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====== Wichtige mathematische Anwendungen ======

Hier werden die mathematischen Anwendungen beschrieben, die nicht als Funktionen in Taschenrechnern und Computerprogrammen zu finden sind. Diese Liste wird laufend ergänzt.

===== Lineare Gleichungssysteme =====

Hat man drei Gleichungen in der Form
\[\begin{align}
b_1 &= a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y + a_{13} \cdot z \\
b_2 &= a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y + a_{23} \cdot z \\
b_3 &= a_{31} \cdot x + a_{32} \cdot y + a_{33} \cdot z
\end{align}\tag{1}\]

so kann man diese leicht als Matrix und Vektor darstellen:
\[\left(\begin{matrix}
b_1 \\ b_2 \\ b_3
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right) \cdot
\left(\begin{matrix}
x \\ y \\ z
\end{matrix}\right)\tag{2}\]

Die Multiplikation erfolgt mit der folgenden graphischen Rechenregel:

<imgcaption image1|Drehmatrix um die x-Achse>{{ :matrize_mal_vektor.png?600 |}}</imgcaption>

===== Vektoren =====

Aus den drei Gleichungen
\[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\
y &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{3}\]

formt man den Vektor
\[\vec{r} = r \left(\begin{matrix}
\cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\
\cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
\sin(\beta)\end{matrix}\right) = r \vec{e}\tag{4}\]

==== Skalarprodukt (Punktprodukt) ====

$$\vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + + v_3 \cdot u_3\tag{5}$$

Rechenregeln:
$$\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}\tag{6}$$
$$\vec{u} \cdot \vec{u} = |u|^2\tag{7}$$
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos(\theta)\tag{8}$$

senkrecht $\theta = 90^\circ$:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\tag{9}$$

parallel $\theta = 0^\circ$:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\tag{10}$$

==== Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ====

$$\vec{v} \times \vec{u} = \left(\begin{array}
vv_2 \cdot u_3 - v_3 \cdot u_2 \\ v_3 \cdot u_1 - u_3 \cdot v_1 \\ v_1 \cdot u_2 - u_1 \cdot v_2
\end{array}\right)\tag{11}$$

Rechenregeln:
$$\vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}\tag{12}$$
$$\vec{u} \times \vec{u} = 0\tag{13}$$
$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \sin(\theta)\tag{14}$$

senkrecht $\theta = 90^\circ$:
$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\tag{15}$$

parallel $\theta = 0^\circ$:
$$\vec{u} \times \vec{v} = 0\tag{16}$$

===== Matrizen =====

==== Drehmatrizen ====

<imgcaption image2|passive Drehung>{{ :drehung_passiv.png |}}</imgcaption>

Ein Vektor wird mit Hilfe einer Drehmatrix in eine neues Koordinatensystem (i.e. neuer Vektor) gedreht (Abb. 1).
\[\begin{split}
    & x = \cos(\alpha) \\
    & y = \sin(\alpha) \\
    & z = 0
  \end{split}
  \Rightarrow\vec{r}(\alpha,0) = \left(
  \begin{matrix}
    x \\ y \\ z
  \end{matrix}
  \right) = \left(
  \begin{matrix}
    \cos(\alpha) \\
    \sin(\alpha) \\ 0 \\
  \end{matrix}
\right) = \vec{e}(\alpha,0)\tag{17}\]

Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die z - Achse erhält man:
\[\vec{r} = \left(
  \begin{matrix}
    x' \\ y' \\ z'
  \end{matrix}
  \right) = \left(
  \begin{matrix}
    \cos(\alpha') \\
    \sin(\alpha') \\ z
  \end{matrix}
  \right) = \left(
  \begin{matrix}
    \cos(\alpha - \varphi) \\
    \sin(\alpha - \varphi) \\ z
  \end{matrix}
  \right) = \left(
  \begin{array}{lll}
    + x \ \cos(\varphi) &
    + y \ \sin(\varphi) & + z \ 0 \\
    - x \ \sin(\varphi) &
    + y \ \cos(\varphi) & + z \ 0 \\
    + x \ 0 & + y \ 0 & + z \ 1
  \end{array}
\right)\tag{18}\]

\[\Rightarrow
  \vec{r}'(\alpha',0) = \left(
  \begin{matrix}
    x' \\ y' \\ z'
  \end{matrix}
  \right) = \left(
  \begin{array}{ccc}
    + \cos(\varphi) &
    + \sin(\varphi) & 0 \\
    - \sin(\varphi) &
    + \cos(\varphi) & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{array}
  \right) \left(
  \begin{matrix}
    x \\ y \\ z
  \end{matrix}
  \right) = R_3(\varphi)
\vec{r}(\alpha,0)\tag{19}\]

