Vor allem in technischen Bereichen ist es sehr oft notwendig, gegebene Formeln oder auch Formeln, die man aus einer Textangabe berechnet hat, nach einer bestimmtem Unbekannten umzustellen.<\/p>\n
Am h\u00e4ufigsten kommt wohl der erstgenannte Fall vor: Man hat eine bestimmte Formel aus einer Formelsammlung entnommen und muss nun die gegebenen Werte in die Formel einsetzen. Dabei ist aber nicht immer derselbe Wert gesucht, oft muss nach dem gesuchten Teil „umgeformt“ oder „umgestellt“ werden.<\/p>\n
Ein sehr einfaches Beispiel w\u00e4re das Ohm’sche Gesetz:<\/p>\n
Spannung = Widerstand \u00d7 Stromst\u00e4rke<\/p>\n
\\(U=R\\cdot I\\)<\/p>\n
Falls die Spannung \\(U\\) gesucht ist und die anderen Werte gegeben sind, ist man bereits fertig, die Werte f\u00fcr den Widerstand \\(R\\) und die Stromst\u00e4rke \\(I\\)\u00a0 k\u00f6nnen eingesetzt werden. Falls jedoch zu einer gegebenen Spannung \\(U\\) und einer Stromst\u00e4rke \\(I\\) der Widerstand \\(R\\) gesucht wird, muss die Formel nach dieser Gr\u00f6\u00dfe umgestellt werden.<\/p>\n
Dabei geht man immer nach dem selben Prinzip vor: Bei einer Gleichung (oder Formel) steht in der Mitte immer das Gleichheitszeichen \\(=\\). Das bedeutet ja nichts anderes als: auf der linken Seite steht etwas, dass dem auf der rechten Seite gleich ist<\/strong>.<\/p>\n \\(\\large{\\underbrace{ \\text{Linke Seite} = \\text{Rechte Seite}}_{\\text{Gleichung}} }\\)<\/p>\n Man muss also auf beiden Seiten der Gleichung<\/strong> dieselben<\/strong> Rechenoperationen anwenden, um die gesuchte Gr\u00f6\u00dfe schlie\u00dflich alleine auf eine Seite zu bringen. Und das geht nat\u00fcrlich nicht nur mit reinen Zahlen, sondern auch mit abstrakten Rechengr\u00f6\u00dfen wie Buchstaben usw.<\/p>\n Im obigen Beispiel (Ohm’sches Gesetz) ist das noch einfach:<\/p>\n \\(\\begin{align}U & =R\\cdot I\\quad \\quad |\\,:I \\\\ \\frac{U}{I} & =R\\cdot \\underbrace{{\\frac{I}{I}}}_{{=\\,1}}\\\\R & =\\frac{U}{I}\\end{align}\\)<\/p>\n Um das \\(R\\) alleine auf eine Seite zu bringen, wird auf beiden Seiten der Gleichung durch die Stromst\u00e4rke \\(I\\) dividiert. Dieser Rechenschritt wurde hier rechts neben der Formel notiert. Auf der linken Seite erhalten wir \\(\\frac{U}{I}\\), und auf der rechten Seite f\u00e4llt nun das \\(I\\) weg, weil \\(\\cdot I\\) und \\(:I\\) einander aufheben (\\(\\frac{I}{I} = 1\\)). Da wir auf beiden Seiten dasselbe berechnet haben, \u00e4ndert sich die Aussage der Gleichung nicht, und wir erhalten f\u00fcr den Widerstand<\/p>\n \\(R=\\frac{U}{I}\\)<\/p>\n Nat\u00fcrlich darf man die Formel umdrehen, d.h. die Seiten vertauschen. Sicherlich ist dieses Beispeil sehr einfach. Bei komlexeren Formeln muss man aber durchaus aufpassen, um immer konsequent auf beiden Seiten der Gleichung die selbe Rechenoperation durchzuf\u00fchren und dabei keinen Fehler zu machen.