EphemPedia

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====== Sonnenposition ======

===== Geozentrische Länge der Sonne =====

Die scheinbare geozentrische Länge $\lambda_S$ der Sonne kann über die tägliche Variation $\Delta\lambda$ für ein festes Bezugssystem wie folgt berechnet werden.

Für diesen Algorithmus wird die Zeit $\tau$ ab Epoche $J2000.0$ ($JDE = 2451545.0$) in julianischen Jahr<wrap em>tausenden</wrap> gemessen, also hat man
$$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\tag{1}$$
$$\tau = \frac{T}{10} = \frac{JDE - 2451545.0}{36525\color{#cc0000}{0}}\tag{2}$$

angegeben. Die Argumente der Sinusfunktion sind in Grad [°], die Koeffizienten in Bogensekunden angegeben.
\[\begin{align}
\Delta\lambda =& +\Lambda\\
&+118\overset{''}{.}568\cdot \sin(87\overset{\circ}{.}5287 + 359993\overset{\circ}{.}7286\cdot \tau) \\
&+2\overset{''}{.}476\cdot \sin(85\overset{\circ}{.}0561 + 719987\overset{\circ}{.}4571\cdot \tau) \\
&+1\overset{''}{.}376\cdot \sin(27\overset{\circ}{.}8502 + 4452671\overset{\circ}{.}1152\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}119\cdot \sin(73\overset{\circ}{.}1375 + 450368\overset{\circ}{.}8564\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}114\cdot \sin(337\overset{\circ}{.}2264 + 329644\overset{\circ}{.}6718\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}086\cdot \sin(222\overset{\circ}{.}5400 + 659289\overset{\circ}{.}3436\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}078\cdot \sin(162\overset{\circ}{.}8136 + 9224659\overset{\circ}{.}7915\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}054\cdot \sin(82\overset{\circ}{.}5823 + 1079981\overset{\circ}{.}1857\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}052\cdot \sin(171\overset{\circ}{.}5189 + 225184\overset{\circ}{.}4282\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}034\cdot \sin(30\overset{\circ}{.}3214 + 4092677\overset{\circ}{.}3866\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}033\cdot \sin(119\overset{\circ}{.}8105 + 337181\overset{\circ}{.}4711\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}023\cdot \sin(247\overset{\circ}{.}5418 + 299295\overset{\circ}{.}6151\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}023\cdot \sin(325\overset{\circ}{.}1526 + 315559\overset{\circ}{.}5560\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}021\cdot \sin(155\overset{\circ}{.}1241 + 675553\overset{\circ}{.}2846\cdot \tau) \\
&+7\overset{''}{.}311\cdot \tau\cdot \sin(333\overset{\circ}{.}4515 + 359993\overset{\circ}{.}7286\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}305\cdot \tau\cdot \sin(330\overset{\circ}{.}9814 + 719987\overset{\circ}{.}4571\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}010\cdot \tau\cdot \sin(328\overset{\circ}{.}5170 + 1079981\overset{\circ}{.}1857\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}309\cdot \tau^2\cdot \sin(241\overset{\circ}{.}4518 + 359993\overset{\circ}{.}7286\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}021\cdot \tau^2\cdot \sin(205\overset{\circ}{.}0482 + 719987\overset{\circ}{.}4571\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}004\cdot \tau^2\cdot \sin(297\overset{\circ}{.}8610 + 4452671\overset{\circ}{.}1152\cdot \tau) \\
&+0\overset{''}{.}010\cdot \tau^3\cdot \sin(154\overset{\circ}{.}7066 + 359993\overset{\circ}{.}7286\cdot \tau) \\
\end{align}\tag{3}\]

{{anchor:taegliche_variation}}

mit $\Lambda = 3548\overset{''}{.}193$ und $\Delta\lambda = \Lambda +d\lambda$. Damit ist die scheinbare geozentrische Länge der Sonne gegeben mit

\[\begin{align}
\lambda_S =& +280\overset{\circ}{.}466449 + \frac{36525^{d}}{3600\tfrac{''}{^\circ}}\cdot T\cdot\Lambda \\
&+ \frac{d\lambda}{3600''} - 0\overset{\circ}{.}00478\cdot\sin(125\overset{\circ}{.}04 - 1934\overset{\circ}{.}136\cdot T)
\end{align}\tag{4}\]

