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====== Pluto ======

Pluto wurde ursprünglich am 18.2.1930 von [[portraits#tombaugh|C. Tombaugh]] entdeckt und galt als 9. Planet des Sonnensystems. Seit dem 24.8.2006 wird Pluto von der Internationalen Astronomische Union (IAU) nur mehr als **Zwergplanet** geführt. Trotz dieses Umstands wird nachfolgend eine Berechnungsmethode für Plutos heliozentrische Koordinaten angegeben.

<imgcaption image1|>{{ ::pluto_charon.png?600 |Pluto (rechts) mit seinem Mond Charon}}</imgcaption>

Wie für zahlreiche Kleinplaneten gibt es **keine analytische Theorie** zur Bewegung Plutos (Stand 1992). Es gibt jedoch Ausdrücke für eine genaue Darstellung der Planetenbewegung ($J2000.0$-Koordinaten) für die Jahre **1885 bis 2099**. Die Koeffizienten der periodischen Terme wurden mit der Methode der kleinsten Quadrate auf der Grundlage einer durchgeführten numerischen Integration der heliozentrischen Bewegung von Pluto bestimmt von [[http://www.solexorb.it/AV/Biography.html|Prof. Aldo Vitagliano]] von der Universität Neapel, Italien. Störungen durch die ersten acht großen Planeten und die drei großen Asteroiden wurden dabei berücksichtigt.

Diese numerische Integration selbst basierte auf einem Modell und einer Reihe von Startbedingungen, die durch eine Anpassung der kleinsten Quadrate an die DE405-Ephemeride optimiert wurden, die am Jet Propulsion Laboratory (JPL) in den USA entwickelt wurde.
Für die Berechnung wurde die gleiche Methode wie in einer früheren Untersuchung verwendet, bezieht nun jedoch Plutos heliozentrische Längen- und Breitengrade auf die neue Standardepoche $J2000.0$. Die Ergebnisse der Koeffizienten sind in untenstehender [[#pluto_tabelle1|Tabelle 1]] aufgeführt.

===== Berechnungsmethode I =====

Die Theorie ist im [[:literaturhinweise#books_meeus|J. Meeus]] (Astronomische Algorithmen) zu finden. Man berechnet die [[:julianischer_tag_jd|julianischen Jahrhunderte $T$]] bezüglich der Epoche $J2000.0$ und damit die folgenden Winkel (in Grad):

\[\begin{align}
J =\;& 34\overset{\circ}{.}35 + 3034\overset{\circ}{.}9057\cdot T \\
S =\;& 50\overset{\circ}{.}08 + 1222\overset{\circ}{.}1138\cdot T \\
P =\;& 238\overset{\circ}{.}96 + 144\overset{\circ}{.}9600\cdot T
\end{align}\tag{1}\]

Dann berechnet man die in der [[#pluto_tabelle1|Tabelle 1]] angegebenen periodischen Terme. In jeder Zeile ist das Argument $\alpha$ eine Linearkombination der Winkel $J$, $S$ und $P$, nämlich

$$\alpha = i\cdot J + j\cdot S + k\cdot P\tag{2}$$

wobei $i, j, k$ kleine ganze Zahlen sind, die in den jeweiligen Spalten von $J,S,P$ angegeben sind. Der Beitrag jedes Arguments ist dann

$$A \cdot \sin(\alpha) + B \cdot \cos(\alpha)\tag{3}$$

<WRAP center round box 100%>
**Beispiel**

In der **13. Zeile** von **Tabelle 1** stehen die Zahlen $i=0$, $j=2$ und $k=-1$, also ist das Argument hier $\alpha = 2\cdot S - P$, und der Beitrag für die heliozentrische Breite lautet $-122\cdot \sin\alpha + 175\cdot \cos\alpha$.
</WRAP>

In **Tabelle 1** sind die numerischen Werte der Koeffizienten $A$ und $B$ für den Längen- und Breitengrad in Einheiten von $10^{-6}$ Grad und für den Radiusvektor $r$ in Einheiten von $10^{-7}\;AE$ angegeben.