<\/p>\n Betrachten wir die Formel f\u00fcr die Kreisfl\u00e4che. Gegeben sei die Fl\u00e4che \\(A\\) eines Kreises, und man m\u00f6chte den Durchmesser \\(d\\) ermitteln. Dazu m\u00fcssen wir die bekannte Formel \\(\\displaystyle A=\\frac{{{{d}^{2}}\\pi }}{4}\\) nach dem Durchmesser \\(d\\) umstellen:<\/p>\n \\(\\begin{align}A & =\\frac{{{{d}^{2}}\\pi }}{4}\\quad \\quad |\\,\\cdot 4\\\\4A & ={{d}^{2}}\\pi \\quad \\quad \\,\\, |\\,:\\pi \\\\\\frac{{4A}}{\\pi } & ={{d}^{2}}\\quad \\quad \\quad |\\sqrt{\\quad}\\\\d & =\\sqrt{{\\frac{{4A}}{\\pi }}}\\end{align}\\)<\/p>\n In der ersten Zeile haben wir mit dem Faktor \\(4\\) multipliziert, in der zweiten Zeile durch die Kreiszahl \\(\\pi\\) dividiert. \u00dcbrig bleibt auf der rechten Seite der Durchmesser zum Quadrat, also zieht man auf beiden Seiten noch die Quadratwurzel, und der Durchmesser \\(d\\) ist somit berechnet. Dass die Quadratwurzel eigentlich immer zwei L\u00f6sungen liefert (\\(\\displaystyle \\pm \\) den Wert), ist hier ohne Bedeutung, da es keinen negativen Durchmesser gibt.<\/p>\n Ein Trick, der beim Umstellen von Formeln immer wieder vorkommt, ist das „Herausheben“ oder „Ausklammern“. Ist ein Faktor gemeinsam in mehreren Termen vorhanden, kann er als multiplikativer Faktor herausgehoben werden.<\/p>\n \\(\\displaystyle \\begin{align}a\\cdot b-c\\cdot b & =d\\\\b\\cdot (a-c) & =d\\end{align}\\)<\/p>\n Terme, die mit Klammern zusammengefasst sind, d\u00fcrfen beim Umstellen als „gemeinsamer Wert“ betrachtet werden:<\/p>\n \\(\\displaystyle \\begin{align}b\\cdot \\left( {a-c} \\right) & =d\\\\b & =\\frac{d}{{\\left( {a-c} \\right)}}\\end{align}\\)<\/p>\n Hier wurde durch den Term \\((a-c)\\) dividiert.<\/p>\n Bei Br\u00fcchen ist es oft ganz n\u00fctzlich, mit dem Kehrwert<\/strong> zu rechnen. Das geht aber nur, wenn auf beiden Seiten der Gleichung nur mehr ein Bruch<\/strong> steht!<\/p>\n Bei sowas wie<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{1}{{a\\cdot b}}=\\frac{1}{c}\\)<\/p>\n kann sofort auf beiden Seiten der Kehrwert gebildet werden, d.h. Z\u00e4hler und Nenner k\u00f6nnen „vertauscht“ werden:<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{1}{{a\\cdot b}}=\\frac{1}{c}\\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{{a\\cdot b}}{1}=\\frac{c}{1}\\quad \\Rightarrow \\quad a\\cdot b=c\\)<\/p>\n Bei Summen<\/strong> muss man aber aufpassen, z.B.<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{a}{x}+\\frac{b}{y}=\\frac{1}{c}\\)<\/p>\n Will man hier z.B. das \\(\\displaystyle x\\) berechnen, kann man so vorgehen:<\/p>\n \\(\\begin{align}{}\\frac{a}{x}+\\frac{b}{y} & =\\frac{1}{c}\\\\ \\frac{a}{x} & =\\frac{1}{c}-\\frac{b}{y}\\end{align} \\)<\/p>\n Jetzt muss die Summe auf der rechten Seite auf den selben Nenner gebracht werden:<\/p>\n \\(\\displaystyle \\begin{align}{}\\frac{a}{x}&=\\frac{y}{{c\\cdot y}}-\\frac{{b\\cdot c}}{{c\\cdot y}}\\\\\\frac{a}{x}&=\\frac{{y-b\\cdot c}}{{c\\cdot y}}\\end{align}\\)<\/p>\n Nun steht auf beiden Seiten nur mehr ein<\/strong> Bruch, es kann nun der Kehrwert gebildet werden:<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{x}{a}=\\frac{{c\\cdot y}}{{y-b\\cdot c}}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle x=\\frac{{a\\cdot c\\cdot y}}{{y-b\\cdot c}}\\)<\/p>\n Betrachten wir die fiktive Formel<\/p>\n \\(\\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \\right)=\\frac{{3p}}{{1-q}}\\), bei der man nun \\(q\\) ermitteln muss.