{"id":2277,"date":"2016-10-16T16:08:27","date_gmt":"2016-10-16T14:08:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=2277"},"modified":"2022-07-06T13:57:40","modified_gmt":"2022-07-06T11:57:40","slug":"rueckwaerts-einschneiden","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/rueckwaerts-einschneiden\/","title":{"rendered":"R\u00fcckw\u00e4rts Einschneiden"},"content":{"rendered":"<p>In Vermessungsaufgaben ist es oftmals notwendig eine unbekannte Strecke aus bekannten Strecken und Winkeln zu berechnen. Beim Verfahren &#8222;<strong>R\u00fcckw\u00e4rts Einschneiden<\/strong>&#8220; m\u00f6chte man die L\u00e4nge einer <strong>Standlinie <\/strong>ermitteln, wenn diese aus irgendwelchen Gr\u00fcnden (keine Sicht) nicht direkt messbar ist. Man vermisst daher eine gegen\u00fcberliegende Strecke, und von der unbekannten Standlinie die Winkel zu den Endpunkten dieser gegen\u00fcberliegenden Strecke. Daraus kann die L\u00e4nge der Standlinie berechnet werden.<\/p>\n<div class=\"beispiel\">Beispiel<\/div>\n<div class=\"bsp_angabe\">\n<p>Von den Endpunkten der nicht direkt messbaren Standlinie \\(x\\) werden zwei Punkte \\(A,B\\), deren Entfernung \\(a=710\\,m\\)\u00a0betr\u00e4gt, anvisiert. Es werden dabei folgende Winkel gemessen:<\/p>\n<p>\\(\\delta_1=86,7^{\\circ}\\), \\(\\delta_2=35,1^{\\circ}\\), \\(\\gamma_1=52,5^{\\circ}\\), \\(\\gamma_2=114,2^{\\circ}\\)<\/p>\n<div id=\"attachment_2282\" style=\"width: 731px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/r\u00fcckw\u00e4rts_einschneiden_01.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-2282\" class=\"wp-image-2282 size-full\" src=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/r\u00fcckw\u00e4rts_einschneiden_01.png\" alt=\"R\u00fcckw\u00e4rts Einschneiden\" width=\"721\" height=\"641\" srcset=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/r\u00fcckw\u00e4rts_einschneiden_01.png 721w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/r\u00fcckw\u00e4rts_einschneiden_01-300x267.png 300w\" sizes=\"(max-width: 721px) 100vw, 721px\" \/><\/a><\/p>\n<p id=\"caption-attachment-2282\" class=\"wp-caption-text\">R\u00fcckw\u00e4rts Einschneiden<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Gesucht<\/strong>: Berechne die L\u00e4nge der unbekannten Standlinie \\(x\\).<\/p>\n<p><strong>Ben\u00f6gtigte Kenntnisse:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Gleichungen umformen<\/li>\n<li>Summensatz im Dreieck:<br \/>\n\\(\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^{\\circ}\\)<\/li>\n<li>Sinussatz und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"sp-wrap sp-wrap-default\">\n<div class=\"sp-head\" title=\"Erweitern\">\nL\u00f6sung\n<\/div>\n<div class=\"sp-body folded\">\n<p><a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/r\u00fcckw\u00e4rts_einschneiden_02.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2287\" src=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/r\u00fcckw\u00e4rts_einschneiden_02.png\" alt=\"Skizze - R\u00fcckw\u00e4rts Einschneiden\" width=\"721\" height=\"641\" srcset=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/r\u00fcckw\u00e4rts_einschneiden_02.png 721w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/r\u00fcckw\u00e4rts_einschneiden_02-300x267.png 300w\" sizes=\"(max-width: 721px) 100vw, 721px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Wir tun so, als w\u00e4re die Standlinie \\(x\\) bekannt und teilen die Figur in die beiden Dreiecke \\(\\triangle ACD\\) und \\(\\triangle BCD\\) auf.<br \/>\nAus dem Summensatz ergeben sich zun\u00e4chst die Winkel<\/p>\n<p>\\(\\triangle ACD\\): \\({{\\alpha }_{2}}=180{}^\\circ -{{\\delta }_{1}}-{{\\gamma }_{1}}=180{}^\\circ -86,7{}^\\circ -52,5{}^\\circ =40,8{}^\\circ \\)<\/p>\n<p>\\(\\triangle BCD\\): \\({{\\beta }_{2}}=180{}^\\circ -{{\\delta }_{2}}-{{\\gamma }_{2}}=180{}^\\circ -35,1{}^\\circ -114,2{}^\\circ =30,7{}^\\circ \\)<\/p>\n<p>Au\u00dferdem ist \\(\\varepsilon\\) gegeben durch<\/p>\n<p>\\(\\varepsilon ={{\\gamma }_{2}}-{{\\gamma }_{1}}=114,2{}^\\circ -52,5{}^\\circ =61,7{}^\\circ \\)<\/p>\n<p>Mit dem Sinussatz erh\u00e4lt man dann im \\(\\triangle BCD\\)<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\frac{b}{{\\sin {{\\delta }_{2}}}}=\\frac{x}{{\\sin {{\\beta }_{2}}}}\\quad \\Rightarrow \\quad b=\\frac{{x\\cdot \\sin {{\\delta }_{2}}}}{{\\sin {{\\beta }_{2}}}}\\)<\/p>\n<p>sowie im \\(\\triangle ACD\\)<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\frac{e}{{\\sin {{\\delta }_{1}}}}=\\frac{x}{{\\sin {{\\alpha }_{2}}}}\\quad \\Rightarrow \\quad e=\\frac{{x\\cdot \\sin {{\\delta }_{1}}}}{{\\sin {{\\alpha }_{2}}}}\\)<\/p>\n<p>Man beachte, dass die Seiten \\(b,e\\) unbekannt sind, da ja \\(x\\) unbekannt ist!