EphemPedia

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====== Mathematische Grundlagen ======

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Formeln -- die hier im Wiki vorkommen -- illustriert.

===== Grad- und Bogenmass =====

==== Gradmass ====

Ein voller Kreis wird in 360° geteilt. $1^\circ$ ist dann logischerweise der $\frac{1}{360}$ Teil eines Vollkreises.

<imgcaption image1|>{{ :gradmass.png |Gradmass}}</imgcaption>

Mit Hilfe der Kreiszahl $\pi = 3.14159265\ldots$ wird aus dem Bogenmass $s$ das Gradmass $\alpha$ berechnet:
$$\alpha = \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot s\tag{1}$$

Diese Zahl ist dimensionslos, ihr Zeichen ist °.

Weitere Unterteilungen sind die Bogenminute $'$ und die Bogensekunde $''$:

  * $1'$ = 1 Bogenminute = $\tfrac{1}{60}$ Teil eines Grades = $\tfrac{1}{21600}$ Teil eines Vollkreises
  * $1''$ = 1 Bogensekunde = $\tfrac{1}{60}$ Teil einer Bogenminute = $\tfrac{1}{1296000}$ Teil eines Vollkreises

==== Bogenmass ====

<imgcaption image2|>{{ bogenmass.png |Bogenmass}}</imgcaption>

Das Bogenmass eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens $s$ zum Radius $r$. Der Vollkreis, also der gesamte Bogen des Kreises (Umfang) lautet $2\pi r$. Das Bogenmass für den Vollkreis lautet daher $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$.

Die Umkehrung erfolgt mit der Gleichung:
$$ s = \frac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\alpha\tag{2}$$

Die Bezeichnung lautet //Radian// (englisch) bzw. //Radiant// und ihr Wert ist //dimensionslos//.

==== Tabelle Grad/Radiant ====

{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="140px,140px"&float=center}}
^  Tabelle 1  ||
^  Grad  ^  Radiant  ^
|  $0^{\circ}$    |  $0$               |
|  $30^{\circ}$   |  $\frac{\pi}{6}$   |
|  $45^{\circ}$   |  $\frac{\pi}{4}$   |
|  $60^{\circ}$   |  $\frac{\pi}{3}$   |
|  $90^{\circ}$   |  $\frac{\pi}{2}$   |
|  $180^{\circ}$  |  $\pi$             |
|  $270^{\circ}$  |  $\frac{3\pi}{2}$  |
|  $360^{\circ}$  |  $2\pi$            |

===== Betrags- und Vorzeichenfunktion =====

Diese beiden Funktionen bestimmen das Vorzeichen einer Zahl.

==== Betragsfunktion ====

Der Absolutwert einer Variablen $x$ wird durch die **Betrags**funktion $|x|$ bestimmt, die häufig auch als $abs(x)$ bezeichnet wird.
\[|x| = \begin{cases}
+ x \\ - x
\end{cases}
\quad \text{falls} \quad
\begin{matrix}
x \geq 0 \\ x < 0
\end{matrix}\tag{3}\]

==== Vorzeichenfunktion ====

Das Vorzeichen einer Variablen $x$ wird durch die **Signums**funktion $\mathrm{sgn}(x)$ bestimmt.
\[\mathrm{sgn}(x) =
\begin{cases}
+ 1 \\ - 1 \\ 0
\end{cases}
\quad \text{falls} \quad
\begin{matrix}
x > 0 \\ x < 0 \\ x = 0
\end{matrix}\tag{4}\]

===== Floor und Ceiling Funktion =====

==== Floor Funktion ====

<imgcaption image3|>{{ :floor_funktion.png |Floor-Funktion}}</imgcaption>

Volle Punkte gehören zur Funktion, leere Punkte hingegen nicht.\\
Die ''floor''-Funktion bestimmt die nächstkleinere **ganze** Zahl (floor => englisch für "//Boden//")

$$\mathrm{floor}(x)=\lfloor x\rfloor\tag{5}$$

<WRAP center round box 100%>
**Beispiele:** \\
$\mathrm{floor}(1.9) = 1$ \\
$\mathrm{floor}(1.1) = 1$ \\
$\mathrm{floor}(-1.1) = -2$ \\
$\mathrm{floor}(-1.9) = -2$
</WRAP>

