{"id":2156,"date":"2016-10-16T02:40:59","date_gmt":"2016-10-16T00:40:59","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=2156"},"modified":"2016-10-19T14:32:51","modified_gmt":"2016-10-19T12:32:51","slug":"flaeche-von-grundstueck","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/flaeche-von-grundstueck\/","title":{"rendered":"Fl\u00e4che von Grundst\u00fcck"},"content":{"rendered":"<div class=\"beispiel\">Beispiel<\/div>\n<div class=\"bsp_angabe\">\n<p>An einer Stra\u00dfenkreuzung \\(A\\) liegt ein Grundst\u00fcck \\(ABCD\\), dessen Stra\u00dfenl\u00e4ngen \\(a=\\overline{{AB}}=65,8\\,m\\) und \\(d=\\overline{{AD}}=46\\,m\\) betragen. Die Grenzlinien an den Stra\u00dfen schneiden sich unter einem Winkel von \\(\\alpha =112,53{}^\\circ \\). Man ermittelte von \\(B\\) und \\(D\\) aus die Winkel zum vierten Punkt \\(C\\) mit \\(\\beta =\\angle CBA=86,43{}^\\circ\\) und \\(\\delta = \\angle ADC =75,45{}^\\circ\\)<\/p>\n<p><strong>Gesucht<\/strong>: Welchen Fl\u00e4cheninhalt hat das Grundst\u00fcck?<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_angabe.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2167\" src=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_angabe.png\" alt=\"Skizze - Fl\u00e4che von Grundst\u00fcck\" width=\"898\" height=\"639\" srcset=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_angabe.png 898w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_angabe-300x213.png 300w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_angabe-768x546.png 768w\" sizes=\"(max-width: 898px) 100vw, 898px\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Ben\u00f6gtigte Kenntnisse:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Gleichungen umformen<\/li>\n<li>Summensatz im Dreieck:<br \/>\n\\(\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^{\\circ}\\)<\/li>\n<li>Summensatz im Viereck:<br \/>\n\\(\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta= 360^{\\circ}\\)<\/li>\n<li>Sinus des Supplement\u00e4rwinkels<\/li>\n<li>Trigonometrische Fl\u00e4chenformel im Dreieck<br \/>\n\\(A=\\frac{{c\\cdot {{h}_{c}}}}{2}=\\frac{{c\\cdot b\\cdot \\sin \\alpha }}{2}=\\frac{{c\\cdot a\\cdot \\sin \\beta }}{2}\\)<\/li>\n<li>Sinussatz und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"sp-wrap sp-wrap-default\">\n<div class=\"sp-head\" title=\"Erweitern\">\nL\u00f6sung\n<\/div>\n<div class=\"sp-body folded\">\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_loesung.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignright size-full wp-image-2188\" src=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_loesung.png\" alt=\"Fl\u00e4che von Grundst\u00fcck - Gr\u00f6\u00dfen zur Berechnung\" width=\"1115\" height=\"638\" srcset=\"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_loesung.png 1115w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_loesung-300x172.png 300w, https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-content\/uploads\/2016\/10\/strassenkreuzung_flaeche_grundstueck_loesung-768x439.