EphemPedia

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====== Physische Ephemeriden von Jupiter ======

In diesem Kapitel sollen für den Planeten Jupiter {{:sign_jupiter.png?20&nolink}} einige zusätzliche Daten berechnet werden, die für die Beobachtung nützlich sein können.

===== Die Systeme I, II und III =====

Am Planeten Jupiter wurden drei unterschiedliche Rotationssysteme festgelegt:

  * System I gilt für Objekte innerhalb von etwa $10^{\circ}$ nördlich bzw. südlich des Äquators. System I hat eine siderische Rotationsperiode von genau $877\overset{\circ}{.}90$ in 24 Stunden mittlerer Sonnenzeit. Die siderische Rotationsperiode beträgt $9^h50^m30\overset{s}{.}003$
  * System II, für höhere Breitengrade, wo die Wolkenstrukturen etwa fünf Minuten länger brauchen um den Planeten zu umkreisen als jene am Äquator, rotiert mit genau $870\overset{\circ}{.}27$ pro Tag. Die siderische Rotationsperiode beträgt $9^h55^m40\overset{s}{.}632$
  * System III liegt tief im Inneren des Planeten und gilt für die Radioemissionen des Planeten.

In den nachstehenden Berechnungen werden die Systeme I und II betrachtet, die für visuelle Beobachter von Interesse sind. Der Algorithmus stammt von J. Meeus "[[literaturhinweise#books_meeus|Astronomical Algorithms]]".

===== Berechnung =====

Wie schon im Kapitel [[:mars_physisch|Physische Ephemeriden von Mars]] bezeichnen $D_E$ und $D_S$ die **planetozentrischen** Deklinationen der Erde bzw. der Sonne und $P$ den Positionswinkel des nördlichen Rotationspols von Jupiter. Die Länge des Zentralmeridians wird für System I mit $\omega_1$ und für System II mit $\omega_2$ bezeichnet.

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^  Größe(n)              ^ Beschreibung                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               ^
|  $D_E$                 | Die planetozentrische Deklination der Erde. Ist sie positiv, ist der Nordpol Jupiters zur Erde geneigt.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 |
|  $D_S$                 | Die planetozentrische Deklination der Sonne. Ist sie positiv, ist der Nordpol Jupiters beleuchtet.      |
|  $P$                   | Per geozentrische Positionswinkel des nördlichen Rotationspols von Jupiter, auch Positionswinkel der Achse genannt. Dies ist der Winkel, den der Jupitermeridian vom Mittelpunkt der Scheibe zum nördlichen Rotationspol (auf der geozentrischen Himmelskugel) mit dem Deklinationskreis durch den Mittelpunkt bildet. Er wird vom Nordpunkt der Scheibe nach Osten gemessen. Per Definition bedeutet ein Positionswinkel von 0° Norden am Himmel, 90° Osten, 180° Süden und 270° Westen. |
|  $\omega_1, \omega_2$  | Die jovigrafische Länge des Zentralmeridians, von der Erde aus gesehen. Das Wort //jovigrafisch// bedeutet, dass ein Koordinatensystem auf der Jupiteroberfläche verwendet wird. $\omega_1$ bezieht sich auf System I und $\omega_2$ auf System II. |
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
Weil die Rotationsachse Jupiters nahezu senkrecht zur Bahnebene des Planeten um die Sonne steht, ist es bei der Berechnung von $D_S$ nicht erforderlich, $l$ und $b$ um die Aberration der Sonne zu korrigieren. Der Fehler in $D_S$, der durch diese Vereinfachung entsteht, wird niemals größer als $0\overset{''}{.}5$. Für einen gegebenen Zeitpunkt $t$ kann man nun die Werte von $D_E$, $D_S, \omega_1, \omega_2$ und $P$ wie folgt ermitteln.