<WRAP center round info 100%>
  * Benötigt man $\Delta\lambda$ zum mittleren Äquinoktium des **Datums**, anstatt eines festes Bezugssystems $J2000$, dann muss der konstante Term $\Lambda = +3548\overset{''}{.}193$ durch $\Lambda = +3548\overset{''}{.}330$ ersetzt werden.
  * Um vom Standardäquinoktium $J2000.0$ in das mittlere Äquinoktium zu gelangen, muss zu $\lambda_S$ noch die Korrektur $+1\overset{\circ}{.}397\cdot T$ addiert werden. Das ist **nicht** erforderlich, wenn $\Lambda = +3548\overset{''}{.}193$ durch $\Lambda = +3548\overset{''}{.}330$ ausgetauscht wird.
  * Erläuterung der Terme:
    * Die periodischen Terme, bei denen $T$ den Koeffizienten $359993.7$, $719987$ oder $1079981$ hat, sind auf die Exzentrizität $\epsilon$ der Erdumlaufbahn zurückzuführen.
    * Die Terme mit $4452671$, $9224660$ oder $4092677$ sind auf die Wirkung des Mondes zurückzuführen;
    * Die Terme mit $450369$, $225184$, $315560$ oder $675553$ sind auf Venus zurückzuführen;
    * Die Terme mit $329645$, $659289$ oder $299296$ sind auf Jupiter zurückzuführen;
    * Schließlich ist der Term mit $337181$ auf die Wirkung des Mars zurückzuführen.
    * Die letzten beiden Terme in der Gleichung für $\lambda_S$ sind die Korrekturen der [[:koordinatenreduktion#aberration|Aberration ]] und [[:koordinatenreduktion#nutation|Nutation]].
    * Man beachte, dass die letzten 7 Terme den Faktor $\tau, \tau^2$ bzw. $\tau^3$ auch im Koeffizienten enthalten!
</WRAP>

===== Geozentrische Breite der Sonne =====

Aufgrund der Wirkung des Mondes und der Planeten ist der Breitengrad $\beta_S$ der Sonne nicht genau $0^{\circ}$. Bezogen auf die Ekliptik des Datums überschreitet die Breite aber nie $1\overset{''}{.}2$. Sofern keine hohe Genauigkeit erforderlich ist, kann die ekliptikale Breite der Sonne $\beta_S = 0^{\circ}$ gesetzt werden.

===== "Low accuracy" Methode (Jean Meeus) =====

Wenn eine Genauigkeit von $0\overset{\circ}{.}01 = 36''$ ausreicht, kann die geozentrische Position der Sonne unter der Annahme einer rein elliptischen Bewegung der Erde berechnet werden; das heißt, die Störungen durch den Mond und die Planeten können vernachlässigt werden. Diese Berechnung kann wie folgt durchgeführt werden.

Sei $JDE$ der julianische (Ephemeriden-)Tag, der [[:julianischer_tag_jd#jd_calc|wie hier beschrieben]] berechnet werden kann. Dann ist die Zeit $T$, gemessen in julianischen Jahrhunderten von 36525 Ephemeridentagen ab der Epoche $J2000.0$ (2000 Januar 1.5 TD), gegeben durch
$$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\tag{5}$$

<WRAP center round important 100%>
Diese Größe sollte mit einer ausreichenden Anzahl von Dezimalstellen berechnet werden. Beispielsweise reichen fünf Dezimalstellen nicht aus (es sei denn, der Längengrad der Sonne wird mit einer Genauigkeit von nicht mehr als einem Grad benötigt): Man beachte, dass $T$ in **Jahrhunderten** ausgedrückt wird, sodass ein Fehler von $0.00001$ in $T$ einem Fehler von $0\overset{d}{.}36526$ Tagen ($\approx 8^{h}46^{m}$) in der Zeit entspricht!
</WRAP>

Die mittlere geometrische Länge der Sonne, bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums, ist dann gegeben durch
\[\begin{align}
L =&\; 280\overset{\circ}{.}46646 \\
&+ 36000\overset{\circ}{.}76983\cdot T\\
&+ 0\overset{\circ}{.}0003032\cdot T^2
\end{align}\tag{6}\]

und weiter ist die mittlere Anomalie der Sonne
\[\begin{align}
M =&\; 357\overset{\circ}{.}52911\\ 
&+ 35999\overset{\circ}{.}05029\cdot T\\
&- 0\overset{\circ}{.}0001537\cdot T^2
\end{align}\tag{7}\]