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1115px) 100vw, 1115px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360\u00b0. Daher folgt f\u00fcr \\(\\gamma\\)<\/p>\n<p>\\(\\gamma =360{}^\\circ -\\alpha -\\beta -\\delta =360{}^\\circ -112,53{}^\\circ -86,43{}^\\circ -75,45{}^\\circ =85,59{}^\\circ \\)<\/p>\n<p>Die Diagonale \\(f\\) teilt das Viereck in zwei Dreiecke. Mit den Seiten \\(a\\) und \\(d\\) sowie dem eingeschlossenen Winkel \\(\\alpha\\) berechnet sich \\(f\\) mit dem Cosinussatz zu<\/p>\n<p>\\(\\begin{array}{}f^{2}=a^{2}+d^{2}-2\\cdot a\\cdot d\\cdot \\cos (\\alpha )={{65,8}^{2}}+{{46}^{2}}-2\\cdot 65,8\\cdot 46\\cdot \\cos (112,53)=8765,18\\\\f=\\sqrt{{8765,18}}=93,62\\,m\\end{array}\\)<\/p>\n<p>Die Fl\u00e4che \\(A_1\\) des unteren Dreiecks l\u00e4sst sich mit der trigonometrischen Fl\u00e4chenformel sofort berechnen mit<\/p>\n<p>\\({{A}_{1}}=\\frac{{a\\cdot {{h}_{a}}}}{2}=\\frac{{a\\cdot d\\cdot \\sin \\alpha }}{2}=\\frac{{65,8\\cdot 46\\cdot \\sin (112,53)}}{2}=1397,9\\,{{m}^{2}}\\)<\/p>\n<p><strong>Anmerkung<\/strong>: Hier wurde die Tatsache benutzt, dass der Sinus des Winkels \\(\\alpha\\) gleich dem Sinus des Supplement\u00e4rwinkel von\u00a0\\(\\alpha\\) ist: \\(\\sin \\alpha = \\sin (180^{\\circ}-\\alpha)\\)<\/p>\n<p>Alternativ kann auch die Fl\u00e4chenformel des Heron verwendet werden, da nun alle Seiten \\(a,d,f\\) bekannt sind. Der halbe Umfang lautet<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle {{s}_{1}}=\\frac{{a+d+f}}{2}=\\frac{{65,8+46+93,62}}{2}=102,71\\,m\\)<\/p>\n<p>Damit ergibt sich<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle {{A}_{1}}=\\sqrt{{{{s}_{1}}\\cdot ({{s}_{1}}-a)\\cdot ({{s}_{1}}-b)\\cdot ({{s}_{1}}-f)}}=\\)<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle =\\sqrt{{102,71\\cdot (102,71-65,8)\\cdot (102,71-46)\\cdot (102,71-93,62)}}=1397,9\\,{{m}^{2}}\\)<\/p>\n<p>Die Fl\u00e4che des oberen Dreiecks \\(A_2\\)\u00a0ist komplizierter, wir ben\u00f6tigen noch eine Seite des oberen Dreiecks. Der Sinutzsatz liefert dort<\/p>\n<p>\\(\\frac{c}{{\\sin {{\\beta }_{2}}}}=\\frac{f}{{\\sin \\gamma }}\\)<\/p>\n<p>Aus dem unteren Dreieck \\(A_1\\) folgt mit dem Sinussatz<\/p>\n<p>\\(\\frac{a}{{\\sin {{\\delta }_{1}}}}=\\frac{f}{{\\sin \\alpha }}\\quad \\Rightarrow \\quad \\sin {{\\delta }_{1}}=\\frac{{a\\cdot \\sin \\alpha }}{f}\\quad \\Rightarrow \\quad {{\\delta }_{1}}={{\\sin }^{{-1}}}\\left( {\\frac{{65,8\\cdot \\sin (112,53)}}{{93,62}}} \\right)=40,48{}^\\circ \\)<\/p>\n<p>Daraus ergibt sich \\({{\\delta }_{2}}=\\delta -{{\\delta }_{1}}=75,45{}^\\circ -40,48{}^\\circ =34,97{}^\\circ \\)<\/p>\n<p>und mit dem Summensatz im oberen Dreieck<\/p>\n<p>\\({{\\beta }_{2}}=180{}^\\circ -\\gamma -{{\\delta }_{2}}=180{}^\\circ -85,59{}^\\circ -34,97{}^\\circ =59,44{}^\\circ \\) und damit<\/p>\n<p>\\(c=\\frac{{f\\cdot \\sin {{\\beta }_{2}}}}{{\\sin \\gamma }}=\\frac{{93,62\\cdot \\sin (59,44)}}{{\\sin (85,59)}}=80,86\\,m\\)<\/p>\n<p>Nun kann man mit der Diagonale \\(f\\) und der H\u00f6he \\(h_f\\) wieder die trigonometrische Fl\u00e4chenformel anwenden.<\/p>\n<p>\\({{h}_{f}}=c\\cdot \\sin {{\\delta }_{2}}\\)<\/p>\n<p>\\({{A}_{2}}=\\frac{{f\\cdot {{h}_{f}}}}{2}=\\frac{{f\\cdot c\\cdot \\sin {{\\delta }_{2}}}}{2}=\\frac{{93,62\\cdot 80,86\\cdot \\sin (34,97)}}{2}=2169,4\\,{{m}^{2}}\\)<\/p>\n<p>Die Fl\u00e4che des gesamten Grundst\u00fccks betr\u00e4gt damit<\/p>\n<p>\\({{A}_{{ges}}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}}=1397,9\\,{{m}^{2}}+2169,4\\,{{m}^{2}}=3567,3\\,{{m}^{2}}\\)<\/p>\n<div class=\"spdiv\">[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Beispiel An einer Stra\u00dfenkreuzung \\(A\\) liegt ein Grundst\u00fcck \\(ABCD\\), dessen Stra\u00dfenl\u00e4ngen \\(a=\\overline{{AB}}=65,8\\,m\\) und \\(d=\\overline{{AD}}=46\\,m\\) betragen. 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