==== Schritt 1 ====

Man berechne zunächst die julianische Tagzahl $JDE$ in der [[:dynamische_zeit_und_delta_t|Skala der dynamischen Zeit]] ($TD = UT + \Delta T$) und damit dann

$$d = JDE - 2433282.5\tag{1}$$

$$T_1 = \frac{d}{36525}\tag{2}\label{glg2}$$

Damit ergeben sich die Rektaszension $\alpha_0$ und Deklination $\delta_0$ des Nordpols Jupiters, bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums, durch die folgenden Ausdrücke:

\[\begin{align}
\begin{aligned}
\alpha_0 &= 268\overset{\circ}{.}00 + 0\overset{\circ}{.}1061\cdot T_1 \\[2ex]
\delta_0 &= 64\overset{\circ}{.}50 - 0\overset{\circ}{.}0164\cdot T_1
\end{aligned} \tag{3}
\end{align}\]

==== Schritt 2 ====

Man berechne die Winkel $W_1$ and $W_2$ mit

\[\begin{align}
\begin{aligned}
W_1 = 17\overset{\circ}{.}710 + 877\overset{\circ}{.}90003539\cdot d \\[2ex]
W_2 = 16\overset{\circ}{.}838 + 870\overset{\circ}{.}27003539\cdot d
\end{aligned} \tag{4}
\end{align}\]

Große Winkel werden mit der [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] auf das Intervall $[0^\circ, 360^\circ]$ reduziert.

Die Winkel $W_1$ und $W_2$ beziehen sich auf die Längengrade des Systems I bzw. II. Die Konstanten $17\overset{\circ}{.}7710$ und $16\overset{\circ}{.}838$ wurden gewählt, um eine Übereinstimmung mit den am Ende des 19. Jahrhunderts etablierten Jupiter-Längengradsystemen zu bewahren. Die beiden anderen Konstanten entsprechen den eingangs erwähnten Werten $877\overset{\circ}{.}90$ und $870\overset{\circ}{.}27$, multipliziert mit dem Faktor $0\overset{\circ}{.}00003539$, der täglichen Schwankung des Jupiteräquators zwischen seinem aufsteigenden und seinem aufsteigenden Knoten auf der Umlaufbahn.

==== Schritt 3 ====

Nun benötigt man die heliozentrischen Koordinaten $l_0$, $b_0$ sowie den Radiusvektor $R$ der Erde, bezogen auf die Ekliptik und das mittlere Äquinoktium des Datums, beispielsweise mithilfe der gekürzten [[:planetenpositionen#vsop87|Planetentheorie VSOP87 von Meeus]] oder der [[planetenpositionen#de200|DE200]].

==== Schritt 4 ====

Für denselben Zeitpunkt $t$ berechnet man die entsprechenden heliozentrischen Koordinaten $l$, $b$ und $r$ von Jupiter. Die Lichtlaufzeit $\tau$ wird hierbei **nicht berücksichtigt**!

==== Schritt 5 ====

Man berechnet nun die rechtwinkeligen Koordinaten $x, y, z$ und dann die Jupiterdistanz $\Delta$ zur Erde mit Hilfe von

\[\begin{align}
\begin{aligned}
x &= r\cdot\cos b \cdot\cos l - R\cdot\cos l_0 \\[2ex]
y &= r\cdot\cos b \cdot\sin l - R\cdot\sin l_0 \\[2ex]
z &= r\cdot\sin b - R\cdot\sin b_0 \\[2ex]
\Delta &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \gt 0
\end{aligned}\tag{5}
\end{align}\]

==== Schritt 6 ====

Die Lichtlaufzeit-Korrektur für die heliozentrische Länge von Jupiter $l$ (in Grad) lautet nun

$$\Delta l = \dfrac{-0\overset{\circ}{.}012990\cdot\Delta}{r^2}\tag{6}$$

Eine Korrektur der heliozentrischen Breite $b$ Jupiters kann bei diesem Algorithmus vernachlässigt werden.

==== Schritt 7 ====

Mit der **korrigierten Länge** für Jupiter $l + \Delta l$ berechnet man abermals die Größen $x, y, z$ und $\Delta$ laut Schritt 5.

==== Schritt 8 ====

Die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$ zum gegebenen Zeitpunkt [[:sonnenposition#eps0_info|findet man hier]].

<WRAP center round important 100%>
**ACHTUNG**: die julianischen Jahrhunderte $T$ für diese Gleichung müssen für den gegebenen Zeitpunkt ermittelt werden, es darf hier **nicht** $T_1$ (Gleichung $\eqref{glg2}$) genommen werden, sondern wie immer

$T = \dfrac{JDE - \color{#900}{2451545.0}}{36525}$
</WRAP>

==== Schritt 9 ====

Die äquatorialen Koordinaten der Sonne erhält man nun über

\[\begin{align}
\begin{aligned}
\tan \alpha_S &= \frac{\cos \varepsilon_0\cdot\sin l - \sin\varepsilon_0\cdot\tan b}{\cos l} \\[2ex]
\sin \delta_S &= \cos\varepsilon_0\cdot\sin b + \sin\varepsilon_0\cdot\cos b\cdot\sin l
\end{aligned} \tag{7}\label{glg7}
\end{align}\]

Zu beachten ist hier die [[:der_richtige_quadrant|quadrantenrichtige Berechnung]] der Rektaszension $\alpha_S$.