Die Exzentrizität der Erdbahn ist gegeben durch
\[\begin{align}
\epsilon =&\; 0.016708634\\
&- 0.000042037\cdot T\\
&- 0.0000001267\cdot T^2
\end{align}\tag{8}\]

Mit Hilfe der [[:kegelschnitte#mittelpunktsgleichung|Mittelpunktsgleichung]] $C$ findet man damit die wahre Länge $\odot$ sowie die wahre Anomalie $\nu$ der Sonne. \\ Die Mittelpunktsgleichung lautet
\[\begin{align}
C = &\;\nu - M =\\
&+(1\overset{\circ}{.}914602 - 0\overset{\circ}{.}004817\cdot T - 0\overset{\circ}{.}000014\cdot T^2)\cdot\sin(M)\\
&+(0\overset{\circ}{.}019993 - 0\overset{\circ}{.}000101\cdot T)\cdot\sin(2M)\\
&+0\overset{\circ}{.}000289\cdot\sin(3M)
\end{align}\tag{9}\] 

Damit ist die wahre Länge $\odot$ bzw. die wahre Anomalie $\nu$ der Sonne
$$\odot = L + C\tag{10}$$
$$\nu = M + C\tag{11}$$

Mit der Exzentrizität $\epsilon$ der Erdbahn findet man nun auch den Radiusvektor $R$ (Entfernung Erde-Sonne) mit
$$R = \frac{1.000001018\cdot(1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon\cdot\cos\nu}\tag{12}$$

in [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|astronomischen Einheiten]] $AE$.

Die mit der hier beschriebenen Methode ermittelte Länge $\odot$ der Sonne ist der wahre **geometrische** Länge bezogen auf das **mittlere** Äquinoktium des Datums. Diese Länge ist jene Größe, die beispielsweise bei der Berechnung geozentrischer Planetenpositionen benötigt wird.

Wenn die **scheinbare** Länge $\lambda$ der Sonne, bezogen auf das **wahre** Äquinoktium des Datums, benötigt wird, sollte $\odot$ für die Nutation und die Aberration korrigiert werden. Sofern keine hohe Genauigkeit erforderlich ist, kann dies wie folgt durchgeführt werden. Man berechnet den Hilfswinkel (Länge des aufsteigenden Knotens ☊ der Mondbahn)
$$\Omega = 125\overset{\circ}{.}04 - 1934\overset{\circ}{.}136\cdot T\tag{13}$$

und ermittelt dann
$$\lambda = \odot - 0\overset{\circ}{.}00569 - 0\overset{\circ}{.}00478\cdot\sin\Omega\tag{14}$$

<WRAP center round info 100%>
In manchen Fällen – zum Beispiel wenn man die Positionen von Kometen ermitteln möchte – ist es notwendig, die Länge der Sonne auf das Standard-Äquinoktium $J2000.0$ zu beziehen. Zwischen den Jahren 1900 und 2100 kann dies mit ausreichender Genauigkeit wie folgt durchgeführt werden:
$\odot_{2000} = \odot - 0\overset{\circ}{.}01397\cdot (\textrm{Jahr} - 2000)\tag{15}$
</WRAP>

Mit den zuvor ermittelten Größen sowie der mittleren Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$ kann nun die Rektaszension $\alpha_{\odot}$ und Deklination $\delta_{\odot}$ der Sonne bestimmt werden. Es ist
\[\begin{align}
\varepsilon_0 =&\; 23^{\circ} 26' 21\overset{''}{.}448\\
&- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
&- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
&+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3
\end{align}\tag{16}\]

und damit

$$\tan\alpha_{\odot} = \frac{\cos \varepsilon_0\cdot\sin\odot}{\cos\odot}\tag{17}$$
$$\sin\delta_{\odot} = \sin\varepsilon_0\cdot\sin\odot\tag{18}$$

Für den Arcustangens der Rektaszension sollte hier die [[:der_richtige_quadrant|Methode für den korrekten Quadranten]] verwendet werden.

