EphemPedia

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====== Kegelschnitte ======

===== Einleitung =====

Schneidet man einen stehenden (Doppel-)Kegel mit dem halben Öffnungswinkel $\Phi$ (zu seiner Rotationsachse) an, so bekommt man die sogenannten Kegelschnitte. Verläuft der Schnitt durch die Kegelspitze, so bekommt man die entartete Form einer Bahn: Einen Punkt oder sich kreuzende Geraden. Schneidet man nicht durch die Kegelspitze, treten die bekannten Bahnformen in der **Abb.1** auf:

<imgcaption image1|>{{ :kegelschnitte_neu_2.png |Die Darstellung der Kegelschnitte und die daraus resultierenden Bahnformen}}</imgcaption>

Es gilt: Kreis (1), Ellipse (2), Parabel (3) und Hyperbel (4). Es werden nur die sinnvollen Bahnformen angezeigt. Der Neigungswinkel $\vartheta$ steht im Zusammenhang mit dem Exzentrizitätswinkel $\varphi$ und dem halben Öffnungswinkel $\Phi$ über die Gleichung
$$\sin(\varphi) = \epsilon = \frac{\sin(\Phi)}{\sin(\vartheta)}\tag{1}$$

===== Ellipse =====

{{anchor:ell_geom}}

==== Geometrie ====

<imgcaption image2|>{{ :kegelschnitt_ellipse.png |Geometrie der Ellipse}}</imgcaption>

<WRAP center round box 100%>
$a$ = große Halbachse \\
$b$ = kleine Halbachse \\
$q = a\cdot\left( 1-\epsilon \right)$ = Periheldistanz \\
$Q = a\cdot\left( 1+\epsilon \right)$ = Apheldistanz \\
$\varphi$ = Exzentrizitätswinkel \\
$\epsilon = \frac{e}{a} = \sin(\varphi)$ = numerische Exzentrizität \\
$e = a\cdot \epsilon$ = lineare Exzentrizität. Es gilt $e = \sqrt{a^2 - b^2}$ \\
$P$ = Perihel (sonnennächster Punkt) \\
$A$ = Aphel (sonnenfernster Punkt) \\
$F$ = Brennpunkt (Zentralkörper, z.B. Sonne) \\
$p = \frac{b^2}{a} = a\cdot \left(1-\epsilon^2\right)$ = Bahnparameter der Ellipse
</WRAP>

<WRAP center round info 100%>
In der Mathematik wird die numerische Exzentrizität im Allgemeinen mit $\varepsilon$ bezeichnet, während dort $e =\sqrt{a^2 - b^2}$ für die lineare Exzentrizität steht. Da $\varepsilon$ in der Himmelsmechanik für die Neigung der Erdachse gegenüber der Ekliptik reserviert ist, wird auf diesen Seiten für die numerische Exzentrizität das Zeichen $\epsilon$ verwendet. Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ gibt die Abweichung von der Kreisbahn ($\epsilon = 0$) an.
</WRAP>

{{anchor:kepler1}}

==== Keplergleichung ====

<imgcaption image3|>{{ :keplergleichung.png |Größen für die Keplergleichung (halber Orbit)}}</imgcaption>

<WRAP center round box 100%>
$a$ = große Halbachse\\
$e = a\cdot \epsilon$ = lineare Exzentrizität\\
$\epsilon = \frac{e}{a}$ = numerische Exzentrizität\\
$r$ = Radiusvektor, Abstand des Planeten von der Sonne \\
$\nu$ = wahre Anomalie\\
$P$ = Perihel (sonnennächster Punkt) \\
$A$ = Aphel (sonnenfernster Punkt) \\
$S$ = Brennpunkt (Fokus), hier die Sonne \\
$E$ = exzentrische Anomalie\\
$M$ = mittlere Anomalie
</WRAP>

Der Hilfskreis hat den Radius der großen Halbachse $a$.