Die Drehungen um die x (R$_1$), y (R$_2$) und die z - Achse (R$_3$):
\[R_1(\varphi) = \left(
  \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & + \cos(\varphi) & + \sin(\varphi) \\
    0 & - \sin(\varphi) & + \cos(\varphi)
  \end{array}
  \right)
\tag{20}\]

\[R_2(\varphi) = \left(
  \begin{array}{ccc}
    + \cos(\varphi) & 0 & - \sin(\varphi) \\
    0 & 1 & 0 \\
    + \sin(\varphi) & 0 & + \cos(\varphi)
  \end{array}
  \right)
\tag{21}\]

\[R_3(\varphi) = \left(
  \begin{array}{ccc}
    + \cos(\varphi) & + \sin(\varphi) & 0 \\
    - \sin(\varphi) & + \cos(\varphi) & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{array}
\right)\tag{22}\]

==== Determinante ====

Die Determinante ist der skalare Wert einer Matrix. Die Regel von Sarrus berechnet die Determinante (Abb. 2):

<imgcaption image3|Regel von Sarrus>{{ :sarrus_regel.png |}}</imgcaption>

\[\det(\mathbf{M}) = \left|
\begin{array}{ccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right| = \begin{array}{c}
  + a_{11} \ a_{22} \ a_{33} + a_{12} a_{23} \ a_{31}
  + a_{13} \ a_{21} \ a_{32} \\
  - a_{31} \ a_{22} \ a_{13} - a_{32} \ a_{23} \ a_{11}
  - a_{33} \ a_{21} \ a_{12}
\end{array}\tag{23}\]

==== Invertierte Matrix ====

Die Invertierung (Umkehrung) der Matrix M erfolgt mit Hilfe der Cramerschen Regel: Die Bildung einer Unterdeterminante N$_{ik}$ durch das Herausstreichen der i - ten Spalte und k - ten Zeile.
\[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\tag{24}\]

det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten. Die invertierte Matrix ist dann:
\[M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}
\left(\begin{array}{ccc}
  b_{11} & b_{21} & b_{13} \\
  b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
  b_{31} & b_{23} & b_{33}
\end{array}\right)\tag{25}\]

Für die oben genannten Drehmatrizen gilt $R^{-1}(\varphi) = R(-\varphi)$.

==== Transponierte Matrix ====

Hat man eine Matrix M
\[\mathbf{M} = \left(
\begin{array}{ccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right)\tag{26}\]

so ist die transponierte Matrix $M^t$:
\[\mathbf{M}^t = \left(
\begin{array}{ccc}
  a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
  a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
  a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}
\right)\tag{27}\]

Es vertauschen sich alle Elemente bis auf die Diagonalelemente gegenseitig. Überträgt man die transponierte Matrix $M^t$ auf die Drehmatrix $R(\varphi)$, so zeigt sich, daß $R^t(\varphi)$ = $R(-\varphi)$ gilt.

===== Interpolation =====

==== Taylorpolynom ====

Das Taylorpolynom (auch Taylorreihe/-entwicklung) ist die beliebteste Anwendung zur Näherung von Funktionen an der Stelle $r_0$ mit $|\vec{r} - \vec{r}_0| \ll 1$.
\[f_{r_0}(\vec{r}) = f(\vec{r}_0) + f'(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) + \frac{1}{2} \cdot f''(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0)^2 + \cdots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot \frac{d^k}{d\vec{r}_0^k} f(\vec{r}_0) \cdot(\vec{r} - \vec{r}_0)^k\tag{28}\]

Ein Rechenbeispiel sind die trigonometrischen Funktionen und die e - Funktion:
\[\begin{split}
e^{\pm\varphi} &= 1 \pm \frac{\varphi}{1!} -
\frac{\varphi^2}{2!} \mp \frac{\varphi^3}{3!} +
\frac{\varphi^4}{4!} \pm \frac{\varphi^5}{5!} - ...=
\sum_{n=0}^\infty \frac{\varphi^n}{n!} \\
\cos(\varphi) &= 1 - \frac{\varphi^2}{2!} +
\frac{\varphi^4}{4!} - ... = \sum_{n=0}^\infty
\frac{(-1)^n \varphi^{2n}}{(2n)!} \\
\sin(\varphi) &= \varphi - \frac{\varphi^3}{3!} +
\frac{\varphi^5}{5!} - ... = \sum_{n=0}^\infty
\frac{(-1)^n \varphi^{2n+1}}{(2n+1)!}
\end{split}\tag{29}\]

