10<\/sup><\/strong><\/td>\n1024<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nBeispiele:<\/h3>\n\\(\\sqrt{8}=\\sqrt{{2\\cdot 4}}=\\sqrt{{2\\cdot {{2}^{2}}}}=2\\sqrt{2}\\)<\/p>\n \\(\\sqrt{{300}}=\\sqrt{{3\\cdot 100}}=\\sqrt{{3\\cdot {{{10}}^{2}}}}=10\\sqrt{3}\\)<\/p>\n \\(\\sqrt{{128}}=\\sqrt{{2\\cdot 64}}=\\sqrt{{2\\cdot {{8}^{2}}}}=8\\sqrt{2}\\)<\/p>\n \\(\\sqrt{{243}}=\\sqrt{{3\\cdot 81}}=\\sqrt{{3\\cdot {{9}^{2}}}}=9\\sqrt{3}\\)<\/p>\n \\(\\sqrt[3]{{81}}=\\sqrt[3]{{3\\cdot 27}}=\\sqrt[3]{{3\\cdot {{3}^{3}}}}=3\\sqrt[3]{3}\\)<\/p>\n \\(\\sqrt[4]{{64}}=\\sqrt[4]{{16\\cdot 4}}=\\sqrt[4]{{{{2}^{4}}\\cdot {{2}^{2}}}}=2\\sqrt[4]{{{{2}^{2}}}}=2\\cdot {{2}^{{\\frac{2}{4}}}}=2\\cdot {{2}^{{\\frac{1}{2}}}}=2\\sqrt{2}\\)<\/p>\n Warum ist das notwendig?<\/h3>\nNotwendig ist das eigentlich nicht, aber hilfreich<\/em>. Man bekommt ein Gesp\u00fcr f\u00fcr Zahlen.<\/p>\nFr\u00fcher musste man in der Schule noch die wichtigsten Wurzeln lernen, wie z.B.<\/p>\n \\(\\sqrt{2}\\approx 1,4142\\)<\/p>\n \\(\\sqrt{3}\\approx 1,732\\)<\/p>\n \\(\\sqrt{5}\\approx 2,236\\)<\/p>\n Solche Zahlen kommen bei Berechnungen recht h\u00e4ufig vor.<\/p>\n Ein kleines Beispiel:<\/strong><\/p>\nBei der Berechnung des Sprungs (freier Fall) von einem 10-Meter-Turm kommt man auf die Beziehung f\u00fcr die Geschwindigkeit<\/p>\n \\(v = \\sqrt{2\\,g\\,h}\\)<\/p>\n Mit \\(h=10\\) und mit \\(g\\approx 10\\) ergibt sich damit<\/p>\n \\(v = \\sqrt{2\\cdot 10 \\cdot 10} = \\sqrt{200}\\)<\/p>\n Kennt man die Quadratzahlen, dann wei\u00df man dass \\(14^2 = 196\\) ist, das Ergebnis wird also ein klein wenig gr\u00f6\u00dfer als 14 sein. Durch partielles Wurzelziehen wei\u00df man aber, dass<\/p>\n \\(v = \\sqrt{200} = \\sqrt{2\\cdot 100} = \\sqrt{2\\cdot 10^{2}} = 10\\sqrt{2}\\)<\/p>\n Wei\u00df man nun auch noch die Wurzel aus 2, dann erh\u00e4lt man sofort<\/p>\n \\(v = 10\\sqrt{2} = 10\\cdot 1,4142 = 14,142\\)<\/p>\n Und das ganz ohne Taschenrechner!<\/p>\n Anmerkung<\/strong>: Das Ergebnis ist hier nat\u00fcrlich in Meter\/Sekunde gegeben. Um Kilometer\/Stunde zu erhalten, muss man mit dem Faktor 3,6 multiplizieren. Das Ergebnis lautet<\/p>\n\\(v\u00a0 = 50,9 \\frac{km}{h}\\)<\/p>\n <\/p>\n
\n <\/p>\n Den Nenner wurzelfrei machen (Nenner rational<\/em> machen)
\n<\/strong><\/h3>\nMathematiker haben es gar nicht gern, wenn im Nenner eines Ausdrucks Wurzeln auftauchen. Manchmal ist es m\u00f6glich, den Nenner eines Bruchs ohne Wurzel darzustellen. Man kann daf\u00fcr den Bruch mit dem Nenner erweitern. Bei einem Nenner-Term mit einer Summe<\/strong> kann man mit dem \u201eentgegengesetzten\u201c Term (Vorzeichen umdrehen) erweitern.