==== Schritt 10 ====

Die planetozentrische Deklination der Sonne $D_S$ ist nun gegeben durch

$$\sin D_S = -\sin \delta_0\cdot \sin \delta_S - \cos \delta_0\cdot \cos \delta_S\cdot \cos (\alpha_0 - \alpha_S)\tag{8}\label{glg8}$$

Die extremen Werte für $D_S$ sind $\pm 3\overset{\circ}{.}12$.

==== Schritt 11 ====

Nun benötigt man die Größen $u, v, \alpha, \delta$ und $\zeta$ mit 

\[\begin{align}
\begin{aligned}
u &= y\cdot\cos\varepsilon_0 - z\cdot\sin\varepsilon_0 \\[2ex]
v &= y\cdot\sin\varepsilon_0 + z\cdot\cos\varepsilon_0 \\[2ex]
\alpha &= \textrm{arctan2}(u, x) \\[2ex]
\delta &= \textrm{arctan2}(v, \sqrt{x^2 + u^2}) \\[2ex]
\zeta &= \textrm{arctan2}\big(\sin\delta_0\cdot\cos\delta\cdot\cos(\alpha_0 - \alpha) \\[2ex]
&- \sin\delta\cdot\cos\delta_0, \cos\delta\cdot\sin(\alpha_0 - \alpha)\big)
\end{aligned} \tag{9}
\end{align}\]

Auch hier müssen über die Funktion $\textrm{arctan2}$ die Winkel $\alpha, \zeta$ im [[:der_richtige_quadrant|korrekten Quadranten]] ermittelt werden. $\delta$ liegt im Intervall $[-90^\circ , 90^\circ]$.

==== Schritt 12 ====

Die planetozentrische Deklination der Erde $D_E$ ist nun gegeben durch

$$\sin D_E = -\sin \delta_0\cdot \sin \delta - \cos \delta_0\cdot \cos \delta\cdot \cos (\alpha_0 - \alpha)\tag{10}$$

Die extremen Werte für $D_E$ sind $\pm 3\overset{\circ}{.}4$.

==== Schritt 13 ====

Mit den Größen $\zeta$ (in Grad) und der Entfernung $\Delta$ in [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|astronomischen Einheiten]] erhält man nun

\[\begin{align}
\begin{aligned}
\omega_1 &= W_1 - \zeta - 5\overset{\circ}{.}07033\cdot\Delta \\[2ex]
\omega_2 &= W_2 - \zeta - 5\overset{\circ}{.}02626\cdot\Delta
\end{aligned} \tag{11}
\end{align}\]

Der letzte Term in den jeweiligen Gleichungen berücksichtigt die Rotation des Planeten während der Lichtlauftzeit. Wenn die Werte von $\omega_1, \omega_2$ größer als $360^\circ$ sind, werden sie wieder mit der [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] auf das Intervall $[0^\circ , 360^\circ]$ gebracht.

==== Schritt 14 ====

Die bisherigen Ergebnisse beziehen sich auf das //geometrische// Scheibchen Jupiters. Der Planet hat tatsächlich eine sehr kleine Phase, und die Längengrade des Zentralmeridians der beleuchteten Scheibe können durch Addition der //Korrektur für die Phase// $C$ zu $\omega_1$ bzw. $\omega_2$ ermittelt werden:

$$C = \pm \frac{180}{\pi}\cdot \left(\frac{2\cdot r\cdot\Delta - r^2 - \Delta^2}{4\cdot r\cdot\Delta}\right)\tag{12}$$

$C$ hat dabei dasselbe Vorzeichen wie $\sin (l-l_0)$ und ist ein relativ kleiner Winkel, der $0\overset{\circ}{.}61$ nicht überschreitet.