<WRAP center round info 100%>
Die Floor-Funktion hat noch etliche andere Bezeichnungen, z.B. Int-Funktion, Gauss- oder Entierklammer.
</WRAP>

==== Ceiling Funktion ====

<imgcaption image4|>{{ :ceiling_funktion.png |Ceiling-Funktion}}</imgcaption>

Die Ceilingfunktion bestimmt die nächstgrössere **ganze** Zahl (ceiling => englisch für "//Decke//").

$$\mathrm{ceil}(x)=\lceil x\rceil\tag{6}$$

<WRAP center round box 100%>
**Beispiele:** \\
$\mathrm{ceil}(1.9) = 2$ \\
$\mathrm{ceil}(1.1) = 2$ \\
$\mathrm{ceil}(-1.1) = -1$ \\
$\mathrm{ceil}(-1.9) = -1$
</WRAP>

Die Ceiling-Funktion hat keine alternativen Bezeichnungen.

===== Trunc und Frac Funktion =====

==== Trunc Funktion ====

<imgcaption image5|>{{ :trunc_funktion.png |Trunc-Funktion}}</imgcaption>

Die Trunc-Funktion gibt den ganzzahligen Wert einer Zahl wieder. Die Nachkommastellen werden **abgeschnitten**.

$$\mathrm{trunc}(x) = \mathrm{fix}(x)\tag{7}$$

<WRAP center round box 100%>
**Beispiele:** \\
$\mathrm{trunc}(1.2345) = 1$ \\
$\mathrm{trunc}(-1.2345) = -1$ \\
$\mathrm{trunc}(-0.6789) = 0$ 
</WRAP>

<WRAP center round info 100%>
Die ''trunc''-Funktion wird gelegentlich auch als ''int''-Funktion oder ''fix''-Funktion bezeichnet.
</WRAP>

<WRAP center round important 100%>
Vorsicht geboten ist bei negativen Zahlen. Während für positive Zahlen die Funktionen $\operatorname{floor}(x)$ und $\operatorname{trunc}(x)$ dasselbe Ergebnis liefern, ist das bei negativen Zahlen **nicht** so:

**Beispiel für JavaScript**
<code>
console.log(Math.floor(298.99785))  // => 298 (nächstkleinere Ganzzahl)
console.log(Math.trunc(298.99785))  // => 298 (Kommastellen abgeschnitten)
console.log(Math.floor(-298.99785)) // => -299 (nächstkleinere Ganzzahl)
console.log(Math.trunc(-298.99785)) // => -298 (Kommastellen abgeschnitten)
</code>

</WRAP>

==== Frac Funktion ====

<imgcaption image6 |>{{ :frac_funktion.png |Frac-Funktion}}</imgcaption>

Die ''frac''-Funktion gibt nur den **Nachkommawert** einer Zahl wieder. Die Vorkommastellen werden **abgeschnitten**.

$$\mathrm{frac}(x) = \{x\} = x - \mathrm{trunc}(x)\tag{8}$$

<WRAP center round box 100%>
**Beispiele:** \\
$\mathrm{frac}(1.2345) = 0.2345$ \\
$\mathrm{frac}(-1.2345) = -0.2345$
</WRAP>

{{anchor:redundrund}}

===== Reduktions- und Rundungsfunktion =====

==== Reduktionsfunktion ====

Mit Hilfe der Reduktionsfunktion kann ein Wert $x$ auf ein Intervall zwischen 0 und $y$, $-y$ und 0 oder auch auf ein Wert zwischen $-y$ und $+y$ reduziert werden. Das ist wichtig, wenn man mit Werten von $\gt 360^{\circ}$, $\gt 24^h$ oder $\lt 0^{\circ}$, bzw. $\lt 0^h$ zu tun hat. Es gilt:

$$\mathrm{red}_1 = x - \lfloor \frac{x}{y} \rfloor\cdot y \qquad\forall x \geq 0\tag{9}$$
$$\mathrm{red}_1 = x - \lceil \frac{x}{y} \rceil\cdot y \qquad\forall x \leq 0\tag{10}$$