<\/p>\nBeispiele:<\/strong><\/p>\n\\(\\displaystyle \\frac{1}{{\\sqrt{3}}}=\\frac{1}{{\\sqrt{3}}}\\cdot \\frac{{\\sqrt{3}}}{{\\sqrt{3}}}=\\frac{{\\sqrt{3}}}{{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}}}=\\frac{{\\sqrt{3}}}{3}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{{-2}}{{\\sqrt{2}-2}}=\\frac{{-2}}{{\\sqrt{2}-2}}\\cdot \\frac{{\\sqrt{2}+2}}{{\\sqrt{2}+2}}=\\frac{{-2\\left( {\\sqrt{2}+2} \\right)}}{{2-4}}=\\frac{{-2\\left( {\\sqrt{2}+2} \\right)}}{{-2}}=\\sqrt{2}+2\\)<\/p>\n Im 2. Beispiel wird im Nenner die Beziehung \\(\\left( {a+b} \\right)\\cdot \\left( {a-b} \\right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\\) benutzt.<\/p>\n Im Nenner ergibt sich dadurch<\/p>\n \\(\\left( {\\sqrt{2}-2} \\right)\\cdot \\left( {\\sqrt{2}+2} \\right)={{\\left( {\\sqrt{2}} \\right)}^{2}}-\\underbrace{{2\\cdot \\sqrt{2}+2\\cdot \\sqrt{2}}}_{{=\\,0}}-{{2}^{2}}=\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle ={{\\left( {\\sqrt{2}} \\right)}^{2}}-{{2}^{2}}=2-4=-2\\)<\/p>\n Der Trick ist also, mit jenem Term zu erweitern, der das entgegengesetzte<\/strong> Vorzeichen hat.<\/p>\nBeispiel<\/div>\n \n Mache im folgenden Ausdruck den Nenner rational und vereinfache so weit wie m\u00f6glich: \\(\\displaystyle \\frac{{\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}}}{{\\sqrt{8}-\\sqrt{7}}}=?\\)<\/p>\n<\/div>\n \n \nL\u00f6sung\n<\/div>\n \n Zun\u00e4chst sieht es so aus, als k\u00f6nnte man hier gar nichts erreichen. Im Nenner steht eine Differenz<\/strong> zweier Wurzeln.<\/p>\nMan erweitert aber den gegebenen Term mit jenem Nenner, der das entgegengesetzte<\/strong> Vorzeichen hat:<\/p>\n\\(\\displaystyle \\frac{{\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}}}{{\\sqrt{8}-\\sqrt{7}}}=\\frac{{\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}}}{{\\sqrt{8}-\\sqrt{7}}}\\cdot \\underbrace{{\\frac{{\\sqrt{8}\\color{red}{{+}} \\sqrt{7}}}{{\\sqrt{8}\\color{red}{{+}} \\sqrt{7}}}}}_{{=\\ 1}}\\)<\/p>\n Nun multipliziert man Z\u00e4hler\u00a0\u00b7 Z\u00e4hler und Nenner\u00a0\u00b7 Nenner aus, wobei man im Nenner wei\u00df, dass \\((a-b)\\cdot (a+b) = a^2 – b^2\\) ist, daher folgt<\/p>\n \\(\\displaystyle = \\frac{{\\left( {\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}} \\right)\\cdot \\left( {\\sqrt{8}+\\sqrt{7}} \\right)}}{{{{{\\left( {\\sqrt{8}} \\right)}}^{2}}-{{{\\left( {\\sqrt{7}} \\right)}}^{2}}}}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle = \\frac{{\\left( {\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}} \\right)\\cdot \\left( {\\sqrt{8}+\\sqrt{7}} \\right)}}{{8-7}}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle =\\frac{{\\left( {\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}} \\right)\\cdot \\left( {\\sqrt{8}+\\sqrt{7}} \\right)}}{1}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle =\\left( {\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}} \\right)\\cdot \\left( {\\sqrt{8}+\\sqrt{7}} \\right)\\)<\/p>\n Letztlich ist nur mehr der Z\u00e4hler des Ausdrucks \u00fcbriggeblieben! Dieser sollte nun noch ausmultipliziert werden, um zu sehen, ob man eine Vereinfachung erreichen kann.