<\/p>\n<p>Mit diesen Seiten \\(b,e\\) und dem eingeschlossenen Winkel \\(\\varepsilon\\) ergibt der Cosinussatz im \\(\\triangle ACB\\)<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{e}^{2}}-2\\cdot b\\cdot e\\cdot \\cos \\varepsilon \\)<\/p>\n<p>Einsetzen der der Seiten \\(b,e\\) in den Cosinussatz ergibt<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle {{a}^{2}}={{\\left( {\\frac{{x\\cdot \\sin {{\\delta }_{2}}}}{{\\sin {{\\beta }_{2}}}}} \\right)}^{2}}+{{\\left( {\\frac{{x\\cdot \\sin {{\\delta }_{1}}}}{{\\sin {{\\alpha }_{2}}}}} \\right)}^{2}}-2\\cdot \\left( {\\frac{{x\\cdot \\sin {{\\delta }_{2}}}}{{\\sin {{\\beta }_{2}}}}\\cdot \\frac{{x\\cdot \\sin {{\\delta }_{1}}}}{{\\sin {{\\alpha }_{2}}}}} \\right)\\cdot \\cos \\varepsilon \\)<\/p>\n<p>Die Quadrate ausgerechnet erh\u00e4lt man<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle {{a}^{2}}=\\frac{{{{x}^{2}}\\cdot {{{\\sin }}^{2}}{{\\delta }_{2}}}}{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\beta }_{2}}}}+\\frac{{{{x}^{2}}\\cdot {{{\\sin }}^{2}}{{\\delta }_{1}}}}{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\alpha }_{2}}}}-2\\cdot {{x}^{2}}\\cdot \\frac{{\\sin {{\\delta }_{2}}\\cdot \\sin {{\\delta }_{1}}}}{{\\sin {{\\beta }_{2}}\\cdot \\sin {{\\alpha }_{2}}}}\\cdot \\cos \\varepsilon \\)<\/p>\n<p>Nach dem Ausklammern von \\(x^2\\) ergibt sich<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle {{a}^{2}}={{x}^{2}}\\cdot \\left( {\\frac{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\delta }_{2}}}}{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\beta }_{2}}}}+\\frac{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\delta }_{1}}}}{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\alpha }_{2}}}}-2\\cdot \\frac{{\\sin {{\\delta }_{2}}\\cdot \\sin {{\\delta }_{1}}}}{{\\sin {{\\beta }_{2}}\\cdot \\sin {{\\alpha }_{2}}}}\\cdot \\cos \\varepsilon } \\right)\\)<\/p>\n<p>und damit<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle {{x}^{2}}=\\frac{{{{a}^{2}}}}{{\\left( {\\frac{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\delta }_{2}}}}{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\beta }_{2}}}}+\\frac{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\delta }_{1}}}}{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\alpha }_{2}}}}-2\\cdot \\frac{{\\sin {{\\delta }_{2}}\\cdot \\sin {{\\delta }_{1}}}}{{\\sin {{\\beta }_{2}}\\cdot \\sin {{\\alpha }_{2}}}}\\cdot \\cos \\varepsilon } \\right)}}\\)<\/p>\n<p>Sowohl \\(a\\) als auch alle Winkelwerte im Nenner sind bekannt. Zu beachten sind die <strong>Quadrate <\/strong>bei den Sinuswerten! Es ist fast unm\u00f6glich, diesen monstr\u00f6sen Ausdruck in einem St\u00fcck in den Taschenrechner einzugeben, ohne dabei einen Fehler zu machen&#8230;<\/p>\n<p>Wir berechnen die Br\u00fcche im Nenner einzeln:<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\frac{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\delta }_{2}}}}{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\beta }_{2}}}}=\\frac{{{{{\\sin }}^{2}}(35,1)}}{{{{{\\sin }}^{2}}(30,7)}}\\approx 1,2685\\)<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\frac{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\delta }_{1}}}}{{{{{\\sin }}^{2}}{{\\alpha }_{2}}}}=\\frac{{{{{\\sin }}^{2}}(86,7)}}{{{{{\\sin }}^{2}}(40,8)}}\\approx 2,3344\\)<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle \\frac{{\\sin {{\\delta }_{2}}\\cdot \\sin {{\\delta }_{1}}}}{{\\sin {{\\beta }_{2}}\\cdot \\sin {{\\alpha }_{2}}}}=\\frac{{\\sin (35,1)\\cdot \\sin (86,7)}}{{\\sin (30,7)\\cdot \\sin (40,8)}}\\approx 1,7208\\)<\/p>\n<p>Damit ergibt sich<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle x^2=\\frac{(710\\,m)^2}{\\left( {1,2685+2,3344-2\\cdot 1,7208\\cdot \\cos (61,7)} \\right)}=255722,4\\,m^2\\)<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle x=\\sqrt{255722,4\\,m^2}=505,7\\,m\\)<\/p>\n<p>Die L\u00e4nge der Standlinie betr\u00e4gt \\(x=505,7\\,m\\)<\/p>\n<div class=\"spdiv\">[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In Vermessungsaufgaben ist es oftmals notwendig eine unbekannte Strecke aus bekannten Strecken und Winkeln zu berechnen. 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