{"id":111,"date":"2015-02-25T11:35:26","date_gmt":"2015-02-25T10:35:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/?page_id=111"},"modified":"2016-07-11T15:48:09","modified_gmt":"2016-07-11T13:48:09","slug":"faktorisierung-von-quadratischen-funktionen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/faktorisierung-von-quadratischen-funktionen\/","title":{"rendered":"Faktorisierung von quadratischen Funktionen"},"content":{"rendered":"

Manchmal kann bzw. muss man quadratische Funktionen „faktorisieren“. Was bedeutet das?
\nDa hei\u00dft man stellt die Frage: „Kann man diese Funktion als Produkt zweier Klammern schreiben?<\/em>„, in der Form<\/p>\n

\\(\\definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \\) \\((x\\pm…) \\cdot (x\\pm…)\\) ?<\/p>\n

Diese Bererchnung wird auch als Linearfaktor-Zerlegung<\/em> bezeichnet. Durch diese bekommt man auch die Nullstellen der Funktion.
\nWir erinnern uns, dass die allgemeine Form der quadratischen Funktion \\(f(x) = a x^2 + b x +c\\)\u00a0 ist.<\/p>\n

Der „einfache“ Fall: \\(a=1\\)<\/h3>\n

Hier steht vor dem \\(x^2\\) nur der Faktor 1, wir haben also eine Funktion in der Form<\/p>\n

\\(f(x) = x^2 + b x +c\\)\u00a0\u00a0 gegeben.<\/p>\n

Die L\u00f6sung besteht darin, dass man die Zahl \\(c\\) in eine Multiplikation aus zwei Zahlen zerlegt, deren Summe<\/strong> <\/em>dann den Wert der Zahl \\(b\\) ergeben muss. Am besten sieht man die Vorgehensweise an einem Beispiel:<\/p>\n

Beispiel 1:<\/div>\n
Faktorisiere die Funktion \\(f(x)=x^2 + 5x+6\\)<\/div>\n
\n
\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
\n

\\(f(x)=x^2 + 5x+6\\)<\/p>\n

\\(b=5,\\, c=6\\)<\/p>\n

Man nimmt den Wert \\(c = 6\\) und zerlegt ihn in eine Multiplikation. Wir haben in diesem Fall vier M\u00f6glichkeiten:<\/p>\n

\\(6 = 1 \\cdot 6\\)<\/p>\n

\\(6 = (-1) \\cdot (-6)\\)<\/p>\n

\\(6 = 2 \\cdot 3\\)<\/p>\n

\\(6 = (-2) \\cdot (-3)\\)<\/p>\n

Wir haben die 6 in zwei Faktoren zerlegt. Nun sehen wir nach, welche L\u00f6sung in Summe<\/strong> <\/em>die Zahl\u00a0\\(b=5\\) ergibt:<\/p>\n

\\(1 + 6=7\\)<\/p>\n

\\(-1+(-6)=-7\\)<\/p>\n

\\(\\color{red}{2 + 3=5}\\)<\/p>\n

\\(-2+(-3)=-5\\)<\/p>\n

Der dritte Fall trifft zu, also sind unsere Faktoren hier die „+2“ und die „+3“, weil sie in Summe die „5“ (= b) ergeben. Daher k\u00f6nnen wir die Funktion faktorisiert schreiben als<\/p>\n

\\(f(x) = (x+2) \\cdot (x+3)\\)<\/p>\n

Probe: Wenn wir das ausmultiplizieren, erhalten wir<\/p>\n

\\(f(x) = (x+2) \\cdot (x+3) = x\\cdot x + 2\\cdot x + 3\\cdot x + 2\\cdot 3 = \\underline{x^2 + 5x + 6}\\) , also wieder unsere gegebene Funktion!<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
Beispiel 2:<\/div>\n
Faktorisiere die Funktion \\(f(x)=x^2 – x -12\\)<\/div>\n
\n
\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
\n

\\(f(x)=x^2 – 1\\cdot x -12\\)<\/p>\n

\\(b=-1,\\, c=-12\\)<\/p>\n

Wir m\u00fcssen hier \\(c=-12\\) faktorisieren, es gibt in diesem Fall insgesamt sechs M\u00f6glichkeiten:<\/p>\n

