====== Ein Komet innerhalb der Erdbahn ======

===== Aufgabe ======

Ein Komet bewege sich auf einer parabolischen Bahn ($\epsilon = 1$) im Gravitationsfeld der ruhenden Sonne. Seine Bahnebene falle mit der als kreisförmig idealisierten Bahnebene der Erde zusammen. Wie lange bewegt sich der Komet **innerhalb der Erdbahn**? Eine Störung der Kometenbahn durch die anderen Planeten soll vernachlässigt werden.

===== Lösung =====

<imgcaption image1|Verlauf einer Kometenbahn>{{ :kometenbahn_erdbahn.png |}}
</imgcaption>

Zuerst wird die Schwerpunktsmasse $\mu$ eingeführt mit

$$\mu = \frac{m\cdot M}{m + M_{\odot}}\tag{1}$$

Die entsprechende Energiegleichung lautet

$$E = \frac{1}{2}\cdot\mu\cdot\dot{r}^2 + \frac{L_{\nu}^2}{2\cdot\mu\cdot r^2} - G\cdot  \frac{m\cdot M_{\odot}}{r}\tag{2}$$

zusammen mit der korrespondierenden Differentialgleichung (DGL):

$$0 = \mu\cdot\ddot{r} - \frac{L_{\nu}^2}{\mu\cdot r^3} + G\cdot \frac{m\cdot M_{\odot}}{r^2}\tag{3}$$

Die Lösung der DGL ist die bekannte Kegelschnittsgleichung

$$r(\nu) = \frac{p}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{4}$$

mit

$$\epsilon = \sqrt{1 + \frac{2\cdot L_{\nu}^2}{G^2}\cdot \frac{m^2\cdot M^2}{\mu}\cdot E}\tag{5}$$

und

$$p = \frac{L_{\nu}^2}{G\cdot M_{\odot}\cdot m^2}\tag{6}$$ 

Befindet sich der Komet im Perihel ist seine radiale Geschwindigkeit $\dot{r}$ gleich Null. $r$ erreicht gleichzeitig sein Minimum. Es gilt die Bedingung:

$$\dot{r}_{min} = 0$$

Daraus folgt via Energiegleichung (2):

$$r_{min} = \frac{L_{nu}^2}{2\cdot\mu}\cdot \frac{1}{G\cdot m\cdot M_{\odot}}\tag{7}$$

Nun muss die Verweildauer des Kometen bestimmt werden. Dazu formt man die Energiegleichung (2) zum Zeitintegral um:

$$t = \sqrt{\frac{\mu}{2\cdot G\cdot m\cdot M_{\odot}}}\cdot \int\limits^{R_E}_{r_{min}} \frac{r}{\sqrt{r - r_{min}}} \mathrm{d}r\tag{8}$$

und integriert zu:

$$t = \frac{2}{3}\cdot\sqrt{\frac{\mu}{2\cdot G\cdot m\cdot M_{\odot}}}\cdot \sqrt{R_E - r_{min}}\cdot (R_E + 2\cdot r_{min})\tag{9}$$

Der Zeitraum $t$ ist nur die Zeit vom Schnittpunkt mit der Erdbahn ($R_E = 1\;AE$) bis zum Perihel des Kometen. Aufgrund der angenommenen Symmetrie der Parabel gilt die Bedingung $T = 2\cdot t$

Setzt man $\frac{dT}{dr_{min}} = 0$ so ist die Lösung für $r_{min}$:

$$r_{min} = \frac{R_E}{2}\tag{10}$$

Der Perihel des Kometen hat den halben Erdabstand (Erinnerung: Erdbahn sei kreisförmig). Damit braucht man $r_{min}$ nur noch in Gleichung (9) einzusetzen und man erhält die Lösung mit [[:wichtige_konstanten|$G$, $R_E$ und $M_{\odot}$]]:

$$T = \frac{4}{3}\cdot\sqrt{\frac{R_E^3}{G\cdot M_{\odot}}} = 6.6958\cdot 10^6\;s \approx 77\overset{d}{.}4977 = 77^d11^h47^m$$