{{anchor:eps0_info}}
<WRAP center round info 100%>
Man beachte in der Gleichung für $\varepsilon_0$, dass die hinteren Terme in Bogensekunden gegeben sind! Man sollte den ersten Term zuerst in Bogensekunden umwandeln und dann die Berechnung ausführen. Am Schluss muss das Ergebnis durch Division mit 3600 in Grad umgewandelt werden.
\( \begin{align} \varepsilon_0 =&\; \big(84381\overset{''}{.}448\\
&- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
&- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
&+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big) / 3600\tfrac{''}{^\circ} \end{align}\tag{16a}\label{glg_16a} \)
</WRAP>

Wenn die **scheinbare** Position der Sonne gesucht wird, sollte in den obigen Formeln $\lambda$ anstatt $\odot$ verwendet werden, und die Ekliptikschiefe $\varepsilon_0$ muss um die Größe $\color{#cc00cc}{+0\overset{\circ}{.}00256\cdot\cos\Omega}$ korrigiert werden.

<WRAP center round box 100%>
==== Beispiel 1 ====

{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die //scheinbaren geozentrischen// Sonnenkoordinaten für den 21.5.2023 um 10:15** $MESZ$.

---- 

<WRAP center round info 100%>
Im Beispiel wurden alle Werte mittels JavaScript ausgewertet und **alle Kommastellen** stehen gelassen, um dem Leser beim Nachvollziehen der Berechnung diese Werte anzugeben. Es macht natürlich keinen Sinn, so viele Kommastellen in einem Näherungsalgorithmus anzugeben! Es genügt hier mit etwa 5 Nachkommastellen zu rechnen, da $0\overset{\circ}{.}00001 = 0\overset{''}{.}036$ sind, eine Genauigkeit, die der Algorithmus gar nicht liefern kann. Für die Größe von $T$ sollten jedoch alle verfügbaren Nachkommastellen mitgezogen werden!
</WRAP>

**1.** Umrechnung mitteleuropäische Sommerzeit in Weltzeit $UT$:

$UT = MESZ - 2^{h} = \textrm{10:15} - 02^{h} = \textrm{08:15}$

**2.** Nun sollte die Zeitangabe in julianischen Ephemeridentagen $T$ berechnet werden. Der [[julianischer_tag_jd#berechnung_des_jd|julianische Tag]] $JD$ für diesen Zeitpunkt beträgt:

$J = 2023$\\
$M = 5$\\
$D = 21 + \frac{8+\frac{15}{60}}{24} = 21.34375$\\
Hilfswerte\\
$A = \textrm{trunc}\left( \frac{2023}{100} \right) = 20$\\
$B = 2 - 20 + \textrm{trunc}\left( \frac{20}{4} \right) = -13$\\

\( \begin{align}
\notag JD &= \textrm{trunc}(365.25 \cdot (2023 + 4716)) \\
\notag &+ \textrm{trunc}(30.6001 \cdot (5 + 1)) \\
\notag &+ 21.34375 - 13 - 1524.5 = \\
\notag & = 2461419 + 183 - 1516.15625 = \\
\notag & = 2460085.84375
\end{align} \)

**3.** Im Jahr 2023 [[:dynamische_zeit_und_delta_t#delta_t_tab5|war der Wert von $\Delta T = 69^{s}$]], diese müssen hinzugefügt werden, um die Position der Sonne in der gleichmäßigen Skala der dynamischen Zeit $TD$ zu erhalten. Ein Tag hat 86400 Sekunden, daher folgt

\(\begin{align}
JDE &= JD + \frac{69^s}{86400\frac{s}{d}}\\
&= 2460085.844548611
\end{align}\)

Damit erhält man $T$ bezüglich der Epoche $J2000$ mit

$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}$

\(\begin{align}
T &= \frac{2460085.844548611 - 2451545.0}{36525}\\
&= 0.233835579702
\end{align}\)

**4.** Mit diesem Wert von $T$ berechnet man nach den oben stehenden Formeln für $L, M, \epsilon , C, \odot, \nu, R, \Omega, \lambda, \varepsilon_0$ sukzessive