\\(-12 = (-1) \\cdot 12\\)<\/p>\n

\\(-12 = 1 \\cdot (-12)\\)<\/p>\n

\\(-12 = (-2) \\cdot 6\\)<\/p>\n

\\(-12 = 2 \\cdot (-6)\\)<\/p>\n

\\(-12 =(-3) \\cdot 4\\)<\/p>\n

\\(\\color{red}{-12 = 3 \\cdot (-4)}\\)<\/p>\n

In Summe<\/strong> <\/em>m\u00fcssen die Faktoren die Zahl\u00a0\\(b=-1\\) ergeben, das trifft nur bei „3“ und „-4“ zu, da \\(3+(-4) = 3-4=-1\\)\u00a0 ist. Also sind unsere Faktoren in diesem Fall \\(3\\) und \\(-4\\)<\/p>\n

\\(f(x) = (x+3) \\cdot (x-4)\\)<\/p>\n

Probe: Wenn wir das ausmultiplizieren, erhalten wir wieder die gegebene Fuktion:<\/p>\n

\\(f(x) = (x+3) \\cdot (x-4) = x\\cdot x + 3\\cdot x – 4\\cdot x + 3\\cdot (-4) = \\underline{x^2 – x – 12}\\)<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

Der „schwierige“ Fall: \\(a\\neq1\\)<\/h3>\n

Wenn der Faktor \\(a\\) vor dem \\(x^2\\) nicht =1 ist, m\u00fcssen wir anders vorgehen. Wir multiplizieren zuerst \\(a\\) mit \\(c\\) und zerlegen dann den erhaltenen Wert in eine Multiplikation. Diese beiden Faktoren m\u00fcssen dann wieder in Summe<\/strong> <\/em>die Zahl \\(b\\) ergeben! Damit haben wir jetzt unsere Faktoren ermittelt.<\/p>\n

Dann schreiben wir eine Tabelle in der folgenden Art hin:<\/p>\n\n\n\n\n
\\(a\\cdot x^2\\)<\/td>\n1.Faktor \\(\\cdot x\\)<\/td>\n<\/tr>\n
2.Faktor \\(\\cdot x\\)<\/td>\n\\(c\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Das weitere Vorgehen wird in den Beispielen erl\u00e4utert.<\/p>\n

Beispiel 3:<\/div>\n
Faktorisiere die Funktion \\(f(x)=2x^2 + x -6\\)<\/div>\n
\n
\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
\n

\\(f(x)=2x^2 + 1\\cdot x -6\\)<\/p>\n

\\(a=2,\\, b=1,\\, c=-6\\)<\/p>\n

Wir berechnen \\(a \\cdot c = 2\\cdot (-6) = -12\\) . Diese Zahl m\u00fcssen wir jetzt faktorisieren. Es gibt (wie schon in Beispiel 2 berechnet) sechs M\u00f6glichkeiten:<\/p>\n

\\(-12 = (-1) \\cdot 12\\)<\/p>\n

\\(-12 = 1 \\cdot (-12)\\)<\/p>\n

\\(-12 = (-2) \\cdot 6\\)<\/p>\n

\\(-12 = 2 \\cdot (-6)\\)<\/p>\n

\\(\\color{red}{-12 =(-3) \\cdot 4}\\)<\/p>\n

\\(-12 = 3 \\cdot (-4)\\)<\/p>\n

In Summe<\/strong> <\/em>m\u00fcssen die Faktoren die Zahl \\(b=1\\) ergeben, das trifft nur bei „-3“ und „4“ zu, da \\((-3)+4 = 1\\)\u00a0 ist. Also sind unsere Faktoren hier \\(-3\\) und \\(4\\)<\/p>\n

Wir schreiben unsere Tabelle hin wie oben angegeben<\/p>\n\n\n\n\n
\\(2x^2\\)<\/td>\n\\(-3x\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(4x\\)<\/td>\n\\(-6\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Jetzt berechnen wir pro Zeile und pro Spalte die gemeinsamen<\/em> Faktoren<\/p>\n

1. Zeile<\/strong>: der gemeinsame Faktor von \\(2x^2\\) und \\(-3x\\) ist \\(x\\), links daneben<\/strong> hinschreiben.<\/p>\n