Die Keplergleichung nimmt den Umweg über die exzentrische Anomalie $E$:

$$M = E - \epsilon \cdot \sin(E)\tag{2}$$

Diese Gleichung muss nach $E$ aufgelöst werden. Das erfolgt über die [[:iteration#newton_raphson_verfahren|Newtonsche Iteration]].

$$E_{i+1} = E_i + \frac{M + \epsilon \cdot \sin(E_i) - E_i}{1 - \epsilon \cdot \cos(E_i)}\tag{3}$$
mit $|E_{i+1} - E_i| = h_{i+1}$. Man startet mit $E_0 = M$ und iteriert etwa 6mal, dann ist die Differenz $h_{i+1} \lt 0.00001$. Die wahre Anomalie $\nu$ wird dann mit der **Barkerschen Gleichung** berechnet:

$$\tan \left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right)\tag{4}$$

==== Mittelpunktsgleichung ====

Für kleine Exzentrizitäten $\epsilon$ kann man -- anstatt einer iterativen Lösung der Keplergleichung -- auf die **Mittelpunktsgleichung** zurückgreifen. Die Mittelpunktsgleichung wird für gewöhnlich mit $C$ bezeichnet ("Equation of the center") und ist eine Reihenentwicklung mit den Variablen $\epsilon$ und $M$. Es gilt

$$C = \nu - M\tag{5}$$

Die Reihenentwicklung lautet

{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="580px"&float=center}}
^  Tabelle 1  |
| \[\begin{align}
  \nu  - M =  &  + \left( {2\epsilon  - \frac{1}{4}{\epsilon ^3} + \frac{5}{{96}}{\epsilon ^5} + \frac{{107}}{{4608}}{\epsilon ^7} +  \ldots } \right) \cdot \sin (M) \hfill \\
   &  + \left( {\frac{5}{4}{\epsilon ^2} - \frac{{11}}{{24}}{\epsilon ^4} + \frac{{17}}{{96}}{\epsilon ^6} -  \ldots } \right) \cdot \sin (2M) \hfill \\
   &  + \left( {\frac{{13}}{{12}}{\epsilon ^3} - \frac{{43}}{{64}}{\epsilon ^5} + \frac{{95}}{{512}}{\epsilon ^7} -  \ldots } \right) \cdot \sin (3M) \hfill \\
   &  + \left( {\frac{{103}}{{96}}{\epsilon ^4} - \frac{{451}}{{480}}{\epsilon ^6} +  \ldots } \right) \cdot \sin (4M) \hfill \\
   &  + \left( {\frac{{1097}}{{960}}{\epsilon ^5} - \frac{{5957}}{{4608}}{\epsilon ^7} +  \ldots} \right) \cdot \sin (5M) \hfill \\
   &  + \left( {\frac{{1223}}{{960}}{\epsilon ^6} -  \ldots } \right) \cdot \sin (6M) \hfill \\
   &  + \left( {\frac{{47273}}{{32256}}{\epsilon ^7} -  \ldots } \right) \cdot \sin (7M) \hfill \\ 
\end{align} \] |

Für sehr kleine Exzentrizitäten kann man auch die höheren Potenzen von $\epsilon$, z.B. $\epsilon^4,\,\epsilon^5\ldots$ usw. weglassen. Das Ergebnis erhält man in Radiant, durch Multiplikation mit dem Faktor $\frac{180}{\pi}$ kann es in Grad umgerechnet werden. Die Mittelpunktsgleichung $C$ wird dann zur mittleren Anomalie $M$ addiert und man erhält sofort die wahre Anomalie $\nu$.

<WRAP center round tip 100%>
Eine Anwendung der Mittelpunktsgleichung ist z.B. bei der schnellen [[sonnenposition#jean_meeus_low_accuracy_methode|Bestimmung der Sonnenposition zu sehen]].
</WRAP>

**Tabelle:** Fehlergröße für die Mittelpunktsgleichung, in Bogensekunden
{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,130px,150px"&float=center}}
^  Tabelle 2  |||
^  Exzentrizität $\epsilon$  ^  Terme bis $\epsilon^3$  ^  Terme bis $\epsilon^5$  ^
|  $0.03$  |  $0\overset{''}{.}24$  |  $0\overset{''}{.}0003$  |
|  $0.05$  |  $1\overset{''}{.}80$  |  $0\overset{''}{.}007$   |
|  $0.10$  |  $30''$                |  $0\overset{''}{.}45$    |
|  $0.15$  |  $152''$               |  $5''$                   |
|  $0.20$  |  $483''$               |  $29''$                  |
|  $0.25$  |  $1183''$              |  $111''$                 |
|  $0.30$  |  $2456''$              |  $331''$                 |

<WRAP center round info 100%>
Dem Thema "Lösung der Keplergleichung" ist ein [[:loesung_der keplergleichung|eigenes Kapitel]] gewidmet.
</WRAP>

{{anchor:ell_radius}}

==== Radiusvektor ====

Der [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektor]] $r$ wird mit der folgenden Gleichung ermittelt:

$$r = \frac{a \cdot (1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cdot \cos(\nu)}\tag{6}$$

{{anchor:argument_u}}

Das [[bahnelemente#erlaeuterung|Argument der Breite]] $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert $u$ braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.