$L = 8698\overset{\circ}{.}727359490504 = 58\overset{\circ}{.}727359$\\
$M = 8775\overset{\circ}{.}387894874912 = 135\overset{\circ}{.}387895$\\
$\epsilon = 0.016698797$\\
$C = 1\overset{\circ}{.}324081$\\
$\odot = L + C = 60\overset{\circ}{.}05144$\\
$\nu = M + C = 136\overset{\circ}{.}711976$\\
$R = 1.012023642\;AE$\\
$\Omega = -327\overset{\circ}{.}23 = 32\overset{\circ}{.}77$\\
$\lambda = 8700\overset{\circ}{.}04316307999 = 60\overset{\circ}{.}043163$\\
$\varepsilon_0 = 23\overset{\circ}{.}436250$

Bei großen bzw. negativen Winkeln wurde die [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]] angewendet.

**5.** Für die //scheinbaren// Koordinaten muss in den Formeln für $\alpha_{\odot}$ und $\delta_{\odot}$ nun $\lambda$ (und nicht $\odot$) eingesetzt werden, mit dem korrigierten Wert für die Ekliptikschiefe

$\varepsilon_0 + 0.00256\cdot \cos \Omega = 23\overset{\circ}{.}438403$

**6.** Für den ''arctan'' bei $\alpha_{\odot}$ überprüft man für den [[:der_richtige_quadrant|korrekten Quadranten]] den Zähler und Nenner separat:

$Z = \cos \varepsilon_0\cdot \sin \lambda = 0.7949134776$\\
$N = \cos \lambda = 0.4993474485 \gt 0$\\

Der Nenner ist größer als 0, daher muss der ''arctan'' nicht korrigiert werden:

$\alpha_{\odot} = \arctan \left( \frac{0.794913}{0.499347}\right)$\\
$\alpha_{\odot} = 57\overset{\circ}{.}863851$
          
\(\begin{align}
\delta_{\odot} &= \arcsin\big(\sin (23\overset{\circ}{.}438403)\cdot \sin (60\overset{\circ}{.}043163)\big)\\
\delta_{\odot} &= +20\overset{\circ}{.}158755
\end{align}\)

Die Umrechnung in $hms$ ergibt

\(\begin{align}
\alpha_{\odot} &= \frac{57\overset{\circ}{.}863851}{15\tfrac{\circ}{h}}\\
&= 3\overset{h}{.}8575900666667 = 3^{h}51'27\overset{''}{.}324\\
\delta_{\odot} &= +20\overset{\circ}{.}158755 = +20^{h}09'31\overset{''}{.}518
\end{align}\)


{{anchor:bsp_01}}
Zum Vergleich die Daten des Programms GUIDE 8 für den gegebenen Zeitpunkt:

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}}
^  Tabelle 1  ^|||
^  ^  dieses Beispiel  ^  GUIDE 8  ^  Differenz  ^
|  $\alpha_{\odot} =$ |  $3^{h}51'27\overset{''}{.}324$  |  $3^{h}51'27\overset{''}{.}538$  |  $-0\overset{''}{.}214$  |
|  $\delta_{\odot} =$ |  $+20^{h}09'31\overset{''}{.}518$  |  $+20^{\circ} 09' 32\overset{''}{.}28$ |  $-0\overset{''}{.}762$  |
|  $R=$  |  $1.012023642 \textsf{ AE}$  |  $1.01201784 \textsf{ AU}$  |  $5.802\cdot 10^{-6}\textsf{ AE} = 868\textsf{ km}$  |
</WRAP>

===== "Higher accuracy" Methode (Jean Meeus) =====

Eine höhere Genauigkeit der Sonnenkoordinaten wird dadurch erreicht, dass man die **helio**zentrischen Erdkoordinaten mithilfe einer Planetentheorie berechnet. Diese Koordinaten werden dann in **geo**zentrische Koordinaten der Sonne umgerechnet, und daraus werden dann die [[:koordinatenreduktion#die_scheinbare_position|scheinbaren]], äquatorialen Koordinaten der Sonne ermittelt. Verwendet man z.B. die komplette VSOP87 Planetentheorie, erhält man die Sonnenkoordinaten in einer Genauigkeit, die für die allermeisten Anwendungen mehr als ausreichend ist.

