EphemPedia

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====== Zeiteingabe ======

Die Einteilung in Stunden $h$ wird zwischen $0^h$ und $23^h$ bestimmt, die Minute $m$ erfolgt zwischen $0^m$ und $59^m$, die Sekunde $s$ ist wiederum zwischen $0^s$ und $59^s$. Hat man die Sommerzeit vorliegen oder man befindet sich an einem anderen geographischem Ort, so ist die Zeit in $MESZ$ (mitteleuropäische Sommerzeit) statt $MEZ$ (mitteleuropäische Zeit) zu wählen, bzw. eine andere Zonenzeit zu bestimmen.

===== Geographische Koordinaten =====

Man hat die geographische Position $\lambda_0$ (geographische Länge) und $\beta_0$ (geographische Breite). Daraus wird die Zeitzone via Zonenmeridian $\lambda_1$ und damit die Zonenzeit wie $MEZ$, $MESZ$ oder $UT$ bestimmt.
\[\begin{aligned}
\lambda_1 &= + 15^h\lfloor\frac{\lambda_0 + 7\overset{\circ}{.}5}{15^h}\rfloor \quad\textrm{falls}\quad \lambda_0 > - 7\overset{\circ}{.}5 \\
\lambda_1 &= - 15^h\lfloor -\frac{\lambda_0 - 7\overset{\circ}{.}5}{15^h}\rfloor \quad\textrm{falls}\quad \lambda_0 \leq - 7\overset{\circ}{.}5
\end{aligned}\tag{1}\]

Dabei ist $\lfloor\;\rfloor$ die [[Mathematische_Grundlagen#Floor und Ceiling Funktion|Floor Funktion]].

===== Zeitzone =====

Aus dem Zonenmeridian ist wiederum die mittlere Ortszeit
$MOZ$ (= Zeit am Beobachtungsort) errechenbar:
$$MOZ = Z + \frac{\lambda_1 - \lambda_0}{15^h} = UT - \frac{\lambda_0}{15^h}\tag{2}\label{glg2}$$

$Z$ ist die Zonenzeit wie $MEZ$ und $UT$.

==== Abkürzungen von Zeitzonen ====

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="120px,480px,200px"&float=center}}
^  Tabelle 1                                                                                                                      |||
^ Abkürzung   ^ Bedeutung                                                                  ^  $UT\pm h$                             ^
| MOZ         | Mittlere Orzszeit (berechnet aus der geografischen Länge des Beobachters)  |  siehe Glg. $\eqref{glg2}$           |
| ACTD        | Australische Central Daylight Time                                         |  $+10:30$                              |
| ACST        | Australische Central Standard Time                                         |  $+09:30$                              |
| ADT         | Atlantic Daylight Time (Nordamerika)                                       |  $-03:00$                              |
| AEDT        | Australische Eastern Daylight Time                                         |  $+11:00$                              |
| AEST        | Australische Eastern Standard Time                                         |  $+10:00$                              |
| AKDT        | Alaska Daylight Time                                                       |  $-08:00$                              |
| AKST        | Alaska Standard Time                                                       |  $-09:00$                              |
| AST         | Atlantic Standard Time (Nordamerika)                                       |  $-04:00$                              |
| AWDT        | Australische Western Daylight Time                                         |  $+09:00$                              |
| AWST        | Australische Western Standard Time                                         |  $+08:00$                              |
| BST         | British Summer Time                                                        |  $+01:00$                              |
| CDT         | Central Daylight Time (Nordamerika)                                        |  $-05:00$                              |
| CEST        | Central European Summer Time \\ (Mitteleuropäische Sommerzeit)             |  $+02:00$                              |
| CET         | Central European Time (Mitteleuropäische Zeit)                             |  $+01:00$                              |
| CST         | Central Standard Time (Nordamerika)                                        |  $-06:00$                              |
| CSTA        | Central Standard Time (Australien)                                         |  $+09:30$                              |
| CXT         | Christmas Island Time (Australien)                                         |  $+07:00$                              |
| EDT         | Eastern Daylight Time (Nordamerika)                                        |  $-04:00$                              |
| EEDT        | Eastern European Daylight Time                                             |  $+03:00$                              |
| ESTA        | Eastern Standard Time (Australien)                                         |  $+10:00$                              |
| EST         | Eastern Standard Time (Nordamerika)                                        |  $-05:00$                              |
| GMT         | Greenwich Mean Time (GMT) (London)                                         |  $+12:00$                              |
| HADT        | Hawaii-Aleutian Daylight Time                                              |  $-09:00$                              |
| HAST        | Hawaii-Aleutian Standard Time                                              |  $-10:00$                              |
| IST         | Irish Summer Time                                                          |  $+01:00$                              |
| MEZ         | Mitteleuropäische Zeit                                                     |  $+01:00$                              |
| MESZ        | Mitteleuropäische Sommerzeit                                               |  $+02:00$                              |
| MDT         | Mountain Daylight Time (Nordamerika)                                       |  $-06:00$                              |
| MST         | Mountain Standard Time (Nordamerika)                                       |  $-07:00$                              |
| NDT         | Newfoundland Daylight Time (Nordamerika)                                   |  $-02:30$                              |
| NST         | Newfoundland Standard Time (Nordamerika)                                   |  $-03:30$                              |
| NFT         | Norfolk (Island) Time (Australien)                                         |  $+11:30$                              |
| PDT         | Pacific Daylight Time (Nordamerika)                                        |  $-07:00$                              |
| PST         | Pacific Standard Time (Nordamerika)                                        |  $-08:00$                              |
| WEDT        | Western European Daylight Time                                             |  $+01:00$                              |
| WEST        | Western European Summer Time                                               |  $+01:00$                              |
| WET         | Western European Time                                                      |  $+00:00$                              |
| WST         | Western Standard Time (Australien)                                         |  $+08:00$                              |
| UTC         | Koordinierte Weltzeit                                                      |  $UT$ + Schaltsekunde                  |

