EphemPedia

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====== Rechtwinkelige Sonnenkoordinaten ======

Für die Berechnung einer Ephemeride eines Kleinplaneten oder eines Kometen werden die rechtwinkeligen, geozentrischen äquatorialen Koordinaten $X, Y, Z$ der Sonne benötigt. Der Ursprung dieser Koordinaten ist der Mittelpunkt der Erde. Die $X$-Achse ist auf die Frühlings-Tagundnachtgleiche ($\lambda = 0^{\circ}$) gerichtet; Die $Y$-Achse liegt ebenfalls in der Äquatorebene und ist auf den Längengrad $90^{\circ}$ ausgerichtet, während die $Z$-Achse auf den Himmelsnordpol gerichtet ist.

Die Werte von $X, Y, Z$ werden für jeden Tag um $0^{h} TD$ in den großen astronomischen Almanachen angegeben. Sie werden in [[:astronomische_begriffe#astronomische_einheit|astronomischen Einheiten]] $AE$ ausgedrückt. Im Allgemeinen beziehen sie sich nicht auf den mittleren Äquator und das mittlere Äquinoktium des Datums, sondern auf ein Standard-Äquinoktium, beispielsweise jenes von $J2000.0$.

===== Rechtwinkelige Koordinaten für das mittlere Äquinoktium des Datums ===== 

Man berechnet zunächst die geometrischen Koordinaten der Sonne, jedoch **ohne** die Korrekturen für Nutation und Aberration.
Wenn $\odot$ und $\beta$ der geometrische Längen- und Breitengrad der Sonne und $R$ ihr Radiusvektor in astronomischen Einheiten sind, dann sind die erforderlichen rechtwinkligen Koordinaten der Sonne, bezogen auf den //mittleren// Äquator und das Äquinoktium des Datums, gegeben durch

\[\begin{align}
X &= R\cdot\cos(\beta)\cdot\cos(\odot)\\
Y &= R\cdot\big(\cos(\beta)\cdot\sin(\odot)\cdot\cos(\varepsilon)-\sin(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)\big)\\
Z &= R\cdot\big(\cos(\beta)\cdot\sin(\odot)\cdot\sin(\varepsilon)+\sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon)\big)
\end{align}\tag{1}\]

Da der Breitengrad der Sonne, bezogen auf die Ekliptik des Datums, niemals $1\overset{''}{.}2$ Bogensekunden überschreitet, kann man in den Formeln oft $\cos \beta \approx 1$ und $\sin \beta \approx 0$ einsetzen und erhält vereinfacht:

\[\begin{align}
X &= R\cdot\cos(\odot)\\
Y &= R\cdot\sin(\odot)\cdot\cos(\varepsilon)\\
Z &= R\cdot\sin(\odot)\cdot\sin(\varepsilon)
\end{align}\tag{2}\]

Die (mittlere) Ekliptikschiefe $\varepsilon_0$ ist eine Veränderliche in julianischen Jahrhunderten $T$, wobei

$$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\tag{3}$$

ist und damit

\[\begin{align}
\varepsilon_0 &= 23\overset{\circ}{.}439291111\\
&- \big(46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
&- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
&+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ}
\end{align}\tag{4}\]

oder mit dem ersten Term in Bogensekunden
{{anchor:epsilon0}}
\[\begin{align}
\varepsilon_0 &= \big(84381\overset{''}{.}448\\
&- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
&- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
&+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ}
\end{align}\tag{5}\]

<WRAP center round box 100%>
==== Beispiel ====

{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die rechtwinkeligen geozentrischen äquatorialen Koordinaten der Sonne für den 21.5.2023 um 10:15** $MESZ$

----

Für den gegebenen Zeitpunkt wurden die folgenden Werte bereits in [[:sonnenposition#beispiel|diesem Beispiel]] ermittelt:

$JD = 2460085.84375$\\
$\Delta T = 69^{s}$\\
$JDE = 2460085.844548611$\\
$T = 0.233835579702$\\
$\odot = 60\overset{\circ}{.}05144$\\
$R = 1.012023642 \textsf{ AE}$

Weil in diesem Beispiel die Breite $\beta_{\odot}$ der Sonne $0$ gesetzt wurde (schneller Algorithmus), kann man die verkürzte Version der Gleichungen für $X,Y,Z$ nehmen.

Die Ekliptikschiefe zum Äquinoktium des Datums beträgt mittels $T$

\(\begin{align}
\varepsilon_{0} &= \big(84381\overset{''}{.}448\\
                &- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
                &- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
                &+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ}\\
                &= 23\overset{\circ}{.}436250
\end{align}\)

Damit sind die gesuchten rechtwinkeligen Sonnenkoordinaten

\(\begin{align}
X &= R\cdot \cos \odot = 0.5052248\textsf{ AE}\\
Y &= R\cdot \sin \odot \cdot \cos \varepsilon = 0.8045513\textsf{ AE}\\
Z &= R\cdot \sin \odot \cdot \sin \varepsilon = 0.3487650\textsf{ AE}
\end{align}\)
</WRAP>