Diese beiden Gleichungen reduzieren den Wert $x$ auf ein Intervall [0,$y$] (oben) und [$-y$,0] (unten). Die nachfolgende Gleichung reduziert auf ein Intervall von [$-y$,$\,y$].

$$\mathrm{red_2}(x) = x - \mathrm{trunc}\left(\frac{x}{y}\right)\cdot y\tag{11}$$

<WRAP center round box 100%>
==== Beispielcode für JavaScript und Python ====

<code>
// JavaScript
function red(deg) {
  return (deg % 360 + 360) % 360;
}
</code>

Die Funktion übernimmt eine dezimale Winkelgrösse ''deg'' und ermittelt mithilfe der Modulo-Funktion ''%'' das Intervall von [0°-360°]. Durch die 2-malige Verwendung der Modulo-Funktion ist der obige Ausdruck auch für negative Zahlen gültig.

<code>
# Python
def red(deg):
    return (deg % 360 + 360) % 360
</code>
</WRAP>

==== Rundungsfunktion ====

Die Rundungsfunktion spielt im Zusammenhang mit der Genauigkeit eine Rolle.

$$\mathrm{round}(x,y) = \lfloor 10^y x + 0.5 \rfloor 10^{-y} \qquad\forall x\geq 0\tag{12}$$
$$\mathrm{round}(x,y) = \lceil 10^y x + 0.5 \rceil 10^{-y} \qquad\forall x\leq 0\tag{13}$$

Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte //kaufmännische Rundung//.

===== Sexagesimalsystem =====

Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter.
{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="400px,400px"&float=center}}
^  Tabelle 2  ||
^ $W$ als Winkelwert ^ $W$ als Zeitwert ^
| $a = \mathrm{trunc}(|W|)$ | $a = \mathrm{trunc}(|W|)$ |
| $b = \mathrm{trunc}(360^{\circ}\cdot \mathrm{frac}(|W|))$ | $b = \mathrm{trunc}(24^h\cdot \mathrm{frac}(|W|)) $ |
| $c = \mathrm{trunc}(60'\cdot \mathrm{frac}(360^{\circ}\cdot \mathrm{frac}(|W|)))$ | $c = \mathrm{trunc}(60^m\cdot \mathrm{frac}(24^h\cdot \mathrm{frac}(|W|)))$ |
| $d = 60''\cdot \mathrm{frac}(60'\cdot \mathrm{frac}(360^{\circ}\cdot \mathrm{frac}(|W|)))$ | $d = 60^s\cdot \mathrm{frac}(60^m\cdot \mathrm{frac}(24^h\cdot \mathrm{frac}(|W|)))$ |

Mit $V = \mathrm{sgn}(W)$ lautet die Ausgabe $Va^r b^{\circ} c' d''$ bzw. $Va^d b^h c^m d^s$, wobei $a^r$ die Anzahl der Umdrehungen oder Umläufe ist. Dabei wird $a$ eher selten praktisch verwendet.

===== Trigonometrische Funktionen =====

Diese Funktionen berechnen den Winkel innerhalb einer geometrischen Abbildung, z.B. einem rechtwinkeligen Dreieck.

<imgcaption image7|>{{ :rechtwinkeliges_dreieck.png |Rechtwinkeliges Dreieck}}Adds an ImageCaption tag</imgcaption>

<WRAP center round box 100%>
$c =$ Hypotenuse (immer dem rechten Winkel gegenüber liegend)\\
$a,b =$ Katheten\\
$a =$ Gegenkathete von $\alpha =$ Ankathete von $\beta$\\
$b =$ Gegenkathete von $\beta =$ Ankathete von $\alpha$
</WRAP>

==== Sinus und Arcussinus ====

$$\sin (\alpha) = \frac{a}{c},\quad \sin (\beta) = \frac{b}{c}\tag{14}$$

Umkehrfunktion:

$$\arcsin \left(\frac{a}{c}\right) = \alpha ,\quad \arcsin \left(\frac{b}{c}\right) = \beta\tag{15}$$

$\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt.