Die heliozentrische Länge und Breite $l,\;b$ (beide in Grad) und der Radiusvektor $r$ von Pluto sind dann gegeben durch

\[\begin{align}
l =&\; 238\overset{\circ}{.}958116 + 144\overset{\circ}{.}96\cdot T + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Länge}}{10^{6}}\\
b =&\; -3\overset{\circ}{.}908239 + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Breite}}{10^{6}}\\
r =&\; 40.7241346\text{ AE} + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Radius}}{10^{7}}
\end{align}\tag{4}\]

Die mit dieser Methode ermittelten Längen- und Breitengrade sind heliozentrisch, nicht baryzentrisch, und werden auf die Standardepoche $J2000.0$ bezogen. Auf diese Weise berechnet beträgt der Fehler in Länge $l$ weniger als $0\overset{''}{.}07$, in Breite $b$ weniger als $0\overset{''}{.}02$ und für den Radiusvektor $r$ weniger als $0.000006\;AE$, bezogen auf die vollständige numerische Integration, auf der diese Darstellung der Bewegung von Pluto basiert.

<WRAP center round important 100%>
Es ist wichtig zu beachten, wie bereits erwähnt, dass die hier angegebene Methode außerhalb des Zeitraums 1885-2099 **nicht gültig** ist.
</WRAP>

{{anchor:pluto_tabelle1}}

Die **Tabelle 1** für die periodischen Terme der heliozentrischen Koordinaten Plutos. Die erste Spalte ist die Nummerierung der Zeile und dient nur der Referenzierung, hier stehen **keine Rechenwerte**.