===== Dynamische Zeit =====

Aufgrund des Umfangs wird auf das Thema **Dynamische Zeit** $\Delta T$ in einem [[dynamische_zeit_und_delta_t|eigenen Artikel]] eingegangen.

===== Sternzeit =====

Die Sternzeit ist der Stundenwinkel des Frühlingspunktes {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}}. Die Sternzeit beträgt $0^h$, wenn sich der Frühlingspunkt im Mittagsmeridian befindet. Die //mittlere// Greenwich-Sternzeit ("<color #ed1c24>G</color>reenwich <color #ed1c24>M</color>ean <color #ed1c24>S</color>iderial <color #ed1c24>T</color>ime") in Stunden beträgt:
\[\begin{align}
GMST =&\; 6\overset{h}{.}6563064033\\
&+ 0\overset{h}{.}06570982442\cdot (JD(0^h\,UT) - 2445700.5)\\
&+ 1\overset{h}{.}00273790931\cdot UT
\end{align}\tag{3}\]

Die Sternzeit in Greenwich wird in der Literatur häufig mit $\theta_0$ bezeichnet.

<WRAP center round box 100%>
$JD(0^h)$ = [[julianischer_tag_jd#jd_calc|Julianischer Tag]] um $\textrm{00:00}\;UT$ \\ 
$1\overset{h}{.}00273790931$ = Korrekturfaktor für beliebige Tageszeit in $UT$
</WRAP>

<WRAP center round box 100%>
==== Beispiel 1 ====

{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die mittlere Sternzeit in Greenwich für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit ($MESZ$)**

----

Die Differenz der $MESZ$ zur Weltzeit $UT$ beträgt $2^h$, also ist der Zeitpunkt

$ \textrm{22:15} - 2^h = \textrm{20:15}\;UT$

Der julianische Tag für den 15.4.2023 um 20:15 $UT$ wurde bereits in [[:julianischer_tag_jd#beispiel_1|diesem Beispiel]] berechnet zu $JD = 2460050.34375$. Der Tag begann aber um 00:00 Uhr, das ist dann $JD = 2460049.5$ (Daten für Mitternacht haben in $JD$ immer die Endung $.5$). Mit der Uhrzeit

$20^h15^m = 20 + \frac{15}{60} = 20\overset{h}{.}25\,$ folgt daher
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}}
| \( \begin{align} GMST =&\; 6\overset{h}{.}6563064033\\ &+ 0\overset{h}{.}06570982442\cdot (2460049.5 - 2445700.5)\\ &+ 1\overset{h}{.}00273790931\cdot 20\overset{h}{.}25\\ &= 969\overset{h}{.}83201966941 \end{align} \)  |

Durch Abziehen eines geeigneten Vielfachen von $24^h$ erhält man

$\textrm{trunc}\left(\frac{969.83201966941}{24} \right) = 40$\\
$969\overset{h}{.}83201966941 - 40\cdot 24^h = 9\overset{h}{.}8320197$