<\/p>\n \\(\\begin{array}{l}\\left( {\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}} \\right)\\cdot \\left( {\\sqrt{8}+\\sqrt{7}} \\right)=\\\\\\sqrt{{24}}\\cdot \\sqrt{8}+\\sqrt{{24}}\\cdot \\sqrt{7}-\\sqrt{{21}}\\cdot \\sqrt{8}-\\sqrt{{21}}\\cdot \\sqrt{7}=\\\\\\sqrt{{3\\cdot 8}}\\cdot \\sqrt{8}+\\sqrt{{3\\cdot 8}}\\cdot \\sqrt{7}-\\sqrt{{3\\cdot 7}}\\cdot \\sqrt{8}-\\sqrt{{3\\cdot 7}}\\cdot \\sqrt{7}\\end{array}\\)<\/p>\n Es wurde dabei die \\(\\sqrt{24}\\) in \\(\\sqrt{3\\cdot 8}\\) und die \\(\\sqrt{21}\\) in \\(\\sqrt{3\\cdot 7}\\) jeweils in ein Produkt aufgespalten.<\/p>\n Wenn ein Produkt<\/strong> unter einer Wurzel steht, kann man es getrennt schreiben: (Nicht<\/strong> so bei einer Summe\/Differenz!)<\/p>\n\\(\\sqrt{{3\\cdot 8}}=\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{8}\\)<\/p>\n \\(\\sqrt{{3\\cdot 7}}=\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{7}\\)<\/p>\n Daher folgt<\/p>\n \\(=\\sqrt{3}\\cdot \\underbrace{{\\sqrt{8}\\cdot \\sqrt{8}}}_{{=\\ 8}}+\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{8}\\cdot \\sqrt{7}-\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{7}\\cdot \\sqrt{8}-\\sqrt{3}\\cdot \\underbrace{{\\sqrt{7}\\cdot \\sqrt{7}}}_{{=\\ 7}}\\)<\/p>\n \\(\\displaystyle =8\\cdot \\sqrt{3}+\\underbrace{{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{8}\\cdot \\sqrt{7}-\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{8}\\cdot \\sqrt{7}}}_{{=\\,0}}-7\\cdot \\sqrt{3}\\)<\/p>\n Zus\u00e4tzlich fallen auch die mittleren Terme weg, und es bleibt<\/p>\n \\(=8\\cdot \\sqrt{3}-7\\cdot \\sqrt{3}=\\sqrt{3}\\)<\/p>\n Die L\u00f6sung lautet daher<\/p>\n \\(\\displaystyle \\frac{{\\sqrt{{24}}-\\sqrt{{21}}}}{{\\sqrt{8}-\\sqrt{7}}}=\\sqrt{3}\\)<\/p>\n <\/p>\n [Einklappen]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Manchmal kann man den Radikanden eines Wurzelausdrucks in ein Produkt aufspalten, wobei ein Teil des Produktes eine Zahl ist, aus der man die Wurzel ziehen kann. Daf\u00fcr ist es g\u00fcnstig, wenn man die wichtigsten Quadratzahlen und Kubikzahlen kennt. Weiters ist…<\/p>\n Read more →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1103"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1103"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1103\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.hcgreier.at\/nachhilfe\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1103"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}} |