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="1.1cm,1.1cm,1.1cm,1.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm"&float=center}}
^  Tabelle 1  ||||||||||
^  #          ^  Argumente  ||^  Länge $l$  |^  Breite $b$  |^  Radius $r$  ||
|  $n$        |  $J$        |  $S$   |  $P$   |  $A$         |  $B$         |  $A$         |  $B$         |  $A$         |  $B$         |
|  $01$       |  $+0$       |  $+0$  |  $+1$  |  $-19799805$ |  $+19850055$ |   $-5452852$ |  $-14974862$ |  $+66865439$ |  $+68951812$ |
|  $02$       |  $+0$       |  $+0$  |  $+2$  |  $  +897144$ |  $ -4954829$ |   $+3527812$ |  $ +1672790$ |  $-11827535$ |  $  -332538$ |
|  $03$       |  $+0$       |  $+0$  |  $+3$  |  $  +611149$ |  $ +1211027$ |   $-1050748$ |  $  +327647$ |  $ +1593179$ |  $ -1438890$ |
|  $04$       |  $+0$       |  $+0$  |  $+4$  |  $  -341243$ |  $  -189585$ |   $ +178690$ |  $  -292153$ |  $   -18444$ |  $  +483220$ |
|  $05$       |  $+0$       |  $+0$  |  $+5$  |  $  +129287$ |  $   -34992$ |   $  +18650$ |  $  +100340$ |  $   -65977$ |  $   -85431$ |
|  $06$       |  $+0$       |  $+0$  |  $+6$  |  $   -38164$ |  $   +30893$ |   $  -30697$ |  $   -25823$ |  $   +31174$ |  $    -6032$ |
|  $07$       |  $+0$       |  $+1$  |  $-1$  |  $   +20442$ |  $    -9987$ |   $   +4878$ |  $   +11248$ |  $    -5794$ |  $   +22161$ |
|  $08$       |  $+0$       |  $+1$  |  $+0$  |  $    -4063$ |  $    -5071$ |   $    +226$ |  $      -64$ |  $    +4601$ |  $    +4032$ |
|  $09$       |  $+0$       |  $+1$  |  $+1$  |  $    -6016$ |  $    -3336$ |   $   +2030$ |  $     -836$ |  $    -1729$ |  $     +234$ |
|  $10$       |  $+0$       |  $+1$  |  $+2$  |  $    -3956$ |  $    +3039$ |   $     +69$ |  $     -604$ |  $     -415$ |  $     +702$ |
|  $11$       |  $+0$       |  $+1$  |  $+3$  |  $     -667$ |  $    +3572$ |   $    -247$ |  $     -567$ |  $     +239$ |  $     +723$ |
|  $12$       |  $+0$       |  $+2$  |  $-2$  |  $    +1276$ |  $     +501$ |   $     -57$ |  $       +1$ |  $      +67$ |  $      -67$ |
|  $13$       |  $+0$       |  $+2$  |  $-1$  |  $    +1152$ |  $     -917$ |   $    -122$ |  $     +175$ |  $    +1034$ |  $     -451$ |
|  $14$       |  $+0$       |  $+2$  |  $+0$  |  $     +630$ |  $    -1277$ |   $     -49$ |  $     -164$ |  $     -129$ |  $     +504$ |
|  $15$       |  $+1$       |  $-1$  |  $+0$  |  $    +2571$ |  $     -459$ |   $    -197$ |  $     +199$ |  $     +480$ |  $     -231$ |
|  $16$       |  $+1$       |  $-1$  |  $+1$  |  $     +899$ |  $    -1449$ |   $     -25$ |  $     +217$ |  $       +2$ |  $     -441$ |
|  $17$       |  $+1$       |  $+0$  |  $-3$  |  $    -1016$ |  $    +1043$ |   $    +589$ |  $     -248$ |  $    -3359$ |  $     +265$ |
|  $18$       |  $+1$       |  $+0$  |  $-2$  |  $    -2343$ |  $    -1012$ |   $    -269$ |  $     +711$ |  $    +7856$ |  $    -7832$ |
|  $19$       |  $+1$       |  $+0$  |  $-1$  |  $    +7042$ |  $     +788$ |   $    +185$ |  $     +193$ |  $      +36$ |  $   +45763$ |
|  $20$       |  $+1$       |  $+0$  |  $+0$  |  $    +1199$ |  $     -338$ |   $    +315$ |  $     +807$ |  $    +8663$ |  $    +8547$ |
