beta)\\), es gilt also<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sin (\\alpha +\\beta )=\\frac{{GK}}{{HYP}}=\\frac{{\\overline{{BR}}}}{1}=\\overline{{BR}}\\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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<\/span>Schritt 3<\/div>\n
\"Schritt<\/a>Zeichne einen Punkt \\(A\\) auf dem gemeinsamen Schenkel von \\(\\alpha\\) und \\(\\beta\\) so ein, dass \\(\\displaystyle \\overline{AB}\\) normal auf \\(\\displaystyle \\overline{MA}\\) steht.<\/p>\n

Es entsteht das rote rechtwinkelige Dreieck \\(\\displaystyle \\triangle MAB\\). In diesem Dreieck ist die Hypotenuse \\(r=1\\) und gem\u00e4\u00df der Definition von Sinus und Cosinus gilt:<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sin \\beta =\\frac{{GK}}{{HYP}}=\\frac{{\\overline{{AB}}}}{1}\\Rightarrow \\overline{{AB}}=\\sin \\beta \\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\cos \\beta =\\frac{{AK}}{{HYP}}=\\frac{{\\overline{{MA}}}}{1}\\Rightarrow \\overline{{MA}}=\\cos \\beta \\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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<\/span>Schritt 4<\/div>\n
\"Schritt<\/a>Konstruiere die Normale durch den Punkt \\(A\\) auf den Schenkel \\(\\displaystyle \\overline{{MP}}\\) und bezeichne den Fu\u00dfpunkt mit \\(Q\\).<\/p>\n

Das gelbe rechtwinkelige Dreieck \\(\\triangle MAQ\\) besitzt als Hypotenuse die Strecke \\(\\overline{MA} = \\cos \\beta\\) (Siehe Schritt 3).<\/p>\n

Die Strecke \\(\\overline{AQ}\\) ist die Gegenkathete zum Winkel \\(\\alpha\\), daher gilt<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sin \\alpha =\\frac{{GK}}{{HYP}}=\\frac{{\\overline{{QA}}}}{{\\overline{{MA}}}}=\\frac{{\\overline{{QA}}}}{{\\cos \\beta }}\\).<\/p>\n

Daher folgt<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\overline{{QA}}=\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\beta \\)<\/p>\n

 <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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<\/span>Schritt 5<\/div>\n
\"Schritt<\/a>Der Winkel \\(\\alpha\\) wird von den Schenkeln \\(\\displaystyle \\overline{MP}\\) und \\(\\displaystyle \\overline{MA}\\) eingeschlossen. Man sieht in der Skizze<\/p>\n