Die Umrechnung in Stunden/Minuten/Sekunden liefert unter Zuhilfenahme der ''trunc''- und ''frac''-[[:mathematische_grundlagen#trunc_und_frac_funktion|Funktionen]]

$\textrm{trunc}(9\overset{h}{.}8320197) = 9^h$\\
$\textrm{frac}(9\overset{h}{.}8320197) = 0\overset{h}{.}8320197$\\
$0\overset{h}{.}8320197\cdot 60\tfrac{m}{h} = 49\overset{m}{.}921182$\\
$\textrm{trunc}(49\overset{m}{.}921182) = 49^m$\\
$\textrm{frac}(49\overset{m}{.}921182) = 0\overset{m}{.}921182$\\
$ 0\overset{m}{.}921182\cdot 60\tfrac{s}{m} = 55\overset{s}{.}27092$\\

$GMST = 9^h49^m55\overset{s}{.}3$

Der Frühlingspunkt hat also in Greenwich für den gegebenen Zeitpunkt den Ortsmeridian vor $9^h49^m55\overset{s}{.}3$ durchlaufen.
</WRAP>

==== Ortssternzeit ====

Die lokale Sternzeit ("<color #ed1c24>L</color>ocal <color #ed1c24>M</color>ean <color #ed1c24>S</color>iderial <color #ed1c24>T</color>ime") berechnet sich mit der geographischen Länge $\lambda_0$ des Beobachters am Ort:

$$LMST = GMST - \frac{\lambda_0}{15\tfrac{\circ}{h}}\tag{4}$$

<WRAP center round important 100%>
Zu beachten ist hier, dass //östliche// Längengrade **negativ** und //westliche// Längengrade **positiv** gezählt werden! Leider wird diese Festlegung in der einschlägigen Literatur nicht einheitlich verwendet.
</WRAP>

==== Sternzeit in Grad ====

Die //mittlere// Sternzeit $\theta_0$ für Greenwich (London) kann auch direkt in **Grad** ermittelt werden:
\[\begin{align}
GMST = \theta_0 &= 280\overset{\circ}{.}46061837\\
& + 360\overset{\circ}{.}98564736629\cdot\left( JD - 2451545.0 \right)\\
&+ 0\overset{\circ}{.}000387933\cdot T^2\\
&- \frac{T^3}{38710000}
\end{align}\tag{5}\label{glg3_5}\]

<WRAP center round box 100%>
$JD$ = Julianischer Tag für die gegebene Uhrzeit in $UT$, siehe [[julianischer_tag_jd#jd_calc|hier]] \\ 
$T$ = Julianische Jahrhunderte bezüglich Epoche $J2000$, $T=\frac{(JD - 2451545.0)}{36525}$
</WRAP>

Diese Formel gilt für **beliebige** Tageszeiten in Weltzeit ($UT$), es muss nur der Julianische Tag $JD$ entsprechend der gegebenen Uhrzeit berechnet werden. Die Umrechnung der Sternzeit in Stunden erfolgt durch Division mit 15:

$$\theta_0^{(h)} = \frac{\theta_0}{15\tfrac{^\circ}{h}}\tag{6}$$

<WRAP center round box 100%>
==== Beispiel 2 ====

{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die mittlere lokale Sternzeit für München ($\lambda = 11\overset{\circ}{.}6$ Ost) für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ)
**
----

Wie bereits in [[:zeiteingabe#beispiel_1|Beispiel 1]] gezeigt erhält man für $\textrm{22:15} - 2^h = \textrm{20:15}\;UT$ den julianischen Tag mit $JD = 2460050.34375$. Hier nehmen wir die alternative Berechnung der mittleren Sternzeit in **Grad**. Zuerst berechnet man

\(\begin{align}
T &= \frac{JD - 2451545.0}{36525}\\
&= \frac{2460050.34375 - 2451545.0}{36525}\\
&= 0.23286362080767
\end{align}\)

und erhält dann ohne den Umweg über $UT(0^h)$ **direkt** die Sternzeit in Grad mit

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="620px"}}
| \(\begin{align}
GMST = \theta_0 &= 280\overset{\circ}{.}46061837\\
& + 360\overset{\circ}{.}98564736629\cdot\left(2460050.34375 - 2451545.0 \right)\\
&+ 0\overset{\circ}{.}000387933\cdot (0.23286362080767)^2\\
&- \frac{(0.23286362080767)^3}{38710000}\\
&= 3070587\overset{\circ}{.}480306
\end{align}\) |