==== Cosinus und Arcuscosinus ====

$$\cos (\alpha) = \frac{a}{c},\quad \cos (\beta) = \frac{b}{c}\tag{16}$$

Umkehrfunktion:

$$\arccos \left( \frac{a}{c} \right) = \alpha ,\quad \arccos \left( \frac{b}{c} \right) = \beta\tag{17}$$

$\arccos (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{acs} (\dots)$ abgekürzt.

==== Tangens und Arcustangens ====

$$\tan (\alpha) = \frac{a}{b}, \quad \tan (\beta) = \frac{b}{a}\tag{18}$$

Umkehrfunktion:

$$\arctan \left(\frac{a}{b}\right) = \alpha ,\quad \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \beta\tag{19}$$

$\arctan (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{atn} (\dots)$ abgekürzt.

<WRAP center round important 100%>
In den gängigen Programmiersprachen werden die Argumente von trigonometrischen Funktionen ''sin'', ''cos'', ''tan'' immer in **Radiant** (Bogenmass) verlangt. Viele Algorithmen auf diesen Seiten verwenden Winkelangaben in **Grad**. Man sollte daher nicht vergessen, diese Gradwerte mittels Multiplikation mit $\tfrac{\pi}{180}$ [[:mathematische_grundlagen#bogenmass|in Radiant umzurechnen]]!
</WRAP>

==== Wichtige Werte und Zusammenhänge ====

Es ist 

$$ \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}\tag{20}$$

und der "trigonometrische Pythagoras" lautet

$$\sin^2 (x) + \cos^2 (x) = 1\tag{21}$$

<imgcaption image8|Einheitskreis, Bezeichnungen, Quadranten>{{ :einheitskreis.png?800 |}}</imgcaption>

Folgende Werte für die Winkelfuntionen werden häufig benötigt:

{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="130px,100px,100px,100px"&float=center}}
^  Tabelle 3  ||||
^  Winkel  ^  $\sin$  ^  $\cos$  ^  $\tan$  ^
|  $0^{\circ}\;\hat{=}\;0^{\textrm{rad}}$   |  $0$                   |  $1$                   |  $0$                   |
|  $30^{\circ}\;\hat{=}\;\frac{\pi}{6}$     |  $\frac{1}{2}$         |  $\frac{\sqrt{3}}{2}$  |  $\frac{1}{\sqrt{3}}$  |
|  $45^{\circ}\;\hat{=}\;\frac{\pi}{4}$     |  $\frac{\sqrt{2}}{2}$  |  $\frac{\sqrt{2}}{2}$  |  $1$                   |
|  $60^{\circ}\;\hat{=}\;\frac{\pi}{3}$     |  $\frac{\sqrt{3}}{2}$  |  $\frac{1}{2}$         |  $\sqrt{3}$            |
|  $90^{\circ}\;\hat{=}\;\frac{\pi}{2}$     |  $1$                   |  $0$                   |  nicht def.            |

{{anchor:trig_ident}}

Die wichtigsten Identitäten zwischen den trigonometrischen Funktionen sind folgende:
{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,180px,180px,180px"&float=center}}
^  Tabelle 4  ||||
^  Funktion   ^  ausgedrückt durch  ^^^
|             |  $\sin$                                     |  $\cos$                                     |  $\tan$                                       |
|  $\sin(x)$  |  $\sin(x)$                                  |  $\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$                    |  $\pm\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$  |
|  $\cos(x)$  |  $\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$                    |  $\cos(x)$                                  |  $\pm\frac{1}{\sqrt{1 +\tan^2(x)}}$  |
|  $\tan(x)$  |  $\pm\frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}$  |  $\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}$  |  $\tan(x)$                                   |
==== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ====

Dem Abschnitt über die [[der richtige quadrant|quadrantentreue Darstellung]] hat eine eigene Seite bekommen, weil es es an dieser Stelle immer wieder zu Rechenfehlern kommt.

===== Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen ebenen Dreieck =====

In **Abb.9** sind $a$, $b$ und $c$ die Seiten eines ebenen Dreiecks, $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ die jeweils gegenüberliegenden Winkel und $r_{U}$ der Radius des Umkreises. 

<imgcaption image9|>{{ ::allgemeins_dreieck.png |Allgemeines ebenes Dreieck}}</imgcaption>

==== Sinussatz ====

$$ \frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} = \frac{1}{2\cdot r_{U}}\tag{22}$$

==== Cosinussatz ====

\[\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha)\\
\\
b^2 &= a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta)\tag{23}\\
\\
c^2 &= a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma)
\end{align}\]

===== Hyperpolische trigonometrische Funktionen =====

Zur Darstellung der hyperbolischen Bahnen werden Hyperbelfunktionen benötigt. Sie basieren wie die Sinus- und
Cosinusfunktionen auf der [[:wichtige_konstanten#mathematische_konstanten|Eulerzahl]] $\mathrm{e}$ aus der Exponentialfunktion. Auch deren Umkehrfunktionen Areasinus oder Areacosinus werden hier wiedergegeben.

<imgcaption image10|>{{ :hyperbolische_funktionen.png?800 |Graphen des hyperbolischen Sinus, Cosinus und Tangens}}</imgcaption>

==== Definition ====

Wie bei den normalen trigonometrischen Funktionen können die Hyperbelfunktionen mit einer Taylorreihe approximiert werden:

\[\begin{align}
\mathrm{e}^{\pm x} &= \sum_{n=0}^{N}\frac{(\pm x)^{k}}{k!}\tag{24}\\
&= \frac{x^0}{0!} \pm \frac{x^1}{1!} \pm \frac{x^2}{2!} \pm \frac{x^3}{3!} \pm \frac{x^4}{4!} \pm \dots\\
&= 1 \pm x \pm \frac{x^2}{2} \pm \frac{x^3}{6} \pm \frac{x^4}{24} \pm \dots
\end{align}\]

=== Hyperbelsinus ===

\[\begin{align}
\sinh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{25}\\
         &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots
\end{align}\]

=== Hyperbelcosinus ===

\[\begin{align}
\cosh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{26}\\
&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots
\end{align}\]

=== Hyperbeltangens ===

\[\begin{align}
\tanh(x) &= \frac{\sinh (x)}{\cosh(x)} = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}\\
&= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \frac{17 x^7}{315} + \dots\tag{27}
\end{align}\]

==== Umkehrfunktionen ====

Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittels des natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:

\[\begin{align}
\operatorname{arsinh}(x) &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\\
\operatorname{arcosh}(x) &= \ln(x - \sqrt{x^2 - 1})\quad x\ge 1\tag{28}\\
\operatorname{artanh}(x) &= \frac{1}{2}\cdot \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\quad \forall x\ne 1
\end{align}\]

==== Zusammenhänge zwischen den Hyperbelfunktionen ==== 

Aus den Reihenentwicklungen der Hyperbelfunktionen ergeben sich folgende Gleichungen. Die erste Gleichung wird
auch als Eulersche Identität bezeichnet.
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,300px"&float=center}}
| $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ | $\cosh(x) \pm \sin(x) =\mathrm{e}^{\pm x}$ |
| $\cosh \big(\operatorname{arsinh}(x)\big) = \sqrt{x^2 + 1}$ | $\sinh\big(\operatorname{arcosh}(x)\big) = \sqrt{x^2 - 1}$ |
| $\cosh(\mathrm{i}\cdot x) = \cos(x)$ | $\sinh(\mathrm{i}\cdot x) = \sin(x)$ |

===== Exponentialfunktion =====

Die e-Funktion oder auch natürliche Exponentialfunktion beruht auf der [[wichtige_konstanten|eulerschen Zahl]].