2. Zeile<\/strong>: der gemeinsame Faktor von \\(4x\\) und \\(-6\\) ist \\(2\\), links daneben<\/strong> hinschreiben.<\/p>\n

1. Spalte<\/strong>: der gemeinsame Faktor von \\(2x^2\\) und \\(4x\\) ist \\(2x\\), dar\u00fcber <\/strong>hinschreiben.<\/p>\n

2. Spalte<\/strong>: der gemeinsame Faktor von \\(-3x\\) und \\(-6\\) ist \\(-3\\), dar\u00fcber <\/strong>hinschreiben.<\/p>\n

\"faktorisierung_tabelle_01\"<\/a><\/p>\n

Achtung! Die Vorzeichen der gemeinsamen<\/em> Faktoren erhalten wir durch das Vorzeichen jenes Faktors, der den farbigen Zellen als n\u00e4chstes<\/em> steht.<\/strong><\/p>\n

Das \\(x\\) links ist positiv, weil es dem\u00a0\\(2x^2\\) n\u00e4her steht als dem \\(-3x\\).<\/p>\n

Die \\(+2\\) links ist positiv, weil sie dem\u00a0\\(4x\\) n\u00e4her steht als der \\(-6\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n
<\/td>\n\\(2x\\)<\/td>\n\u00a0\\(-3\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0\\(x\\)<\/td>\n\\(2x^2\\)<\/td>\n\\(-3x\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(+2\\)<\/td>\n\\(4x\\)<\/td>\n\\(-6\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Wir sind fertig! Die Faktorisierung kann direkt abgelesen werden aus der farbigen Reihe bzw. Spalte:<\/p>\n

\\(f(x) = (2x-3) \\cdot (x+2)\\)<\/p>\n

Probe: Wenn wir das ausmultiplizieren, erhalten wir wieder die gegebene Fuktion:<\/p>\n

\\(f(x) = (2x-3) \\cdot (x+2) = 2x^2 – 3x +\u00a0 4x – 6 = \\underline{2x^2 + x -6}\\)<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
Beispiel 4:<\/div>\n
Faktorisiere die Funktion \\(f(x)=4x^2 -19x +12\\)<\/div>\n
\n
\nL\u00f6sung\n<\/div>\n
\n

\\(f(x)=4x^2 -19x +12\\)<\/p>\n

\\(a=4,\\, b=-19,\\, c=12\\)<\/p>\n

Wir berechnen \\(a \\cdot c = 4\\cdot 12 = 48\\) . Diese Zahl m\u00fcssen wir jetzt faktorisieren. Es gibt hier acht (!) M\u00f6glichkeiten:<\/p>\n

\\(48 = 1 \\cdot 48\\)<\/p>\n

\\(48 = (-1) \\cdot (-48)\\)<\/p>\n

\\(48 = 2\\cdot 24\\)<\/p>\n

\\(48 = (-2)\\cdot (-24)\\)<\/p>\n

\\(48 = 3\\cdot 16\\)<\/p>\n

\\(\\color{red}{48 = (-3)\\cdot (-16)}\\)<\/p>\n

\\(48 = 8\\cdot 6\\)<\/p>\n

\\(48 = (-8)\\cdot (-6)\\)<\/p>\n

In Summe<\/strong> <\/em>m\u00fcssen die Faktoren die Zahl \\(b=-19\\) ergeben, das trifft nur bei „-3“ und „-16“ zu, da \\((-3)+(-16) = -3-16 = -19\\)\u00a0 ist. Also sind unsere Faktoren hier \\(-3\\) und \\(-16\\)<\/p>\n

Wir schreiben unsere Tabelle hin<\/p>\n\n\n\n\n
\\(4x^2\\)<\/td>\n\\(-3x\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(-16x\\)<\/td>\n\\(+12\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Gemeinsame<\/em> Faktoren berechnen:<\/p>\n

1. Zeile<\/strong>: der gemeinsame Faktor von \\(4x^2\\) und \\(-3x\\) ist \\(x\\), links daneben<\/strong> hinschreiben.<\/p>\n

2. Zeile<\/strong>: der gemeinsame Faktor von \\(-16x\\) und \\(+12\\) ist \\(-4\\), links daneben<\/strong> hinschreiben.<\/p>\n