==== Schritt 15 ====

Wenn eine Genauigkeit von $0\overset{\circ}{.}1$ für den Positionswinkel $P$ ausreichen soll, kann man nun mit [[#schritt_18|Schritt 18]] fortfahren. Andernfalls berechnet man die Nutationen in Länge ($\Delta\psi$) und Schiefe ($\Delta\varepsilon$), wie es bei [[:mars_physisch#schritt_13|Mars in Schritt 13 erläutert wird]]. Es sollen nur die wichtigsten Terme verwendet werden, eine Genauigkeit von $0\overset{''}{.}01$ ist hier nicht erforderlich. 

Die wahre Ekliptikschiefe ist dann

$$\varepsilon = \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon\tag{13}$$.

==== Schritt 16 ====

Die Korrekturen für $\alpha$ und $\delta$ bezüglich der **Aberration** lauten nun:

Korrektur für $\alpha$:

\[\Delta\alpha_{Ab} = 0\overset{\circ}{.}005693\cdot\left( \frac{\cos\alpha \cdot \cos l_0 \cdot \cos\varepsilon + \sin\alpha\cdot\sin l_0}{\cos\delta} \right)\tag{14}\label{glg14}\]

und die Korrektur für $\delta$

\[\begin{align}
\Delta\delta_{Ab} &= 0\overset{\circ}{.}005693\cdot\big[\cos l_0 \cdot \cos \varepsilon \cdot (\tan\varepsilon \cdot \cos \delta -\sin\alpha\cdot\sin\delta ) \\
&+ \cos\alpha\cdot\sin\delta\cdot\sin l_0 \big]\tag{15}\label{glg15}
\end{align}\]

Die neuen Koordinaten sind nun 

\[\begin{align}
\begin{aligned}
\alpha &= \alpha + \Delta\alpha_{Ab} \\[2ex]
\delta &= \delta + \Delta\delta_{Ab}
\end{aligned} \tag{16}
\end{align}\]

Auf eine neue Variablenbezeichnung wurde hier verzichtet. 

==== Schritt 17 ====

Eine weitere Korrektur folgt für die **Nutation**, und zwar mit den bereits für Aberration korrigierten Koordinaten.

\[\begin{align}
\begin{aligned}
\Delta\alpha_N &= (\cos\varepsilon + \sin\varepsilon\cdot\sin\alpha\cdot\tan\delta)\cdot\Delta\psi \\
&-(\cos\alpha\cdot\tan\delta)\cdot\Delta\varepsilon \\[2ex]
\Delta\delta_N &= (\sin\varepsilon \cdot \cos\alpha) \cdot \Delta\psi +(\sin\alpha) \cdot\Delta\varepsilon
\end{aligned} \tag{17}\label{glg17}
\end{align}\]

Die neuen Koordinaten sind nun

\[\begin{align}
\begin{aligned}
\alpha' &= \alpha + \Delta\alpha_N \\[2ex]
\delta' &= \delta + \Delta\delta_N
\end{aligned} \tag{18}
\end{align}\]

Diese Nutationskorrekturen $\Delta\alpha_N, \Delta\delta_N$ müssen auch an den Koordinaten $\alpha_0, \beta_0$ aus [[#schritt_1|Schritt 1]] angebracht werden, indem in Gleichung $\eqref{glg17}$ jeweils $\alpha_0$ und $\delta_0$ anstatt von $\alpha$ und $\delta$ eingesetzt werden. Man erhält die korrigierten Korrdinaten $\alpha_0'$ und $\beta_0'$.

==== Schritt 18 ====

Der geozentrische Positionswinkel $P$ des nördlichen Rotationspols von Jupiter kann nun berechnet werden über

$$\tan P = \frac{\cos \delta_0'\cdot \sin (\alpha_0' - \alpha')}{\sin \delta_0'\cdot\cos\delta' - \cos\delta_0'\cdot\sin\delta'\cdot\cos (\alpha_0' - \alpha')}\tag{19}\label{glg19}$$

Auch hier wird wieder die Funktion $\textrm{arctan2}$ für den [[:der_richtige_quadrant|korrekten Quadranten]] verwendet.


