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+++ sichtweite_und_kimmtiefe [2025/10/17 23:34] (aktuell) – [Sichtweite und Kimmtiefe] quern
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 <imgcaption Abb.1|>{{ :sichtweite_und_kimmtiefe_abb1.png |Kimmtiefe des Horizonts}}</imgcaption>
-Den Winkel $\theta$ nennt man in der Nautik Kimmtiefe (engl. Dip). Aufgrund der Erdkrümmung kann der Beobachter oberhalb der Erdoberfläche unter den astronomischen Horizont blicken. Die Kimmtiefe $\theta$ hängt von der Höhe des $e$ Beobachters ab.
+Den Winkel $\theta$ nennt man in der Nautik Kimmtiefe (engl. //Dip of horizon//). Aufgrund der Erdkrümmung kann der Beobachter oberhalb der Erdoberfläche unter den astronomischen Horizont blicken. Die Kimmtiefe $\theta$ hängt von der Höhe des $e$ Beobachters ab.
 <imgcaption Abb.2|>{{ :sichtweite_und_kimmtiefe_abb2.png?400 |Prinzipskizze zur Berechnung von &theta;}}</imgcaption>
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 h &= \sqrt{(r + e)^2 - r^2} = \sqrt{2\cdot e\cdot r + e^2}\\
 h &\approx \sqrt{2\cdot e\cdot r}
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{1}\]
 da $e^2$ eine sehr kleine Größe ist.
 Da $\theta$ ein //kleiner// Winkel ist, gilt im Bogenmaß $\theta\approx\tan\theta$, woraus
-$$\theta^{rad}\approx \tan\theta = \frac{h}{r}\approx \sqrt{\frac{2\cdot e}{r}}$$
+$$\theta^{rad}\approx \tan\theta = \frac{h}{r}\approx \sqrt{\frac{2\cdot e}{r}}\tag{2}$$
 folgt. Nimmt man für $r$ einen Mittelwert (von Äquator- und Polradius) von $6367.45\;km = 6367450\;m$ an und rechnet [[mathematische_grundlagen#grad-_und_bogenmass|Radiant in Grad um]], ergibt sich die Näherungsformel
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 \theta^{\circ} &\approx \frac{180^{\circ}}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{2}{6367450}} \cdot \sqrt{e}\\
 \theta^{\circ} &\approx 0.032111 \cdot \sqrt{e}
-\end{align}\tag{1}\]
+\end{align}\tag{3}\]
 wobei $e$ in **Metern** ausgedrückt wird.
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 Für einige Werte der Höhe $e$ des Beobachters gibt die nachstehende Tabelle 1 den entsprechenden Wert $\theta$ an. Man stellt fest, dass bei einer Höhe von nur einem Meter die Kimmtiefe bereits $2''$ beträgt! Bei größeren Höhen nimmt die Kimmtiefe jedoch immer langsamer zu. Um eine 10mal so große Kimmtiefe zu erhalten, muss die Höhe mit 100 multipliziert werden. Bei einer Höhe von etwa 276 Metern entspricht die Kimmtiefe etwa dem scheinbaren Winkeldurchmesser der Sonne.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="200px,140px,240px"&float=center}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="200px,130px,220px"&float=center}}
-^  Tabelle 1                                                                 |||
+^  Tabelle 1  |||
-^  Höhe von $B$ in $[m]$  ^  $\theta$            ^  Sichtweite in $[km]$      ^
+^  Höhe von $B$ in $[m]$  ^  $\theta$            ^  Sichtweite in $[km]$  ^
-|  $0$                    |  $0^{\circ}$         |  $0$                       |
+|  $0$                    |  $0^{\circ}$         |  $0$                   |
-|  $1$                    |  $0^{\circ}01'56''$  |  $4$                       |
+|  $1$                    |  $0^{\circ}01'56''$  |  $4$                   |
-|  $2$                    |  $0^{\circ}02'43''$  |  $5$                       |
+|  $2$                    |  $0^{\circ}02'43''$  |  $5$                   |
-|  $10$                   |  $0^{\circ}06'06''$  |  $11$                      |
+|  $10$                   |  $0^{\circ}06'06''$  |  $11$                  |
-|  $50$                   |  $0^{\circ}13'37''$  |  $25$                      |
+|  $50$                   |  $0^{\circ}13'37''$  |  $25$                  |
-|  $100$                  |  $0^{\circ}19'16''$  |  $36$                      |
+|  $100$                  |  $0^{\circ}19'16''$  |  $36$                  |
-|  $1000$                 |  $1^{\circ}00'55''$  |  $113$                     |
+|  $1000$                 |  $1^{\circ}00'55''$  |  $113$                 |
 Wie bereits erwähnt ist Formel (1) nur gültig, wenn die Höhe $e$ des Beobachters klein im Verhältnis zum Erdradius $r$ ist.