J. Meeus verwendet in den "[[literaturhinweise#books_meeus|Astronomical Algorithms]]" nicht die komplette VSOP87 Theorie, welche sehr viele Terme enthält, sondern eine gekürzte Theorie mit den wichtigsten Korrekturtermen. Die so berechneten Sonnenkoordinaten weichen im Zeitraum $-2000$ bis $+6000$ um maximal $1''$ ab.

**Der Algorithmus läuft folgendermaßen ab:**

**0.)** Ermittlung von $JD$, $T$ und $\tau$ aus den gegebenem Zeitpunkt.

Zuerst wird für den gesuchten Zeitpunkt der Julianische Tag bestimmt und durch Addition von $\Delta T$ der dynamische Zeitpunkt ermittelt. $\Delta T$ kann [[dynamische_zeit_und_delta_t#berechnung_mit_polynomen|berechnet werden]] oder wird einer [[dynamische_zeit_und_delta_t#vorhersage_fuer_delta_t_laut_iers_prediction_center|Tabelle entnommen]].

\[\begin{align}
T &= \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\\[2.0ex]
\tau &= \frac{T}{10} = \frac{JDE - 2451545.0}{36525\color{#ff0000}{0}}
\end{align}\tag{19}\]

**1.)** Umrechnung heliozentrisch => geozentrisch

Man verwendet die gekürzten Tabellen der VSOP87D, um mithilfe von $\tau$ die heliozentrischen Koordinaten $L, B, R$ der Erde zu berechnen. Die entsprechenden Tabellen sind [[tabellen:erde_vsop87|hier zu finden]]. Die erhaltenen Werte sind in Radiant für $L$ und $B$ bzw. in Astronomischen Einheiten $AU$ für den Radiusvektor $R$. Die Werte für $L, B$ sollten [[mathematische_grundlagen#grad-_und_bogenmass|in Grad umgerechnet]] werden. \\
Für die //geozentrische// Länge der Sonne $\odot$ addiert man dann $180^{\circ}$ zum Wert von $L$, und für die //geozentrische// Breite $\beta$ muss das Vorzeichen von $B$ getauscht werden. Wie man sieht wird die geozentrische Breite der Sonne in diesem Algorithmus //nicht// vernachlässigt, im Gegensatz zur "Lower accuracy" Methode.

\[\begin{align}
\odot &= L + 180^{\circ}\\[2.0ex]
\beta &= -B
\end{align}\tag{20}\]

**2.)** Eine Umrechnung in das Standardsystem FK5 (Fundamentalkatalog) wird hier kaum zu wesentlichen Verbesserungen führen, diese Änderung ist minimal und sollte nur bei hochgenauen Berechnungen mittels der kompletten VSOP87 verwendet werden. Sie sollte dennoch erwähnt werden. Man berechne zunächst $\lambda'$ mittels

$$\lambda' = \odot - 1.397\cdot T - 0.00031\cdot T^2\tag{21}$$ und daraus die Änderungen (in Grad!)

\[\begin{align}
\Delta\odot &= \frac{-0\overset{''}{.}09033}{3600\tfrac{''}{\circ}}\\[2.0ex]
\Delta\beta &= \frac{0\overset{''}{.}03916\cdot\left(\cos \lambda' - \sin \lambda'\right)}{3600\tfrac{''}{\circ}}\tag{22}
\end{align}\]

Werte addieren zu den zuvor berechneten Größen:

\[\begin{align}
\odot_{corr} &= \odot + \Delta\odot\\[2.0ex]
\beta &= \beta + \Delta\beta\tag{23}
\end{align}\]

Man sieht, dass die Änderung $\Delta\odot$ nicht von $T$ abhängt (konstant).

**3.)** Für die //scheinbaren// Sonnenkoordinaten muss jetzt noch die [[nutation_hoehere_genauigkeit|Nutation in Länge bzw. Schiefe]] ($\Delta\lambda$ bzw. $\Delta\varepsilon$) berücksichtigt werden, sowie die [[astronomische_begriffe#aberration|Aberration]]. Die Aberrationskonstante $k$ erhält man mit ausreichender Genauigkeit über

\[k = \frac{-20\overset{''}{.}4898}{R}\tag{24}\]

mit $R$ in astronomischen Einheiten.