===== Parabel =====

{{anchor:para_geom}}

==== Geometrie ====

<imgcaption image4|>{{ :kegelschnitt_parabel.png? |Geometrie der Parabel}}</imgcaption>

<WRAP center round box 100%>
$a$ = große Halbachse (a $\rightarrow\infty$) \\
$P$ = Perihel (sonnennächster Punkt) \\
$S$ = Brennpunkt (Fokus), hier die Sonne \\
$r$ = Radiusvektor, Abstand des Kometen von der Sonne \\
$q$ = Periheldistanz \\
$\nu$ = wahre Anomalie des Kometen \\
$p$ = Bahnparameter = Radiusvektor für $\nu = 90^{\circ}$ \\
$t_0$ = Zeitpunkt des Periheldurchgangs
</WRAP>

Eine Parabel hat eine numerische Exzentrizität $\epsilon$ = 1.

==== Barkersche Gleichung ====

Die Barkersche Gleichung bestimmt die wahre Anomalie $\nu$ als Funktion der Zeit.

\[\begin{align}
\frac{1}{3}\cdot\tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\cdot(t - t_0)
\end{align}\tag{7}\]

$G$ und $M_S$ werden in den [[wichtige_konstanten|Wichtige Konstanten]] erläutert. $m$ ist hier die Masse des Kometen. Diese obige Gleichung muss jetzt aufgelöst werden. Mit den Hilfswerten

$$A = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\tag{8}$$

\[\begin{align}
B = \sqrt[3]{A + \sqrt{A^2 + 1}} \quad \text{und} \quad \frac{1}{B} = \sqrt[3]{\sqrt{A^2 + 1} - A}
\end{align}\tag{9}\]

gilt

$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = B - \frac{1}{B}\tag{10}$$

und für $A \neq 0$ schreibt man:

\[\begin{align}
\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \pm\frac{2}{\tan\left[2\cdot \arctan\left(\sqrt[3]{\tan\left(\frac{1}{2}\cdot \arctan\left(\frac{1}{|A|}\right)\right)}\right)\right]}
\end{align}\tag{11}\]

{{anchor:para_radius}}

==== Radiusvektor ====

Der [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektor]] $r$ lautet:
$$r = \frac{2\cdot q}{1 + \cos(\nu)}\tag{12}$$

Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.

===== Hyperbel =====

{{anchor:hyp_geom}}

==== Geometrie ====

<imgcaption image5|>{{ :kegelschnitt_hyperbel.png |Geometrie der Hyperbel}}</imgcaption>

<WRAP center round box 100%>
$a$ = große Halbachse ($a < 0$) \\
$b$ = kleine Halbachse \\
$P$ = Perihel (sonnennächster Punkt) \\
$S$ = Brennpunkt (Fokus), hier die Sonne \\
$\epsilon = \frac{e}{a}$ = numerische Exzentrizität ($\epsilon > 1$) \\
$r$ = Radiusvektor, Abstand des Kometen von der Sonne \\
$q$ = Periheldistanz \\
$\nu$ = wahre Anomalie des Kometen \\
$p$ = Bahnparameter</WRAP>

<WRAP center round important 100%>
Zu beachten ist hier, dass die große Halbachse $a$ einer Hyperbelbahn definitionsgemäß eine **negative** Größe ist!
</WRAP>

{{anchor:kepler2}}

==== Keplergleichung ====

Bei der Hyperbelbahn wird die exzentrische Anomalie mit $H$ bezeichnet. Die Berechnung von $H$ und des [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektors]] $r$ erfolgt analog zur Ellipse. Startwert ist wieder die mittlere Anomalie $M_h$:

$$H_{i+1} = H_i - \frac{\epsilon\cdot \sinh(H_i) - H_i - M_h}{\epsilon\cdot \cosh(H_i) - 1}\tag{13}$$

Die Iteration ist solange zu wiederholen, bis $|H_{i+1} − H_i| \lt 10^{−8}$ gilt. Hat man die exzentrische Anomalie $H$ gefunden, so ist die korrespondierende wahre Anomalie $\nu$:

$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{\epsilon + 1}{\epsilon - 1}}\cdot \tanh\left(\frac{H}{2}\right)\tag{14}$$

{{anchor:hyp_radius}}

==== Radiusvektor ====

Der Radius lautet:

$$r = a\cdot \frac{1 - \epsilon^2}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{15}$$

Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie $M_h$ vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.