{"id":2418,"date":"2016-10-17T21:09:17","date_gmt":"2016-10-17T19:09:17","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=2418"},"modified":"2016-11-08T18:38:55","modified_gmt":"2016-11-08T17:38:55","slug":"sinus-cosinus-und-tangens-haeufiger-winkel","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/sinus-cosinus-und-tangens-haeufiger-winkel\/","title":{"rendered":"Sinus, Cosinus und Tangens h\u00e4ufiger Winkel"},"content":{"rendered":"

Nachstehend wird gezeigt, wie man sich f\u00fcr h\u00e4ufig vorkommende Winkelwerte wie z.B. \\(30^{\\circ}, 45^{\\circ}, 60^{\\circ}\\) die entsprechenden Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte herleiten kann.<\/p>\n

Beginnen wir mit dem Sinus von \\(\\displaystyle 30{}^\\circ \\).<\/h3>\n

Der \\(\\sin(30^{\\circ})\\) eignet sich sehr sch\u00f6n zur grafischen Darstellung am Einheitskreis.<\/p>\n

\n
<\/span>Schritt 1<\/div>\n
\"sin(30\u00b0)\"<\/a>Man zeichnet sich einen Einheitskreis, Radius \\(r=1\\). Nun tr\u00e4gt man den Winkel \\(\\alpha=30^{\\circ}\\) nach oben hin auf und erh\u00e4lt den Schittpunkt \\(P_1\\). Der Fu\u00dfpunkt \\(F\\) befindet sich senkrecht unterhalb von \\(P_1\\).<\/p>\n

Die Strecke \\(\\displaystyle \\overline{{{{P}_{1}}F}}\\) ergibt sich aus<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\frac{{GK}}{{HYP}}=\\frac{{\\overline{{{{P}_{1}}F}}}}{1}=\\sin (30{}^\\circ )\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle\\sin (30{}^\\circ )=\\overline{{{{P}_{1}}F}}\\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>Schritt 2<\/div>\n
\"sin(30\u00b0)\"<\/a>Um die L\u00e4nge dieser Strecke zu ermitteln zeichnet man den Winkel \\(\\displaystyle \\alpha \\) noch einmal in die andere Richtung (nach unten) ein, man erh\u00e4lt am Kreis den Schnittpunkt \\(\\displaystyle {{P}_{2}}\\). Am Mittelpunkt \\(\\displaystyle M\\) ist nun der doppelte Winkel \\(\\displaystyle 2\\alpha =60{}^\\circ \\) entstanden, den die beiden Kreisradien einschlie\u00dfen.<\/p>\n

Da diese Schenkel die selbe L\u00e4nge haben und einen Winkel von \\(\\displaystyle 60{}^\\circ \\) einschlie\u00dfen, kann man schlie\u00dflich das gleichseitige<\/strong> Dreieck \\(\\displaystyle \\triangle M{{P}_{1}}{{P}_{2}}\\) einzeichnen.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>Schritt 3<\/div>\n
\"sin(30\u00b0)\"<\/a>Da das Dreieck gleichseitig ist, muss die Strecke \\(\\displaystyle \\overline{{{{P}_{1}}{{P}_{2}}}}\\) ebenfalls die L\u00e4nge \\(1\\) haben.<\/p>\n

Das Dreieck ist symmetrisch zur \\(x-\\)Achse, der Fu\u00dfpunkt \\(F\\) teilt also die Strecke \\(\\displaystyle \\overline{{{{P}_{1}}{{P}_{2}}}}\\) in der H\u00e4lfte. Daraus folgt<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\overline{{{{P}_{1}}F}}=\\frac{{\\overline{{{{P}_{1}}{{P}_{2}}}}}}{2}=\\frac{1}{2}\\)<\/p>\n

Der Sinuswert von \\(\\displaystyle 30{}^\\circ \\) muss also \\(\\displaystyle \\sin (30{}^\\circ )=\\frac{1}{2}\\) sein.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

Nachdem wir den \\(\\displaystyle \\sin (30{}^\\circ )=\\frac{1}{2}\\) geometrisch bestimmt haben, k\u00f6nnen wir die anderen Werte aus den Zusammenh\u00e4ngen f\u00fcr \\(sin, cos, tan\\) herleiten.<\/p>\n

\n
\n
<\/span>cos(60\u00b0)<\/div>\n
Aus dem Satz f\u00fcr Komplement\u00e4rwinkel wissen wir, dass<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\cos (90{}^\\circ -\\alpha )=\\sin (\\alpha )\\) ist.<\/p>\n

Wir kennen den \\(\\displaystyle \\sin (30{}^\\circ )=\\frac{1}{2}\\), daher folgt<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\cos (90{}^\\circ -30{}^\\circ )=\\sin (30{}^\\circ )\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle =\\frac{1}{2}\\Rightarrow \\cos (60{}^\\circ )=\\frac{1}{2}\\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>cos(30\u00b0)<\/div>\n
\n
\"Trigonometrischer<\/a><\/p>\n

Trigonometrischer Pythagoras am Einheitskreis<\/p>\n<\/div>\n

Aus dem Einheitskreis kennen wir den Zusammenhang, den man „trigonometrischen Pythagoras<\/strong>“ nennt:<\/p>\n

\\(\\displaystyle {{\\sin }^{2}}\\alpha +{{\\cos }^{2}}\\alpha =1\\)<\/p>\n

Wir kennen den \\(\\displaystyle \\sin (30{}^\\circ )=\\frac{1}{2}\\), daher folgt<\/p>\n