==== Stirling-Interpolation ====

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="160px,180px,170px,140px,170px,100px"&float=center}}
| $x_1 = x_0 - 2\cdot h$  | $y_1 = f(x_0 - 2\cdot h)$  |                                                      |                          |                                                      |                      |
|                         |                            | $\nabla^{1} f\left(x_0 - \frac{3}{2}\cdot h\right)$  |                          |                                                      |                      |
| $x_2 = x_0 - h$         | $y_2 = f(x_0 - h)$         |                                                      | $\nabla^{2} f(x_0 - h)$  |                                                      |                      |
| $x = x_0 - t\cdot h$    |                            | $\nabla^{1} f\left(x_0 - \frac{1}{2}\cdot h\right)$  |                          | $\nabla^{3} f\left(x_0 - \frac{1}{2}\cdot h\right)$  |                      |
| $x_3 = x_0$             | $y_3 = f(x_0)$             |                                                      | $\delta^{2} f(x_0)$      |                                                      | $\delta^{4} f(x_0)$  |
| $x = x_0 + t\cdot h$    |                            | $\Delta^{1} f\left(x_0 + \frac{1}{2}\cdot h\right)$  |                          | $\Delta^{3} f\left(x_0 + \frac{1}{2}\cdot h\right)$  |                      |
| $x_4 = x_0 + h$         | $y_4 = f(x_0 + h)$         |                                                      | $\Delta^{2} f(x_0 + h)$                                                                              |||
|                         |                            | $\Delta^{1} f\left(x_0 + \frac{3}{2}\cdot h\right)$  |                          |                                                      |                      |
| $x_5 = x_0 + 2\cdot h$  | $y_5 = f(x_0 + 2\cdot h)$  |                                                      |                          |                                                      |                      |

$\Delta f(x_0) = f(x_0 + t \ h) - f(x_0)$ bilden die Vorwärtsdifferenzen und $\nabla f(x_0) = f(x_0) - f(x_0 - t \ h)$ sind die Rückwärtsdifferenzen. Die Hochzahlen bilden die Ordnungen; es sind keine Potenzen. Das gleiche gilt auch für die Zentraldifferenzen $\delta f(x_0) = f(x_0 + t \ h) - f(x_0 - t \ h)$.

Die entsprechende Interpolationsgleichung lautet
$$f(x_0 \pm t h) = f(x_0) \pm t \cdot \delta^1 f(x_0) + \frac{t^2}{2} \cdot \delta^2 f(x_0) \pm \frac{(t + 1) t (t - 1)}{6} \cdot \delta^3 f(x_0) + \frac{(t + 1) t^2 (t - 1)}{24} \cdot \delta^4 f(x_0) \pm \cdots\tag{30}$$

mit
\[\begin{align}
\delta^1 f(x_0) &= \frac{1}{2} (\nabla^1 f(x_0 - \frac{1}{2} h) + \Delta^1 f(x_0 + \frac{1}{2} h)) \\
\delta^3 f(x_0) &= \frac{1}{2} (\nabla^3 f(x_0 - \frac{1}{2} h) + \Delta^3 f(x_0 + \frac{1}{2} h))
\end{align}\tag{31}\]

Eine Anwendungsmöglichkeit ist die Bestimmung der mittleren Bahnelemente aus den oskulierenden Bahnelementen. Diese sind jedoch nur innerhalb des Interpolationszeitraums gültig.

==== weitere Interpolationsverfahren ====

Die Interpolation hat aufgrund ihres Umfangs eine [[:interpolation|eigene Seite]] erhalten.

===== Komplexe Zahlen =====

Komplexe Zahlen entstehen, wenn Quadratwurzeln negative Argumente bei der Berechnung erhalten. Diese werden dann mit $i = \sqrt{-1}$ dargestellt. Eine komplexe Zahl $z$ setzt sich aus einem imaginären Anteil $b$ und einem realen Anteil $a$ zusammen:
$$z = a + i\cdot b \qquad\text{mit}\qquad i = \sqrt{-1}\tag{32}$$

Für $i$ gilt:

  * $i^{-1} = \frac{1}{i} = -i$,
  * $i^2 = -1$,
  * $i^3 = -i$,
  * $i^4 = 1$,
  * $i^5 = i$.

Tritt die Variante
$$z^{*} = a - i\cdot b\tag{33}$$

auf, so ist diese konjungiert komplex zu $z$.

$$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\tag{34}$$
$$\text{komplex:} \qquad (a + ib)(a - ib) = a^2 + a ib - ib a - i^2b^2 = a^2 + b^2\tag{35}$$

Es gilt $z\cdot z^{*} = a^2 + b^2$, eine reelle Zahl.

<imgcaption image4|komplexe Zahlen>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>

Eine anschauliche Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatenkreuz. $z$ kann als ein um den Ursprung kreisenden Radius vorgestellt werden. $a$, $b$ und $z$ bilden die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die konjugiert komplexe Form ist die Spiegelung an der reellen Achse.