<imgcaption image11|Die Exponentialfunktionen zur Basis e>{{ :exp_x.png |}}</imgcaption>

\[\begin{align}
\exp(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\\
&= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\tag{29}\\
&= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots\\
\end{align}\]

\[\begin{align}
\exp(-x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot x^{n}}{n!}\\
&= 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\tag{30}\\
&= 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} - \dots\\
\end{align}\]

===== Logarithmus =====

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur oben genannten Exponetialfunktion.

<imgcaption image12|Logarithmen zur Basis e und Basis 10>{{ :ln_log_x.png |}}</imgcaption>

\[\begin{align}
\ln (x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot (x-1)^n}{n}\\
&= (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}\tag{31}\\
&-\frac{(x-1)^4}{4} + \dots \quad \forall x\gt 0
\end{align}\]

\[\begin{align}
\log_{10} (x)&= \frac{1}{\ln(10)}\cdot \ln (x)\tag{32}\\
&= \frac{1}{\ln(10)}\cdot\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot (x-1)^n}{n} \quad \forall x\gt 0
\end{align}\]

==== Logarithmus Rechenregeln ====

Es gilt für jeden Logarithmus zu einer beliebigen Basis $b$:

$$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$

$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$

$$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$

==== Basisumrechnung ====

Die Basis des Logarithmus kann gewechselt werden, indem man durch den Logarithmus der alten Basis teilt:

$$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\tag{36}$$

Insbesondere gilt für den Wechsel zum natürlichen Logarithmus:

$$\ln(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(\textrm{e})}\tag{37}$$

===== Sphärische Trigonometrie =====

Die sphärische Trigonometrie wird unter anderem in der Transformation der Koordinaten gebraucht. Die geometrische Definition der Grosskreise ist die Schnittlinie zwischen einer Kugel und einer Ebene, die durch den Mittelpunkt $M$ der Kugel verläuft.

<imgcaption image13|>{{ :nautisches_dreieck.png?600 |Das sphärische Dreieck}}</imgcaption>

Verbindet man drei Punkte auf einer Kugeloberfläche durch Großkreisestücke, so erhält man ein sphärisches Dreieck wie in **Abb.13** dargestellt. Es wird beschrieben durch die **Winkel** $a$, $b$ und $c$, unter denen die Eckpunkte vom Kugelmittelpunkt $M$ aus erscheinen (kurz Seiten genannt) und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, unter denen sich diese Grosskreisestücke in den Eckpunkten schneiden.

==== Der Cosinussatz im sphärischen Dreieck ====

Der Seiten-Cosinussatz lautet:

\[\begin{align}
\cos(a) &= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\
\cos(b) &= \cos(c)\cdot \cos(a) + \sin(c)\cdot \sin(a)\cdot \cos(\beta)\\
\cos(c) &= \cos(a)\cdot \cos(b) + \sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma)
\end{align}\tag{38}\]

Der Winkel-Cosinussatz lautet:

\[\begin{align}
\cos(\alpha) &= \sin(\beta)\cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(a) - \cos(\beta)\cdot \cos(\gamma)\\
\cos(\beta) &= \sin(\gamma)\cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(b) - \cos(\gamma)\cdot \cos(\alpha)\\
\cos(\gamma) &= \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\cdot \cos(c) - \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)
\end{align}\tag{39}\]

==== Der Sinussatz im sphärischen Dreieck ====

Der Sinussatz lautet:

$$\frac{\sin(a)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(b)}{\sin(\beta)} = \frac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}\tag{40}$$

==== Der Sinus-Cosinus Satz im sphärischen Dreieck ====

Die Seiten-Winkel Gleichungen:
\[\begin{align}
\sin(a)\cdot \cos(\beta) &= \cos(b)\cdot \sin(c) - \sin(b)\cdot \cos(c)\cdot \cos(\alpha)\\
\sin(b)\cdot \cos(\gamma) &= \cos(c)\cdot \sin(a) - \sin(c)\cdot \cos(a)\cdot \cos(\beta)\\
\sin(c)\cdot \cos(\alpha) &= \cos(a)\cdot \sin(b) - \sin(a)\cdot \cos(b)\cdot \cos(\gamma)
\end{align}\tag{41}\]