Die wahre Ekliptikschiefe $\varepsilon$ zum Äquinoktium des Datums erhält man über $\varepsilon_0$ (siehe Glg.$\eqref{glg_16a}$) mit

\[\varepsilon = \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon\tag{25}\]

**4.)** Man erhält damit

$$\lambda = \odot_{corr} + \frac{\Delta\lambda + k}{3600\tfrac{''}{\circ}}\tag{26}$$

sowie $\beta$ (siehe oben).

**5.)** Die Koordinatentransformation in das äquatoriale System erfolgt über [[koordinatentransformation#aequatorial|diese Beziehungen]], welche geschrieben werden können als
\[\begin{align}
\alpha_{\odot} &= \textrm{arctan2}\left(\frac{\sin\lambda\cdot\cos\varepsilon - \tan\beta\cdot\sin\varepsilon}{\cos\lambda}\right)\\
\delta_{\odot} &= \arcsin\left(\sin\beta\cdot\cos\varepsilon + \cos\beta\cdot\sin\varepsilon\cdot\sin\lambda\right)
\tag{27}\label{glg_27}\end{align}\]

Damit sind die scheinbaren, geozentrischen Koordinaten $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}$ bestimmt. Der Radiusvektor $R$ zur Sonne ändert sich bei der Umrechnung ins äquatoriale System nicht. Natürlich können diese äquatorialen Werte auf Wunsch noch in das topozentrische System (Beobachter auf der Erdoberfläche) umgerechnet werden.

<WRAP center round box 100%>
==== Beispiel 2 ====

{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne erneut die //scheinbaren, geozentrischen// Sonnenkoordinaten für den 21.5.2023 um 10:15** $MESZ$ mit dem genaueren Algorithmus.

<WRAP center round info 100%>
Für die Anzahl der Kommastellen gilt derselbe Hinweis wie unter Beispiel 1.
</WRAP>

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**0.)** In [[#beispiel_1|Beispiel 1]] sind $JDE$ und $T$ für den gegebenen Zeitpunkt bereits errechnet worden. Die Korrektur mit $\Delta T$ ist dabei bereits berücksichtigt.

\(\begin{align}
JDE &= 2460085.844548611\\
T &= 0.233835579702
\end{align}\)

Damit ist $\tau$

$\tau = \frac{T}{10} = 0.0233835579702$

Für die Nutationswerte dieses Zeitpunkts siehe [[nutation_hoehere_genauigkeit#beispiel|dieses Beispiel]]. Die Werte in Grad lauten

\(\begin{align}
\Delta\lambda &= −10\overset{''}{.}205573265\\
&=-0\overset{\circ}{.}00283488146250\\
\Delta\varepsilon &= +7\overset{''}{.}319936709\\
&= 0\overset{\circ}{.}002033315752537
\end{align}\)

**1.)** Die Berechnung von $L, B, R$ mit der gekürzten Version der VSOP87D ergibt

\(\begin{align}
L &= 148\overset{rad}{.}7029680023858\\
B &= -0\overset{rad}{.}000002382470533466915\\
R &= 1\overset{\small{AU}}{.}012017220389299
\end{align}\)

Die [[mathematische_grundlagen#gradmass|Umrechnung in Grad]] liefert (mithilfe der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]])

\(\begin{align}
L &= 240\overset{\circ}{.}05246760563205\\
B &= -0\overset{\circ}{.}00013650550638\\
R &= 1\overset{\small{AU}}{.}012017220389299
\end{align}\)

Man erhält daher

\(\begin{align}
\odot &= L + 180^{\circ} =\\
&= 240\overset{\circ}{.}05246760563205 + 180^{\circ}\\
&= 420\overset{\circ}{.}05246760563205 =\\
&= 60\overset{\circ}{.}052467605632046\\
\beta &= -B = +0\overset{\circ}{.}00013650550638\\
R &= 1.012017220389299
\end{align}\)

**2.)** Die Umrechnung in das FK5-System liefert

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="520px"}}
|\(\begin{align}
\lambda' &= \odot - 1.397\cdot T - 0.00031\cdot T^2\\
\lambda' &= 60\overset{\circ}{.}052467605632046 - 1.397\cdot T - 0.00031\cdot T^2\\
\lambda' &= 59\overset{\circ}{.}725782350274244
\end{align}\)|