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 Die Höhe $h$ der Sonne ergibt sich aus
-$$\sin(h) = \sin(\delta_{\odot})\cdot\sin(\beta_0) + \cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\cos (\tau)\tag{2}$$
+$$\sin(h) = \sin(\delta_{\odot})\cdot\sin(\beta_0) + \cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\cos (\tau)\tag{4}$$
 wobei $\delta_{\odot}$ die Deklination der Sonne, $\beta_0$ die geografische Breite des Beobachters und $\tau$ der Stundenwinkel der Sonne ist. Wenn man die **1. Ableitung** beider Elemente dieser Formel nach der Zeit nimmt, erhält man (unter Berücksichtigung der Konstanz von $\beta_0$ und Vernachlässigung der sehr kleinen Variation von $\delta_{\odot}$)
-$$\cos(h)\cdot \textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{3}$$
+$$\cos(h)\cdot \textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{5}$$
 bzw., weil am Horizont $\cos(h) = 1$ gilt,
-$$\textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{4}$$
+$$\textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{6}$$
 Hier ist $\textrm{d}\tau$ die Variation des Stundenwinkels der Sonne ($360^{\circ}$ pro Tag oder $1^{\circ}$ alle 240 Sekunden) und $\textrm{d}h$ die Variation ihrer Höhe, ausgedrückt in denselben Einheiten wie $\textrm{d}\tau$. Der Wert von $\sin(\tau)$ kann aus der Tatsache abgeleitet werden, dass man am Horizont (unter Vernachlässigung der Lichtbrechung) $\cos(\tau) = -\tan(\delta_{\odot})\cdot \tan(\beta_0)$ gegeben hat.
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 Man sieht jetzt, dass der Faktor $A = \cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)$ **nicht** vom Vorzeichen von $\delta_{\odot}$ oder $\beta_0$ abhängt, da der Kosinus eine **gerade** Funktion ist.
-Am Äquator ist $\sin(\tau) = 1$ (oder $-1$) für alle Deklinationen, aber $A = 1$ nur bei den Tagundnachtgleichen. Wenn $\delta_{\odot}$ von $0^{\circ}$ abweicht, ist $A \lt 1$, obwohl der Tagesweg der Sonne senkrecht zum Horizont ist. Für eine gegebene geografische Breite ist die Größe $A$ am größten zur Tagundnachtgleiche und am kleinsten zur Sonnenwende. Sie nimmt beispielsweise folgende Werte an:
+Am Äquator ist $\sin(\tau) = 1$ (oder $-1$) für alle Deklinationen, aber $A = 1$ nur bei den Tagundnachtgleichen. Wenn $\delta_{\odot}$ von $0^{\circ}$ abweicht, ist $A \lt 1$, obwohl der Tagbogen der Sonne senkrecht zum Horizont steht. Für eine gegebene geografische Breite $\beta_0$ ist die Größe $A$ am größten zur Tagundnachtgleiche und am kleinsten zur Sonnenwende. Sie nimmt beispielsweise folgende Werte an:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="130px,210px,150px"&float=center}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,210px,150px"&float=center}}
-^  Tabelle 2                                         |||
+^  Tabelle 2  |||
 ^  $\beta_0$     ^  Tag-/Nachtgleichen  ^  Sonnwenden  ^
-|  $0 ^{\circ}$  |  $1     $            |  $0.9175$    |
+|  $0 ^{\circ}$  |  $1.0000$            |  $0.9175$    |
 |  $30^{\circ}$  |  $0.8660$            |  $0.7693$    |
 |  $40^{\circ}$  |  $0.7660$            |  $0.6547$    |