Winkel-Seiten Gleichungen:
\[\begin{align}
\sin(\alpha)\cdot \cos(b) &= \cos(\beta)\cdot \sin(\gamma) + \sin(\beta)\cdot \cos(\gamma)\cdot \cos(a)\\
\sin(\beta)\cdot \cos(c) &= \cos(\gamma)\cdot \sin(\alpha) + \sin(\gamma)\cdot \cos(\alpha)\cdot \cos(b)\\
\sin(\gamma)\cdot \cos(a) &= \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(c)
\end{align}\tag{42}\]

===== kartesisch ↔ sphärisch =====

Die Umrechnung zwischen kartesisch und sphärisch ist wichtig bei den Koordinatentransformationen.

<imgcaption image14|>{{ :koordinaten_kartesisch_sphaerisch.png |Kartesische und sphärische Koordinaten}}</imgcaption>

==== sphärisch → kartesisch ====

Die Umwandlung in die kartesischen Koordinaten ist einfach. Sei $\alpha$ die Länge in der $x,y$-Ebene und $\beta$ die Breite über- oder unterhalb dieser Ebene. $r$ ist der Abstand des Objekts vom Ursprung.

\[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\
y &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{43}\]

==== kartesisch → sphärisch ====

Die Umrechnung von kartesisch zu sphärisch ist komplexer, weil die quadrantenrichtige Darstellung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird die Breite $\beta$ bestimmt mit

$$\beta = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) \quad \text{mit} \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{44}$$

dann erfolgt die Berechnung der Länge $\alpha$ mit Hilfe von $\varphi$. Es seien $C$ bzw. $S$

$$C=\frac{x}{r\cdot \cos(\beta)}\tag{45}$$
$$S=\frac{y}{r\cdot \cos(\beta)}\tag{46}$$

$$\varphi = \arcsin(S) \quad \text{falls} \quad |S| < 1$$
$$\varphi = \arccos(C) \quad \text{falls} \quad |S| > 1$$

Jetzt erfolgt die quadrantenrichtige Korrektur:

\[\alpha =\begin{cases}
360^{\circ} - \varphi \\ 180^{\circ} - \varphi
\end{cases}
\quad \textsf{falls} \quad
\begin{matrix}
C \gt 0 \;\textsf{und}\;S \lt 0 \\ C \lt 0
\end{matrix}\tag{47}\]

Sonst gilt:

$$\alpha = \varphi$$

Eine ausführliche Beschreibung der quadrantentreuen Darstellung wird auf einer [[:der_richtige_quadrant|eigenen Seite]] illustriert.
==== Additionstheoreme ====

Um zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ zu addieren oder zu subtrahieren werden die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen benötigt.
$$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\tag{48}$$
$$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\tag{49}$$
$$\tan (\alpha\pm \beta) = \frac{\tan(\alpha)\pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\tag{50}$$

Gilt $\alpha$ = $\beta$ = $\varphi$, so wird zum nachfolgenden Ausdruck abgekürzt:
$$\sin(2\cdot\varphi) = 2\cdot \sin(\varphi)\cdot \cos(\varphi)\tag{51}$$
$$\cos(2\cdot\varphi) = \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi)\tag{52}$$
$$\tan(2\cdot\varphi) = \frac{2\cdot\tan \varphi}{1 - \tan^2(\varphi)}\tag{53}$$

===== Mathematische Anwendungen =====

Weitere mathematische Anwendungen werden auf einer eigenen [[:mehr_mathe|Seite]] behandelt.

==== Interpolation ====

Die Interpolation hat aufgrund ihres Umfangs eine [[:interpolation|eigene Seite]] erhalten.

==== Iteration ====

Auch die Iteration (also das Prinzip des rekursiven Einsetzens unter Einhaltung der Konvergenz) wird in einer [[:iteration|eigenen Seite]] dokumentiert.