|  $21$       |  $+1$       |  $+0$  |  $+1$  |  $     +418$ |  $      -67$ |   $    -130$ |  $      -43$ |  $     -809$ |  $     -769$ |
|  $22$       |  $+1$       |  $+0$  |  $+2$  |  $     +120$ |  $     -274$ |   $      +5$ |  $       +3$ |  $     +263$ |  $     -144$ |
|  $23$       |  $+1$       |  $+0$  |  $+3$  |  $      -60$ |  $     -159$ |   $      +2$ |  $      +17$ |  $     -126$ |  $      +32$ |
|  $24$       |  $+1$       |  $+0$  |  $+4$  |  $      -82$ |  $      -29$ |   $      +2$ |  $       +5$ |  $      -35$ |  $      -16$ |
|  $25$       |  $+1$       |  $+1$  |  $-3$  |  $      -36$ |  $      -29$ |   $      +2$ |  $       +3$ |  $      -19$ |  $       -4$ |
|  $26$       |  $+1$       |  $+1$  |  $-2$  |  $      -40$ |  $       +7$ |   $      +3$ |  $       +1$ |  $      -15$ |  $       +8$ |
|  $27$       |  $+1$       |  $+1$  |  $-1$  |  $      -14$ |  $      +22$ |   $      +2$ |  $       -1$ |  $       -4$ |  $      +12$ |
|  $28$       |  $+1$       |  $+1$  |  $+0$  |  $       +4$ |  $      +13$ |   $      +1$ |  $       -1$ |  $       +5$ |  $       +6$ |
|  $29$       |  $+1$       |  $+1$  |  $+1$  |  $       +5$ |  $       +2$ |   $      +0$ |  $       -1$ |  $       +3$ |  $       +1$ |
|  $30$       |  $+1$       |  $+1$  |  $+3$  |  $       -1$ |  $       +0$ |   $      +0$ |  $       +0$ |  $       +6$ |  $       -2$ |
|  $31$       |  $+2$       |  $+0$  |  $-6$  |  $       +2$ |  $       +0$ |   $      +0$ |  $       -2$ |  $       +2$ |  $       +2$ |
|  $32$       |  $+2$       |  $+0$  |  $-5$  |  $       -4$ |  $       +5$ |   $      +2$ |  $       +2$ |  $       -2$ |  $       -2$ |
|  $33$       |  $+2$       |  $+0$  |  $-4$  |  $       +4$ |  $       -7$ |   $      -7$ |  $       +0$ |  $      +14$ |  $      +13$ |
|  $34$       |  $+2$       |  $+0$  |  $-3$  |  $      +14$ |  $      +24$ |   $     +10$ |  $       -8$ |  $      -63$ |  $      +13$ |
|  $35$       |  $+2$       |  $+0$  |  $-2$  |  $      -49$ |  $      -34$ |   $      -3$ |  $      +20$ |  $     +136$ |  $     -236$ |
|  $36$       |  $+2$       |  $+0$  |  $-1$  |       $+163$ |  $      -48$ |   $      +6$ |  $       +5$ |  $     +273$ |  $    +1065$ |
|  $37$       |  $+2$       |  $+0$  |  $+0$  |  $       +9$ |  $      -24$ |   $     +14$ |  $      +17$ |  $     +251$ |  $     +149$ |
|  $38$       |  $+2$       |  $+0$  |  $+1$  |  $       -4$ |  $       +1$ |   $      -2$ |  $       +0$ |  $      -25$ |  $       -9$ |
|  $39$       |  $+2$       |  $+0$  |  $+2$  |  $       -3$ |  $       +1$ |   $      +0$ |  $       +0$ |  $       +9$ |  $       -2$ |
|  $40$       |  $+2$       |  $+0$  |  $+3$  |  $       +1$ |  $       +3$ |   $      +0$ |  $       +0$ |  $       -8$ |  $       +7$ |
|  $41$       |  $+3$       |  $+0$  |  $-2$  |  $       -3$ |  $       -1$ |   $      +0$ |  $       +1$ |  $       +2$ |  $      -10$ |
|  $42$       |  $+3$       |  $+0$  |  $-1$  |  $       +5$ |  $       -3$ |   $      +0$ |  $       +0$ |  $      +19$ |  $      +35$ |
|  $43$       |  $+3$       |  $+0$  |  $+0$  |  $       +0$ |  $       +0$ |   $      +1$ |  $       +0$ |  $      +10$ |  $       +3$ |