<\/p>\n Man k\u00f6nnte nun auf beiden Seiten mit dem Nenner der rechten Seite \\((1-q)\\) multiplizieren<\/p>\n \\(\\displaystyle \\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \\right)\\cdot \\left( {1-q} \\right)=3p\\)<\/p>\n Jetzt m\u00fcsste man auf der linken Seite die Klammern ausmultiplizieren und alle Terme, in denen kein \\(q\\) vorkommt, auf die rechte Seite bringen:<\/p>\n \\(\\displaystyle {{u}^{2}}+{{v}^{2}}-{{u}^{2}}\\cdot q-{{v}^{2}}\\cdot q=3p\\quad \\quad |\\,-{{u}^{2}}\\,\\,|\\,-{{v}^{2}}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle -{{u}^{2}}\\cdot q-{{v}^{2}}\\cdot q=3p-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}\\)<\/p>\n Jetzt kann man links das \\(q\\) als gemeinsamen Faktor herausheben und dann durch die entstandene Klammer dividieren<\/p>\n \\(\\displaystyle q\\cdot \\left( {-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}} \\right)=3p-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}\\quad \\quad |\\,:\\left( {-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}} \\right)\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle q=\\frac{{3p-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}}}{{\\left( {-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}} \\right)}}\\)<\/p>\n Das ist aber alles viel zu kompliziert! Man kann hier am Beginn auf beiden Seiten der Gleichung sofort den Kehrwert hinschreiben (auf beiden Seiten steht nur ein<\/strong> Bruch). Auf der linken Seite kann man sich ja im Nenner eine \\(1\\) notieren:<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{{\\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \\right)}}{1}=\\frac{{3p}}{{1-q}}\\)<\/p>\n Der Kehrwert sieht dann so aus:<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{1}{{\\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \\right)}}=\\frac{{1-q}}{{3p}}\\)<\/p>\n Wir haben auf beiden Seiten den Kehrwert gebildet, und nun steht rechts das gesuchte \\(q\\) im Z\u00e4hler des Bruches. Wir mutiplizieren auf beiden Seiten mit \\(3p\\) und erhalten<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{{3p}}{{\\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \\right)}}=1-q\\)<\/p>\n Wir bringen das \\(q\\) auf die linke Seite und die gesamte linke Seite durch Abziehen nach rechts<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{{3p}}{{\\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \\right)}}=1-q\\quad \\quad |\\,+q\\quad |\\,-\\frac{{3p}}{{\\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \\right)}}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle q=1-\\frac{{3p}}{{\\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \\right)}}\\)<\/p>\n Wir erhalten das Ergebnis schneller und auch sch\u00f6ner ;)<\/p>\n Nachstehend findet man ein paar Beispiele zum L\u00f6sen von Gleichungen nach einem gesuchten Wert. Bei allen Beispielen ist eine Schritt-f\u00fcr-Schritt L\u00f6sung angegeben. Man versuche selbst, die L\u00f6sungen zu finden, bevor man auf „L\u00f6sung“ klickt!<\/p>\n Berechne die gesuchte Variable!