----

<WRAP center round box 100%>

==== Beispiel ====

{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die physischen Daten $D_E, D_S, \omega_1, \omega_2$ und $P$ für Jupiter am 16.12.2024 um 21:15 mitteleuropäische Zeit (MEZ)**

<WRAP center round info 100%>
Im Beispiel wurden alle Formeln mittels JavaScript ausgewertet und **alle Kommastellen** stehen gelassen, um dem Leser beim Nachvollziehen der Berechnung diese Werte anzugeben. In der Praxis ist es natürlich absurd, so viele Kommastellen anzugeben! Werte für Winkel werden in der Regel auf 6 Kommastellen **gerundet**. Für die julianische Tagzahl $JDE$ genügen 5 Kommastellen, da $0\overset{d}{.}00001 = 0\overset{s}{.}864$ sind. Für die Größe von $T$ sollten jedoch alle verfügbaren Nachkommastellen mitgezogen werden!
</WRAP>

----

Der [[:julianischer_tag_jd#berechnung_des_jd|Julianische Tag]] $JD$ wird mit den Weltzeit-Daten

\(\begin{align}
Y &= 2024 \\[2ex]
M &= 12 \\
D &= 16 + \dfrac{21.25 - 1^h}{24} = 16.84375
\end{align}\)

bestimmt zu $JD = 2460661.34375$.

Im Jahr 2024 war der Wert von [[dynamische_zeit_und_delta_t#delta_t_tab5|$\Delta T = 69^{s}$]]
, diese müssen hinzugefügt werden, um in die Skala der dynamischen Zeit $TD$ umzurechnen, daher folgt

\(\begin{align}
JDE &= 2460661.34375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\
    &= 2460661.344548611
\end{align}\)

Daraus erhält man die julianischen Jahrhunderte für [[#schritt_8|Schritt 8]] zu

\(\begin{align}
T &= \frac{(2460661.344548611 - 2451545.0)}{36525}\\
&= 0.24959191098181985
\end{align}\)

**Schritt 1**

\(\begin{align}
d &= JDE - 2433282.5 \\
  &= 27378.84454861097 \\[2ex]
T_1 &= \frac{d}{36525} \\
    &= 0.7495919109818199
\end{align}\)

Rektaszension $\alpha_0$ und Deklination $\delta_0$ des Nordpols Jupiters ergeben dann

\(\begin{align}
\alpha_0 &= 268\overset{\circ}{.}00 + 0\overset{\circ}{.}1061\cdot T_1 \\
         &= 268\overset{\circ}{.}0795317017552 \\[2ex]
\delta_0 &= 64\overset{\circ}{.}50 - 0\overset{\circ}{.}0164\cdot T_1 \\
         &= 64\overset{\circ}{.}4877066926599
\end{align}\)

**Schritt 2**

Die Winkel $W_1$ und $W_2$ ergeben

\(\begin{align}
W_1 &= 17\overset{\circ}{.}710 + 877\overset{\circ}{.}90003539\cdot d \\
    &= 24035906\overset{\circ}{.}30816288 \\
		&= 146\overset{\circ}{.}3081628791988 \\[2ex]
W_2 &= 16\overset{\circ}{.}838 + 870\overset{\circ}{.}27003539\cdot d \\
    &= 23827004\overset{\circ}{.}852256976 \\
		&= 44\overset{\circ}{.}85225697606802
\end{align}\)

**Schritt 3+4**

Die heliozentrischen Koordinaten $l_0$, $b_0, R$ der Erde sowie jene von Jupiter, bezogen auf die Ekliptik und das mittlere Äquinoktium des Datums, werden in diesem Beispiel mit der gekürzten [[:planetenpositionen#vsop87|Planetentheorie VSOP87 von Meeus]] berechnet:

\(\begin{align}
l_0 &= 85\overset{\circ}{.}37973971431711\\
b_0 &= -0\overset{\circ}{.}0001555016261501523\\
R &= 0.9840623823820213\;\text{AU}\\[2ex]
l &= 77\overset{\circ}{.}03711695755351\\
b &= -0\overset{\circ}{.}5234216628664597\\
r &= 5.077631006133755\;\text{AU}\\
\end{align}\)

**Schritt 5**

Die Berechnung der rechtwinkeligen Koordinaten $x, y, z$ und die Jupiterdistanz $\Delta$ zur Erde ergibt

\(\begin{align}
x &= r\cdot\cos b \cdot\cos l - R\cdot\cos l_0 \\
  &= 1.059698038739905 \\
y &= r\cdot\cos b \cdot\sin l - R\cdot\sin l_0 \\
  &= 3.9671594502588214 \\
z &= r\cdot\sin b - R\cdot\sin b_0 \\
  &= -0.04638303373518146 \\
\Delta &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\
  &= 4.106514997282435
\end{align}\)