===== Berechnungsmethode II =====

Diese Theorie stammt aus der DE200 von [[:literaturhinweise#books_mont1|O. Montenbruck & T. Pfleger]] (Astronomie mit dem Personal Computer). Sie startet mit den mittleren Anomalien von Jupiter (5), Saturn (6) und Pluto (9) mit [[:julianischer_tag_jd|julianischen Jahrhunderte $T$]] bezüglich der Epoche $J2000.0$:
\[\begin{align}
M_5 =&\; 20\overset{\circ}{.}351304 + 2880\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 154\overset{\circ}{.}906668 \cdot T \\
M_6 =&\; 317\overset{\circ}{.}875212 + 1080\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 142\overset{\circ}{.}116768 \cdot T \\
M_9 =&\; 13\overset{\circ}{.}888620 + 0\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 144\overset{\circ}{.}960012 \cdot T
\end{align}\tag{5}\]

Die heliozentrisch ekliptikalen Koordinaten $l, b, r$ und des Zwergplaneten sind dann mit der Addition der Störterme $\mathrm{d}l, \mathrm{d}b, \mathrm{d}r$ aus der unten stehenden **Tabelle 2**:

\[\begin{align}
\text{Länge: } l =&\; M_9 + 224\overset{\circ}{.}368884 + \frac{\mathrm{d}l}{3600''} \\
\text{Breite: } b =&\; -3\overset{\circ}{.}909434 + \frac{\mathrm{d}b}{3600''} \\
\text{Radius: } r =&\; 40.7247248\text{ AE} + \frac{\mathrm{d}r}{10^5}\text{ AE}
\end{align}\tag{6}\]

Die Störungsterme sind in folgender Weise aufgebaut: Der erste Term steht für ein Vielfaches $q_n$ der mittleren Anomalie Plutos. Die zweiten und dritten Terme stehen für ein Vielfaches $s_n$ und $t_n$ der mittleren Anomalien der beiden störenden Planeten Jupiter und Saturn. $224\overset{\circ}{.}368884$ ist die Perihellänge in dieser Theorie.

\[\begin{align}
\mathrm{d}l =&\; \sum_{n=1}^{28} a_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + b_n\cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \\
\mathrm{d}b =&\; \sum_{n=1}^{28} c_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + d_n \cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \\
\mathrm{d}r =&\; \sum_{n=1}^{28} e_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + f_n\cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \end{align}\tag{7}\]

Die zugehörige **Tabelle 2** hat die wichtigsten Koeffizienten und Multiplikatoren für die Störungsterme $\mathrm{d}l, \mathrm{d}b, \mathrm{d}r$. Die erste Spalte ist die Nummerierung der Zeile und dient nur der Referenzierung, hier stehen **keine Rechenwerte**.