1. Spalte<\/strong>: der gemeinsame Faktor von \\(4x^2\\) und \\(-16x\\) ist \\(4x\\), dar\u00fcber <\/strong>hinschreiben.<\/p>\n

2. Spalte<\/strong>: der gemeinsame Faktor von \\(-3x\\) und \\(+12\\) ist \\(-3\\), dar\u00fcber <\/strong>hinschreiben.<\/p>\n

Vorzeichen:<\/p>\n

Das\u00a0\\(x\\) links ist positiv, weil es dem\u00a0\\(4x^2\\) n\u00e4her steht als dem \\(-3x\\).<\/p>\n

Die\u00a0\\(-4\\) links ist negativ, weil sie dem\u00a0\\(-16x\\) n\u00e4her steht als der \\(+12\\).<\/p>\n

Das\u00a0\\(4x\\) oben links ist positiv, weil es dem \\(4x^2\\) n\u00e4her steht als dem \\(-16x\\).<\/p>\n

Die\u00a0\\(3\\) oben rechts ist negativ, weil sie dem\u00a0\\(-3x\\) n\u00e4her steht als der \\(+12\\).<\/p>\n

 <\/p>\n\n\n\n\n\n
<\/td>\n\\(4x\\)<\/td>\n\u00a0\\(-3\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0\\(x\\)<\/td>\n\\(4x^2\\)<\/td>\n\\(-3x\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(-4\\)<\/td>\n\\(-16x\\)<\/td>\n\\(+12\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Wir sind fertig! Die Faktorisierung kann direkt abgelesen werden aus der farbige Reihen bzw. Spalte:<\/p>\n

\\(f(x) = (4x-3)\\cdot (x-4)\\)<\/p>\n

Probe: Wenn wir das ausmultiplizieren, erhalten wir wieder die gegebene Fuktion:<\/p>\n

\\(f(x) = (4x-3)\\cdot (x-4)= 4x^2 – 3x – 16x +12 = \\underline{4x^2 -19x +12}\\)<\/p>\n

[Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

Achtung!<\/h3>\n

Man muss unbedingt vorher einen eventuell<\/em> gemeinsamen Faktor aus der gegebenen Funktion herausziehen, sonst erh\u00e4lt man ein falsches Ergebnis!<\/p>\n

Z.B. die Funktion \\(f(x) = 2x^2 – 4x -16\\)<\/p>\n

Hier sieht man, dass der Faktor \\(2\\) in allen Termen enthalten ist, also kann man ihn ausklammern:<\/p>\n

\\(f(x) = 2x^2 – 4x -16 = 2\\cdot(x^2-2x-8)\\)<\/p>\n

Jetzt faktorisiert man die in Klammer gegebene Funktion, und das Ergebnis wird mit dem ausgeklammerten Faktor \\(2\\) multipliziert. Au\u00dferdem ist hier durch das Ausklammern der 2 die Faktorisierung einfacher geworden, weil man nur den „einfachen“ Fall zu berechnen hat.<\/p>\n

\\(b=-2, c=-8\\)<\/p>\n

\\(-8 = (-1)\\cdot 8\\)<\/p>\n

\\(-8 = 1\\cdot (-8)\\)<\/p>\n

\\(-8 = (-2)\\cdot 4\\)<\/p>\n

\\(-8 = \\color{red}{2\\cdot (-4)}\\)<\/p>\n

Die Faktoren sind \\(2\\) und \\(-4\\), da \\(2+(-4)=-2 =b \\)\u00a0 ist. F\u00fcr die L\u00f6sung den zuvor ausgeklammerten Wert nicht vergessen!<\/p>\n

\\(f(x) = 2\\cdot(x^2-2x-8) = \\underline{2(x+2)(x-4)}\\)<\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Manchmal kann bzw. muss man quadratische Funktionen „faktorisieren“. Was bedeutet das? Da hei\u00dft man stellt die Frage: „Kann man diese Funktion als Produkt zweier Klammern schreiben?„, in der Form \\(\\definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \\) \\((x\\pm…) \\cdot (x\\pm…)\\) ? Diese Bererchnung wird auch als…<\/p>\n

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