**Schritt 6+7**

Die Lichtlaufzeitkorrektur für die heliozentrische Länge $l$ von Jupiter (in Grad) ist dann

\(\begin{align}
\Delta l &= \dfrac{-0\overset{\circ}{.}012990\cdot\Delta}{r^2} \\
         &= -0\overset{\circ}{.}002068999042678699
\end{align}\)

\(\begin{align}
l &= 77\overset{\circ}{.}03711695755351 - 0\overset{\circ}{.}002068999042678699 \\
  &= 77\overset{\circ}{.}03504795851083
\end{align}\)

Die nochmalige Durchführung von [[#schritt_5|Schritt 5]] mit der korrigierten Länge $l$ liefert die neuen rechtwinkeligen Koordinaten und den Radiusvektor

\(\begin{align}
x &= 1.0598767153304132 \\
y &= 3.967118318020806 \\
z &= -0.04638303373518146 \\
\Delta &= 4.106521372974247
\end{align}\)

**Schritt 8**

Die mittlere Schiefe der Ekliptik erhält man mit mittels [[sonnenposition#eps0_info|dieser Formel]] unter Verwendung von $T$:

$\varepsilon_0 = 23\overset{\circ}{.}436045373922862$

**Schritt 9**

Die Gleichungen $\eqref{glg7}$ ergeben nun die äquatorialen Koordinaten der Sonne mit

\(\begin{align}
\alpha_S &= 75\overset{\circ}{.}96869171142396 \\
\delta_S &= 22\overset{\circ}{.}28341373261689
\end{align}\)

**Schritt 10**

Die Formel $\eqref{glg8}$ für die planetozentrische Deklination der Sonne (Nordpol Jupiters beleuchtet?) liefert

\(\begin{align}
\sin D_S &= 0.047454685241022754 \\
     D_S &= \text{arcsin}(0.047454685241022754) \\
         &= 2\overset{\circ}{.}7199747077730976
\end{align}\)

Der Wert ist positiv, daher ist der Jupiternordpol der Sonne zugewandt und beleuchtet.

**Schritt 11**

Die weiteren Hilfswerte ergeben sukzessive

\(\begin{align}

u &= 3.6582969829917573 \\
v &= 1.5352662046785603 \\[2ex]
\alpha &= 73\overset{\circ}{.}84271387138028 \\
\delta &= 21\overset{\circ}{.}953903346833833 \\
\zeta &= -103\overset{\circ}{.}20171313351129 \\
      &= 256\overset{\circ}{.}7982868664887
\end{align}\)

**Schritt 12**

Die planetozentrische Deklination der Erde $D_E$ ist dann

\(\begin{align}
\sin D_E &= 0.049796921892012846 \\
     D_E &= \text{arcsin}(0.049796921892012846) \\
         &= 2\overset{\circ}{.}8543339515882034
\end{align}\)

Der Wert ist positiv, daher ist der Jupiternordpol der Erde zugewandt.

**Schritt 13+14**

Die Startwerte für die jovigrafischen Längen der Zentralmeridiane $I$ und $II$ sind damit

\(\begin{align}
\omega_1 &= W_1 - \zeta - 5\overset{\circ}{.}07033\cdot\Delta \\
         &= 228\overset{\circ}{.}68845750018954 \\[2ex]
\omega_2 &= W_2 - \zeta - 5\overset{\circ}{.}02626\cdot\Delta \\
         &= 127\overset{\circ}{.}41352599486709
\end{align}\)

Die Phasenkorrektur $C$ ist negativ, weil

$\sin (l - l_0) = -0.14512800521873637 \lt 0$ ist:

$C = \color{red}{-}0\overset{\circ}{.}017396999302440874$

Damit lauten die korrigierten Werte für die Zentralmeridiane

\(\begin{align}
\omega_1 &= 228\overset{\circ}{.}68845750018954 - 0\overset{\circ}{.}017396999302440874\\
         &= 228\overset{\circ}{.}6710605008871 \\[2ex]
\omega_2 &= 127\overset{\circ}{.}41352599486709 - 0\overset{\circ}{.}017396999302440874 \\
         &= 127\overset{\circ}{.}39612899556465
\end{align}\)