<\/p>\n \\(4r(1-d)-2d(1+r)=5r\\quad \\quad \\quad d=?\\)<\/p>\n<\/div>\n \\(4r(1-d)-2d(1+r)=5r\\)<\/p>\n Wir multiplizieren zuerst die Klammern aus.<\/p>\n \\(\\displaystyle 4r-4rd-2d-2rd=5r\\)<\/p>\n Auf der linken Seite k\u00f6nnen wir \\(\\displaystyle -4rd\\) und \\(\\displaystyle -2rd\\) zusammenfassen.<\/p>\n \\(\\displaystyle 4r-6rd-2d=5r\\)<\/p>\n Wir bringen die \\(\\displaystyle 4r\\) nach rechts, indem wir sie abziehen.<\/p>\n \\(\\displaystyle -6rd-2d=r\\)<\/p>\n Auf der linken Seite k\u00f6nnen wir den Faktor \\(\\displaystyle 2\\cdot d\\) herausheben. Am besten heben wir gleich \\(\\displaystyle -2\\cdot d\\) heraus<\/p>\n \\(\\displaystyle -2d\\left( {3r+1} \\right)=r\\)<\/p>\n Jetzt k\u00f6nnen wir durch \\(\\displaystyle -2\\) bzw. \\(\\displaystyle \\left( {3r+1} \\right)\\) dividieren<\/p>\n \\(\\displaystyle d=-\\frac{r}{{2\\left( {3r+1} \\right)}}\\)<\/p>\n Berechne die gesuchte Variable!<\/p>\n \\(\\displaystyle {{\\left( {2r-4} \\right)}^{2}}-4\\left( {r+2} \\right)=4\\left( {{{r}^{2}}-{{x}^{2}}} \\right)\\quad \\quad \\quad r=?\\)<\/p>\n<\/div>\n \\(\\displaystyle {{\\left( {2r-4} \\right)}^{2}}-4\\left( {r+2} \\right)=4\\left( {{{r}^{2}}-{{x}^{2}}} \\right)\\)<\/p>\n Zun\u00e4chst sieht es so aus, als ob die Gleichung gar nicht linear w\u00e4re, da wir ein \\(r^2\\) sehen. Manchmal heben sich solche Terme aber weg, wenn man erst einmal zu rechnen beginnt….<\/p>\n Wir sehen zun\u00e4chst ganz links ein Binom<\/strong> der Form \\((a-b)^2\\) und wissen, dass \\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\\) ist.<\/p>\n Das \\(a\\) ist hier das \\(2r\\) und das das \\(b\\) ist die \\(4\\).<\/p>\n \\(\\displaystyle {{\\left( {2r-4} \\right)}^{2}}=\\left( {{{{\\left( {2r} \\right)}}^{2}}-2\\cdot 2r\\cdot 4+{{4}^{2}}} \\right)=4{{r}^{2}}-16r+16\\)<\/p>\n Alle anderen Klammer kann man normal ausmultiplizieren, und wir erhalten<\/p>\n \\(\\displaystyle 4{{r}^{2}}-16r+16-\\left( {4r+8} \\right)=4{{r}^{2}}-4{{x}^{2}}\\)<\/p>\n Wir sehen, dass auf beiden Seiten der Gleichung \\(4r^2\\) vorkommt, also f\u00e4llt das schon mal weg, wir k\u00f6nnen ja auf beiden Seiten \\(-4r^2\\) rechnen. Vor der Klammer auf der linken Seite m\u00fcssen wir das Minus ber\u00fccksichtigen, also<\/p>\n \\(\\displaystyle \\bcancel{{4{{r}^{2}}}}-16r+16-\\left( {4r+8} \\right)=\\bcancel{{4{{r}^{2}}}}-4{{x}^{2}}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle -16r+16-4r-8=-4{{x}^{2}}\\)<\/p>\n Wir fassen auf der linken Seite die Terme mit \\(\\displaystyle r\\) sowie die Zahlen zusammen.<\/p>\n \\(\\displaystyle -20r+8=-4{{x}^{2}}\\)<\/p>\n Jetzt k\u00f6nnen wir die gesamte Gleichung durch \\(\\displaystyle 4\\) dividieren, da alle Faktoren durch \\(\\displaystyle 4\\) teilbar sind.<\/p>\n \\(\\displaystyle -5r+2=-{{x}^{2}}\\)<\/p>\n Die \\(\\displaystyle 2\\) wird nach rechts gebracht.<\/p>\n \\(\\displaystyle -5r=-{{x}^{2}}-2\\)<\/p>\n Vor allen Termen der Gleichung steht nun ein Minus, also k\u00f6nnen wir die gesamte Gleichung mit \\(\\displaystyle -1\\) multiplizieren.