{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="1.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,1.1cm,1.1cm,1.1cm"&float=center}}
^  Tabelle 2  ||||||||||
^  #     ^  Länge $\mathrm{d}l$ [$"$]                  |^  Breite $\mathrm{d}b$ [$"$]                 |^  Radius $\mathrm{d}r$ [$10^5$ AE]                |^  Argumente                    |||
|  $n$   |  $a_n$           |  $b_n$         |  $c_n$            |  $d_n$        |  $e_n$                  |  $f_n$       |  $q_n$      |  $s_n$  |  $t_n$  |
|  $01$  |  $+0.06$         |  $+100924.08$  |  $+51987.68$      |  $-24288.76$  |  $-960396.0$            |  $+15965.1$  |  $+1$       |  $+0$   |  $+0$   |
|  $02$  |  $+3274.74$      |  $+17835.12$   |  $+12687.49$      |  $-6049.72$   |  $-118252.2$            |  $+3632.4$   |  $+2$       |  $+0$   |  $+0$   |
|  $03$  |  $+1543.52$      |  $+4631.99$    |  $+3504.00$       |  $-1853.10$   |  $-21446.6$             |  $+1167.0$   |  $+3$       |  $+0$   |  $+0$   |
|  $04$  |  $+688.99$       |  $+1227.08$    |  $+1048.19$       |  $-648.26$    |  $-4823.4$              |  $+213.5$    |  $+4$       |  $+0$   |  $+0$   |
|  $05$  |  $+242.27$       |  $+415.93$     |  $+302.33$        |  $-209.76$    |  $-1075.4$              |  $+140.6$    |  $+5$       |  $+0$   |  $+0$   |
|  $06$  |  $+138.41$       |  $+110.91$     |  $+109.52$        |  $-93.82$     |  $-308.8$               |  $-55.3$     |  $+6$       |  $+0$   |  $+0$   |
|  $07$  |  $-0.99$         |  $+5.06$       |  $+1.26$          |  $-1.96$      |  $-25.6$                |  $+19.8$     |  $+3$       |  $-1$   |  $+0$   |
|  $08$  |  $+7.15$         |  $+5.61$       |  $+1.64$          |  $-2.16$      |  $-96.7$                |  $+57.2$     |  $+2$       |  $-1$   |  $+0$   |
|  $09$  |  $+10.79$        |  $+23.13$      |  $-0.33$          |  $+0.86$      |  $-390.4$               |  $+236.4$    |  $+1$       |  $-1$   |  $+0$   |
|  $10$  |  $-0.23$         |  $+4.43$       |  $+3.15$          |  $+0.34$      |  $+102.8$               |  $+63.2$     |  $+0$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $11$  |  $-1.10$         |  $-0.92$       |  $+0.43$          |  $+0.14$      |  $+11.8$                |  $-2.3$      |  $+1$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $12$  |  $+0.62$         |  $+0.84$       |  $+0.05$          |  $-0.04$      |  $+2.3$                 |  $+0.7$      |  $+2$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $13$  |  $-0.38$         |  $-0.45$       |  $+0.04$          |  $+0.05$      |  $+1.2$                 |  $-0.8$      |  $+3$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $14$  |  $+0.17$         |  $+0.25$       |  $-0.01$          |  $-0.01$      |  $+0.0$                 |  $+0.2$      |  $+4$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $15$  |  $+0.06$         |  $+0.07$       |  $+0.03$          |  $-0.03$      |  $-0.6$                 |  $+0.3$      |  $+3$       |  $-2$   |  $+0$   |
|  $16$  |  $+0.13$         |  $+0.20$       |  $+0.03$          |  $-0.07$      |  $-2.2$                 |  $+1.5$      |  $+2$       |  $-2$   |  $+0$   |
|  $17$  |  $+0.32$         |  $+0.49$       |  $-0.01$          |  $+0.03$      |  $-9.4$                 |  $+5.7$      |  $+1$       |  $-2$   |  $+0$   |
|  $18$  |  $-0.04$         |  $-0.07$       |  $+0.07$          |  $-0.02$      |  $+2.6$                 |  $-1.5$      |  $+0$       |  $-2$   |  $+0$   |
|  $19$  |  $-29.47$        |  $+75.97$      |  $-40.71$         |  $-17.55$     |  $-106.4$               |  $-204.9$    |  $+1$       |  $-1$   |  $+0$   |
|  $20$  |  $-13.88$        |  $+18.20$      |  $+1.13$          |  $+0.43$      |  $+42.6$                |  $-46.1$     |  $+0$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $21$  |  $+5.81$         |  $-23.48$      |  $-7.48$          |  $+3.07$      |  $+15.0$                |  $-6.8$      |  $+1$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $22$  |  $-10.27$        |  $+14.16$      |  $+2.43$          |  $-0.09$      |  $-7.9$                 |  $+0.4$      |  $+2$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $23$  |  $+6.86$         |  $-10.66$      |  $-2.25$          |  $+0.69$      |  $+7.3$                 |  $-0.3$      |  $+3$       |  $+1$   |  $+0$   |
|  $24$  |  $+4.32$         |  $+2.00$       |  $-0.24$          |  $+0.12$      |  $+0.0$                 |  $-2.2$      |  $+2$       |  $-2$   |  $+0$   |
|  $25$  |  $-5.04$         |  $-0.83$       |  $+0.79$          |  $-0.24$      |  $-9.2$                 |  $-3.1$      |  $+1$       |  $-2$   |  $+0$   |
|  $26$  |  $+4.25$         |  $+2.48$       |  $+0.58$          |  $+0.02$      |  $-5.9$                 |  $-3.3$      |  $+0$       |  $-2$   |  $+0$   |
|  $27$  |  $-9.11$         |  $+0.12$       |  $+0.81$          |  $+0.78$      |  $-3.4$                 |  $-3.3$      |  $+0$       |  $+1$   |  $-1$   |
|  $28$  |  $+5.92$         |  $+0.25$       |  $-0.67$          |  $-0.51$      |  $+2.3$                 |  $-3.8$      |  $+1$       |  $+1$   |  $-1$   |