**Schritt 15**

Die Berechnung der Nutationswerte mit dem [[mars_physisch#schritt_13|schnellen Algorithmus]] liefert

\(\begin{align}
\Delta\psi &= -0\overset{''}{.}7883394981476626 \\
           &= -0\overset{\circ}{.}00021898319392990627 \\[2ex]
\Delta\varepsilon &= 8\overset{''}{.}443290473435685 \\
         &= 0\overset{\circ}{.}0023453584648432456
\end{align}\)

Damit ist die wahre Schiefe der Ekliptik

\(\begin{align}
\Delta\varepsilon &= \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon \\
                  &= 23\overset{\circ}{.}438390732387706
\end{align}\)

**Schritt 16**

Die Korrekturwerte bezüglich der Aberration mit den Gleichungen $\eqref{glg14}$ bzw. $\eqref{glg15}$ sind

\(\begin{align}
\Delta\alpha_{Ab} &= 0\overset{\circ}{.}00600273607080474 \\
\Delta\delta_{Ab} &= 0\overset{\circ}{.}0006084459497762523
\end{align}\)

und die neuen Werte für $\alpha$ und $\delta$ lauten

\(\begin{align}
\alpha &= 73\overset{\circ}{.}84271387138028 + 0\overset{\circ}{.}00600273607080474 \\
       &= 73\overset{\circ}{.}84871660745108 \\[2ex]
\delta &= 21\overset{\circ}{.}953903346833833 + 0\overset{\circ}{.}0006084459497762523 \\
       &= 21\overset{\circ}{.}95451179278361
\end{align}\)

**Schritt 17**

Sowohl $\alpha,\delta$ als auch $\alpha_0,\delta_0$ werden jetzt noch bezüglich der Nutation korrigiert, indem man in die Gleichungen $\eqref{glg17}$ die entsprechenden Werte einsetzt. Man erhält

\(\begin{align}
\Delta\alpha_N &= -0\overset{\circ}{.}0004976323368056347 \\
\Delta\delta_N &= 0\overset{\circ}{.}002228558535546491 \\[2ex]
\Delta\alpha_{0,N} &= 0\overset{\circ}{.}000146191687474163 \\
\Delta\delta_{0,N} &= -0\overset{\circ}{.}002341122068669366
\end{align}\)

und damit

\(\begin{align}
\alpha' &= 73\overset{\circ}{.}84871660745108 - 0\overset{\circ}{.}0004976323368056347 \\
       &= 73\overset{\circ}{.}84821897511428 \\
\delta' &= 21\overset{\circ}{.}95451179278361 + 0\overset{\circ}{.}002228558535546491 \\
       &= 21\overset{\circ}{.}956740351319155 \\[2ex]
\alpha_0' &= 268\overset{\circ}{.}0795317017552 + 0\overset{\circ}{.}000146191687474163 \\
       &= 268\overset{\circ}{.}07967789344264 \\
\delta_0' &= 64\overset{\circ}{.}4877066926599 - 0\overset{\circ}{.}002341122068669366 \\
       &= 64\overset{\circ}{.}48536557059123 \\[2ex]    
\end{align}\)

**Schritt 18**

Mit der Formel $\eqref{glg19}$ kann nun der geozentrische Positionswinkel $P$ des nördlichen Rotationspols von Jupiter berechnet werden. Man erhält

\(\begin{align}
P &= -6\overset{\circ}{.}086218597827203 \\
  &= 353\overset{\circ}{.}9137814021728
\end{align}\)

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^  Größe                                       ^  Dieses Beispiel             ^  GUIDE 8                     ^
|  $\omega_1$                                  |  $228\overset{\circ}{.}67$   |  $228\overset{\circ}{.}71$   |
|  $\omega_2$                                  |  $127\overset{\circ}{.}40$   |  $127\overset{\circ}{.}38$   |
|  $D_E$                                       |  $+2\overset{\circ}{.}8543$  |  $+2\overset{\circ}{.}8506$  |
|  $D_S$                                       |  $+2\overset{\circ}{.}7199$  |  ---                         |
|  $P$                                         |  $353\overset{\circ}{.}91$   |  $353\overset{\circ}{.}91$   |

</WRAP>

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Den Beleuchtungsgrad $k$ sowie den Phasenwinkel $i$ erhält man mit denselben Formeln wie [[:mars_physisch#schritt_19|für Mars]].