<\/p>\n \\(\\displaystyle 5r={{x}^{2}}+2\\)<\/p>\n Und schlie\u00dflich dividieren wir durch \\(\\displaystyle 5\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle r=\\frac{{{{x}^{2}}+2}}{5}\\)<\/p>\n Berechne die gesuchte Variable!<\/p>\n \\(\\displaystyle w=\\frac{1}{2}v\\cdot \\left( {1-\\frac{{1+k}}{{1+\\tfrac{a}{b}}}} \\right)\\quad\\quad b=?\\)<\/p>\n<\/div>\n Zun\u00e4chst mal multiplizieren wir auf der rechten Seite die Klammer aus.<\/p>\n \\(\\displaystyle w=\\frac{v}{2}-\\frac{v}{2}\\cdot \\frac{{1+k}}{{1+\\tfrac{a}{b}}}\\)<\/p>\n Nun bringen wir den negativen Term auf der rechten Seite nach links und das \\(w\\) von der linken Seite nach rechts.<\/p>\n \\(\\displaystyle +\\frac{v}{2}\\cdot \\frac{{1+k}}{{1+\\tfrac{a}{b}}}=\\frac{v}{2}-w\\)<\/p>\n Auf der rechten Seite bringt man auf den selben Nenner.<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{{v\\cdot \\left( {1+k} \\right)}}{{2\\cdot \\left( {1+\\tfrac{a}{b}} \\right)}}=\\frac{{v-2w}}{2}\\)<\/p>\n Man sieht, dass die \\(2\\) auf beiden Seiten im Nenner vorkommt, also k\u00fcrzt sie sich weg.<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{{v\\cdot \\left( {1+k} \\right)}}{{1+\\tfrac{a}{b}}}=v-2w\\)<\/p>\n Das gesuchte \\(b\\) steht nun auf der linken Seite im Nenner. Wir bilden auf beiden Seiten den Kehrwert der Terme, vertauschen also Z\u00e4hler und Nenner (Der Z\u00e4hler auf der rechten Seite wird dann eine \\(1\\)).<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{{1+\\tfrac{a}{b}}}{{v\\cdot \\left( {1+k} \\right)}}=\\frac{1}{{v-2w}}\\)<\/p>\n Wir multiplizieren mit dem Nenner der linken Seite und erhalten<\/p>\n \\(\\displaystyle 1+\\frac{a}{b}=\\frac{{v\\cdot \\left( {1+k} \\right)}}{{v-2w}}\\)<\/p>\n Jetzt bringen wir die \\(1\\) von links nach rechts.<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{a}{b}=\\frac{{v\\cdot \\left( {1+k} \\right)}}{{v-2w}}-1\\)<\/p>\n Damit man den Trick mit dem Kehrwert nochmal machen kann, m\u00fcssen wir auf der rechten Seite alles auf den selben Nenner bringen.<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{a}{b}=\\frac{{v\\cdot \\left( {1+k} \\right)}}{{v-2w}}-\\frac{{v-2w}}{{v-2w}}=\\frac{{v\\cdot \\left( {1+k} \\right)-\\left( {v-2w} \\right)}}{{v-2w}}\\)<\/p>\n Jetzt bilden wir wieder auf beiden Seiten den Kehrwert der Br\u00fcche.<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{b}{a}=\\frac{{v-2w}}{{v\\cdot \\left( {1+k} \\right)-\\left( {v-2w} \\right)}}\\)<\/p>\n Wir multiplizieren die Gleichung mit \\(a\\) und rechnen auf der rechten Seite noch den Nenner aus.<\/p>\n \\(\\displaystyle b=a\\cdot \\left( {\\frac{{v-2w}}{{v+v\\,k-v+2w}}} \\right)\\)<\/p>\n Ein \\(v\\) im Nenner f\u00e4llt weg und wir erhalten<\/p>\n \\(\\displaystyle b=a\\cdot \\left( {\\frac{{v-2w}}{{v\\,k+2w}}} \\right)\\)<\/p>\n Vor allem in technischen Bereichen ist es sehr oft notwendig, gegebene Formeln oder auch Formeln, die man aus einer Textangabe berechnet hat, nach einer bestimmtem Unbekannten umzustellen. Am h\u00e4ufigsten kommt wohl der erstgenannte Fall vor: Man hat eine bestimmte Formel…<\/p>\n„Herausheben“ bzw. „Ausklammern“<\/h3>\n
Rechnen mit dem „Kehrwert“<\/h3>\n
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