Die Reduktion auf das Intervall [0°-360°] erhält man mit der [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] zu

$\textrm{trunc}\left(\frac{3070587.480306}{360} \right) = 8529$\\
$3070587\overset{\circ}{.}480306 - 8529\cdot 360^{\circ} =$\\
$= 147\overset{\circ}{.}480306$

Die Umrechnung in Stunden erfolgt mit Division durch $15\frac{\circ}{h}$ zu

$GMST = \frac{147\overset{\circ}{.}480306}{15\frac{\circ}{h}} = 9\overset{h}{.}8320204$

Dies ist nun die mittlere Sternzeit in **Greenwich** für den gegebenen Zeitpunkt. \\
Die Ortssternzeit in **München** mit einer geografischen Länge von $11\overset{\circ}{.}6$ Ost erhält man durch

\(\begin{align}
LMST &= GMST - \frac{\lambda_0}{15\frac{\circ}{h}}\\
&= 9\overset{h}{.}8320204 - \frac{-11\overset{\circ}{.}6}{15\frac{\circ}{h}}\\
&= 10\overset{h}{.}60535373
\end{align}\)

Wie man sieht werden östliche Längengrade negativ gezählt und westliche Längengrade positiv.

Die weitere Umrechnung in Stunden/Minuten/Sekunden liefert unter Zuhilfenahme der ''trunc''- und ''frac''-[[:mathematische_grundlagen#trunc_und_frac_funktion|Funktionen]]

$\textrm{trunc}(10\overset{h}{.}60535373) = 10^h$\\
$\textrm{frac}(10\overset{h}{.}60535373) = 0\overset{h}{.}60535373$\\
$0\overset{h}{.}60535373\cdot 60\tfrac{m}{h} = 36\overset{m}{.}3212238$\\
$\textrm{trunc}(36\overset{m}{.}3212238) = 36^m$\\
$\textrm{frac}(36\overset{m}{.}3212238) = 0\overset{m}{.}32122384$\\
$0\overset{m}{.}3212238\cdot 60\tfrac{s}{m} = 19\overset{s}{.}273428$\\

$LMST = 10^h36^m19\overset{s}{.}3$

Der Frühlingspunkt hat also in München für den gegebenen Zeitpunkt den Ortsmeridian vor $10^h36^m19\overset{s}{.}3$ durchlaufen. Mit anderen Worten stand der Frühlingspunkt vor $10^h36^m19\overset{s}{.}3$ im Ortsmeridian von München, also um $\textrm{22:15} - 10^h36^m19\overset{s}{.}3 = \textrm{11:38:40.7}$ Uhr.
</WRAP>

==== Wahre Sternzeit ====

Die wahre Sternzeit oder den Greenwich-Stundenwinkel des wahren Frühlingsäquinoktiums erhält man durch Addition der Korrektur $\Delta\lambda\cdot\cos \varepsilon$, wobei $\Delta\lambda$ die Nutation in Länge und $\varepsilon$ die wahre Schiefe der Ekliptik ist. Diese Nutationskorrektur wird auch Äquinoktialgleichung genannt. Wenn $\Delta\lambda$ in Bogensekunden ausgedrückt wird, ist die Korrektur der mittleren Sternzeit in Sekunden gegeben durch

$$\frac{\Delta\lambda\cdot\cos \varepsilon}{15}\tag{7}$$

Die wahre Ekliptikschiefe $\varepsilon$ ist die um die Nutation in Schiefe $\Delta\varepsilon$ korrigierte [[:sonnenposition#eps0_info|mittlere Ekliptikschiefe]] $\varepsilon_0$, also

$$\varepsilon = \varepsilon_0 + \frac{\Delta\varepsilon}{3600\tfrac{''}{\circ}}\tag{8}$$

Zur Berechnung der Nutationswerte in Länge und Schiefe siehe [[:nutation_hoehere_genauigkeit|hier]].

<WRAP center round info 100%>
Für die praktische Berechnung hat dies in den meisten Fällen wenig Bedeutung, da die absolute Differenz von mittlerer und wahrer Sternzeit den Wert von $\approx 1\overset{s}{.}2$ nicht übersteigt.
</WRAP>

<imgcaption image1|Differenz wahre zu mittlerer Sternzeit im Zeitraum 1900-2100>{{ :diff_sternzeit.png?900 |}}</imgcaption>

<imgcaption image2|Differenz wahre zu mittlerer Sternzeit im Zeitraum 2020-2030>{{ :diff_sternzeit_2.png?900 |}}</imgcaption>