{"id":1297,"date":"2015-10-28T13:05:32","date_gmt":"2015-10-28T12:05:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=1297"},"modified":"2015-10-29T20:31:22","modified_gmt":"2015-10-29T19:31:22","slug":"quadratische-gleichungen-loesen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/quadratische-gleichungen-loesen\/","title":{"rendered":"Quadratische Gleichungen l\u00f6sen"},"content":{"rendered":"

Einfache lineare Gleichungen<\/a> kennt man noch aus der Unterstufe. Meistens kommt darin ein unbekannter Faktor \\(\\displaystyle x\\) vor, und man sollte die Gleichung „aufl\u00f6sen“, um an den Wert von diesem \\(\\displaystyle x\\) zu kommen.<\/p>\n

\\(\\displaystyle 4x-7=5\\)<\/p>\n

Man bringt die 7 auf die rechte Seite, indem man auf beiden Seiten \\(\\displaystyle +7\\) addiert:<\/p>\n

\\(\\displaystyle 4x=12\\)<\/p>\n

Dann dividiert man durch den Faktor \\(\\displaystyle 4\\), denn man will ja \\(\\displaystyle x\\) berechnen und nicht \\(\\displaystyle 4\\cdot x\\) und erh\u00e4lt<\/p>\n

\\(\\displaystyle x=3\\)<\/p>\n

So weit, so einfach. Was tut man, wenn in der Gleichung das \\(\\displaystyle x\\) mit der 2. Potenz, also quadratisch auftaucht?<\/p>\n

Als Beispiel: \\(\\displaystyle 4{{x}^{2}}-7x=2\\)<\/p>\n

Nun kann man nicht mehr mit einfachem Umgruppieren das \\(\\displaystyle x\\) ermitteln, denn es kommt in der Gleichung als \\(\\displaystyle x^2\\) und als \\(\\displaystyle x\\) vor, neben ein paar konstanten Zahlen. Man kann aber zumindest die Gleichung so umformen, dass auf der rechten Seite eine Null steht:<\/p>\n

\\(\\begin{align}4{{x}^{2}}-7x & =2\\quad \\quad |\\,-2\\\\4{{x}^{2}}-7x-2 & =0\\end{align}\\)<\/p>\n

Was hier steht nennt man eine quadratische Gleichung<\/strong>. Die h\u00f6chste Potenz, mit der \\(\\displaystyle x\\) vorkommt, ist die 2, also \\(\\displaystyle x^2\\). Weiters kommt \\(\\displaystyle x\\) noch in der 1. Potenz vor, also als \\(\\displaystyle x\\) selbst, der Rest sind konstante Zahlen, und auf der rechten Seite der Gleichung steht die \\(\\displaystyle 0\\).<\/p>\n

Man kann nun verschiedene Werte f\u00fcr\u00a0\\(\\displaystyle x\\) in die Gleichung einsetzen und eine Wertetabelle<\/strong> erstellen:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
x<\/strong><\/th>\nWert<\/strong><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
-2<\/td>\n28<\/td>\n<\/tr>\n
-1<\/td>\n9<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n-2<\/td>\n<\/tr>\n
1<\/td>\n-5<\/td>\n<\/tr>\n
2<\/td>\n0<\/td>\n<\/tr>\n
3<\/td>\n13<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

<\/p>\n

\"Quadratische<\/a>Wenn man diese Punkte in einem x-y-Koordinatensystem eintr\u00e4gt, ergibt sich die nebenstehende Kurve. Diese Kurvenform nennt man eine Parabel<\/strong>, sie ist typisch f\u00fcr quadratische Gleichungen.<\/p>\n

Wenn wir uns die quadratische Gleichung genau ansehen, steht auf der rechten Seite eine Null. Das bedeutet, wenn wir die Gleichung f\u00fcr \\(\\displaystyle x\\) l\u00f6sen, erhalten wir jene Punkte auf der Kurve, die auf der x-Achse liegen, also keinen senkrechten Abstand (y-Wert = 0) besitzen. Diese Punkte nennt man die Nullstellen<\/strong> der quadratischen Gleichung. In unserem Fall schneidet die Parabel die (waagrechte) x-Achse zweimal, also erwarten wir, das es zwei x-Werte geben wird, bei denen dies der Fall ist, also zwei Nullstellen.<\/a><\/p>\n

Das L\u00f6sen<\/em> einer quadratischen Gleichung bedeutet also, dass man die Nullstellen<\/em> dieser Gleichung sucht.<\/p><\/blockquote>\n

L\u00f6sung der quadratischen Gleichung<\/h2>\n

Nat\u00fcrlich haben sich schon viele Mathematiker vor Jahrhunderten dar\u00fcber den Kopf zerbrochen, wie man so ein Problem l\u00f6sen kann. Man hat zwei Standard-Formeln entwickelt, die nur mit den Zahlen in der Gleichung \u2013 den Koeffizienten<\/strong> \u2013 auskommen. Eine dieser Formeln lautet<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\large{{{x}_{{1,2}}}=\\frac{{-b\\pm \\sqrt{{{{b}^{2}}-4\\cdot a\\cdot c}}}}{{2\\cdot a}}}\\)<\/p>\n

Man bezeichnet diese Formel oft als „Mitternachtsformel“<\/strong>. In dieser Formel bezeichnen die Faktoren \\(\\displaystyle a,\\,b,\\,c\\) die Zahlen, die in der Gleichung vorkommen, und zwar ist<\/p>\n