\(\begin{align}
\Delta\odot &= \frac{-0\overset{''}{.}09033}{3600\tfrac{''}{\circ}}\\
\Delta\odot &= -0\overset{\circ}{.}00002509166667\\
\Delta\beta &= \frac{0\overset{''}{.}03916\cdot\left(\cos \lambda' - \sin \lambda'\right)}{3600\tfrac{''}{\circ}}\\
\Delta\beta &= -0\overset{\circ}{.}00000391038095
\end{align}\)

und damit

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="520px"}}
|\(\begin{align}
\odot_{corr} &= \odot + \Delta\odot\\
&= 60\overset{\circ}{.}052467605632046 - 0\overset{\circ}{.}00002509166667\\
&= 60\overset{\circ}{.}05244251396538\\
\beta &= \beta + \Delta\beta\\
\beta &= +0\overset{\circ}{.}00013650550638 -0\overset{\circ}{.}00000391038095\\
\beta &= 0\overset{\circ}{.}00013259512542914564
\end{align}\)|

**3.)** Die Aberrationskonstante ergibt

\(\begin{align}
k &= \frac{-20\overset{''}{.}4898}{R}\\
&= \frac{-20\overset{''}{.}4898}{1.012017220389299}\\
&= -20\overset{''}{.}246493426384642\\
&= -0\overset{\circ}{.}005624025951773512
\end{align}\)

und die wahre Ekliptikschiefe ist

\( \begin{align}
\varepsilon_0 =&\; \big(84381\overset{''}{.}448\\
&- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
&- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
&+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big) / 3600\tfrac{''}{^\circ}\\
=& 23\overset{\circ}{.}436250271737904
\end{align} \)

\( \begin{align}
\varepsilon &= \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon\\
&= 23\overset{\circ}{.}436250271737904\\
&+ 0\overset{\circ}{.}002033315752537\\
&= 23\overset{\circ}{.}438283587490442
\end{align} \)

**4.)** Die scheinbare, ekliptikale Länge und Breite ist damit gegeben durch

\( \begin{align}
\lambda &= \odot_{corr} + \Delta\lambda + k\\
&= 60\overset{\circ}{.}05244251396538\\
&+(-0\overset{\circ}{.}00283488146250)\\
&+(-0\overset{\circ}{.}00562402595177)\\
&= 60\overset{\circ}{.}04398360655111\\
\beta &= 0\overset{\circ}{.}00013259512543
\end{align} \)

**5.)** Einsetzen dieser Werte in Gleichungen$\eqref{glg_27}$ liefert

\( \begin{align}
\alpha_{\odot} &= 57\overset{\circ}{.}86469823679008\\
\delta_{\odot} &= +20\overset{\circ}{.}158957578077153
\end{align}\)

$\alpha_{\odot}$ muss noch in Stunden und dann in $hms$ umgerechnet werden:

\( \begin{align}
\alpha_{\odot} &= \frac{57\overset{\circ}{.}86469823679008}{15\tfrac{\circ}{h}}\\
&= 3\overset{h}{.}857646549119339\\
&= 3^{h}51'27\overset{''}{.}528
\end{align}\)

Für die Deklination ergibt sich

\( \begin{align}
\delta_{\odot} &= +20\overset{\circ}{.}158957578077153\\
&= 20^{\circ}09'32\overset{''}{.}25
\end{align}\)

Zum Vergleich abermals die Daten aus dem Programm GUIDE 8 für den gegebenen Zeitpunkt. Man vergleiche diese Ergebnisse mit jenen von [[#bsp_01|Beispiel 1]].

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}}
^  Tabelle  2  ||||
^  ^  dieses Beispiel  ^  GUIDE 8  ^  Differenz  ^
|  $\alpha_{\odot} =$  |  $3^{h}51'27\overset{''}{.}528$  |  $3^{h}51'27\overset{''}{.}538$  |  $-0\overset{''}{.}01$  |
|  $\delta_{\odot} =$  |  $+20^{\circ} 09' 32\overset{''}{.}25$  |  $+20^{\circ} 09' 32\overset{''}{.}28$  |  $-0\overset{''}{.}03$  |
|  $R=$  |  $1.0120172203893 \textsf{ AU}$  |  $1.01201784 \textsf{ AU}$  |  $6.1961\cdot 10^{-6}\textsf{ AE} = 92.7\textsf{ km}$  |
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===== Rechtwinkelige Koordinaten der Sonne =====

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