\\(\\displaystyle {{\\cos }^{2}}(30{}^\\circ )=1-{{\\sin }^{2}}(30{}^\\circ )=\\)
\n\\(\\displaystyle =1-{{\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)}^{2}}=1-\\frac{1}{4}=\\frac{3}{4}\\)
\n\\(\\displaystyle \\cos (30{}^\\circ )=\\sqrt{{\\frac{3}{4}}}=\\frac{{\\sqrt{3}}}{{\\sqrt{4}}}=\\)
\n\\(\\displaystyle =\\frac{{\\sqrt{3}}}{2}\\approx 0,8660254….\\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>tan(30\u00b0)<\/div>\n
Der \\(\\displaystyle \\tan (30{}^\\circ )\\) ergibt sich aus dem Zusammenhang<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\tan \\alpha =\\frac{{\\sin \\alpha }}{{\\cos \\alpha }}\\), wir haben also<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\tan (30{}^\\circ )=\\frac{{\\sin (30{}^\\circ )}}{{\\cos (30{}^\\circ )}}=\\)
\n\\(\\displaystyle =\\frac{{\\frac{1}{2}}}{{\\frac{{\\sqrt{3}}}{2}}}=\\frac{{1\\cdot 2}}{{2\\cdot \\sqrt{3}}}=\\)
\n\\(\\displaystyle =\\frac{1}{{\\sqrt{3}}}\\approx 0.57735…\\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>sin(60\u00b0)<\/div>\n
Hier kann man wieder den Komplement\u00e4rwinkelsatz verwenden, es gilt<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sin (90{}^\\circ -\\alpha )=\\cos (\\alpha )\\)<\/p>\n

Wir kennen den \\(\\displaystyle \\cos (30{}^\\circ )=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), daher folgt<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sin (90{}^\\circ -30{}^\\circ )=\\sin(60{}^\\circ)=\\)
\n\\(\\displaystyle =\\cos (30{}^\\circ )=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\approx 0,8660254…\\)\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>tan(60\u00b0)<\/div>\n
Genau so wie zuvor berechnet sich der \\(\\displaystyle \\tan (60{}^\\circ )\\) zu<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\tan (60{}^\\circ )=\\frac{{\\sin (60{}^\\circ )}}{{\\cos (60{}^\\circ )}}=\\frac{{\\frac{{\\sqrt{3}}}{2}}}{{\\frac{1}{2}}}=\\)
\n\\(\\displaystyle =\\frac{{2\\cdot \\sqrt{3}}}{{1\\cdot 2}}=\\sqrt{3}\\approx 1.73205…\\)\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>sin(45\u00b0) & cos(45\u00b0)<\/div>\n
F\u00fcr \\(\\displaystyle \\alpha =45{}^\\circ \\) sind im Einheitskreis beide Katheten gleich lang sind, man kann den \\(\\cos(\\alpha)\\) durch den \\(\\sin(\\alpha)\\) ersetzen (oder umgekehrt) und erh\u00e4lt<\/p>\n

\\(\\displaystyle {{\\sin }^{2}}(45{}^\\circ)+{{\\sin }^{2}}(45{}^\\circ )=1\\)
\n\\(\\displaystyle \\Rightarrow 2\\cdot {{\\sin }^{2}}(45{}^\\circ )=1\\)
\n\\(\\Rightarrow \\quad {{\\sin }^{2}}(45{}^\\circ )=\\frac{1}{2}\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sin (45{}^\\circ )=\\sqrt{{\\frac{1}{2}}}=\\frac{1}{{\\sqrt{2}}}=\\)
\n\\(\\displaystyle =\\frac{1}{{\\sqrt{2}}}\\cdot \\frac{{\\sqrt{2}}}{{\\sqrt{2}}}=\\)
\n\\(\\displaystyle =\\frac{{\\sqrt{2}}}{2}=\\cos (45{}^\\circ )\\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
<\/span>tan(45\u00b0)<\/div>\n
Schlie\u00dflich folgt noch aus<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\tan \\alpha =\\frac{{\\sin \\alpha }}{{\\cos \\alpha }}\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\tan (45{}^\\circ )=\\frac{{\\sin (45{}^\\circ )}}{{\\cos (45{}^\\circ )}}=\\frac{{\\frac{{\\sqrt{2}}}{2}}}{{\\frac{{\\sqrt{2}}}{2}}}=1\\)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

Wir haben nun alle wichtigen Werte im \\(I.\\, Quadranten\\) hergeleitet.<\/p>\n

\n\n\n\n\n\n\n
Winkel<\/th>\nsin<\/th>\ncos<\/th>\ntan<\/th>\n<\/tr>\n
30\u00b0<\/td>\n\\(\\frac{1}{2}\\)<\/td>\n\\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)<\/td>\n\\(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\)<\/td>\n<\/tr>\n
45\u00b0<\/td>\n\\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)<\/td>\n\\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)<\/td>\n\\(1\\)<\/td>\n<\/tr>\n
60\u00b0<\/td>\n\\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)<\/td>\n\\(\\frac{1}{2}\\)<\/td>\n\\(\\sqrt{3}\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

Die entsprechenden Werte in den anderen Quadranten ergeben sich durch Symmetrie und dem Komplenment\u00e4r- bzw. Supplement\u00e4rwinkelsatz. Eine Tabelle mit wichtigsten Winkeln kann hier heruntergeladen werden<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nachstehend wird gezeigt, wie man sich f\u00fcr h\u00e4ufig vorkommende Winkelwerte wie z.B. \\(30^{\\circ}, 45^{\\circ}, 60^{\\circ}\\) die entsprechenden Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte herleiten kann. Beginnen wir mit dem Sinus von \\(\\displaystyle 30{}^\\circ \\). Der \\(\\sin(30^{\\circ})\\) eignet sich sehr sch\u00f6n zur grafischen…<\/p>\n

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