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 ====== Sichtweite und Kimmtiefe ======
-Dieses Thema kommt eher aus der Nautik, Meteorologie oder Geodäsie als aus der Ephemeridenrechnung. Es geht um die (berechenbare) Entfernung zum Horizont (Sichtweite) und den dazugehörenden Winkel. Die Kimmtiefe ist der Winkel, den die Horizontale vom Auge des um e erhöhten Beobachters (der „wahre“, astronomische Horizont) mit der Tangente an die Erdoberfläche (der sichtbare Horizont) bildet. Im Folgenden wird der Effekt der [[koordinatenreduktion#refraktion|atmosphärischen Lichtbrechung]] vernachlässigt. Es gibt aber Möglichkeiten, die Lichtbrechung bei diesem Thema ebenfalls zu berücksichtigen.
+Dieses Thema kommt eher aus der Nautik, Meteorologie oder Geodäsie als aus der Ephemeridenrechnung. Es geht um die (berechenbare) Entfernung zum Horizont (Sichtweite) und den dazugehörenden Winkel. Die Kimmtiefe ist der Winkel, den die Horizontale vom Auge des um $e$ erhöhten Beobachters (der „wahre“, astronomische Horizont) mit der Tangente an die Erdoberfläche (der sichtbare Horizont) bildet. Im Folgenden wird der Effekt der [[koordinatenreduktion#refraktion|atmosphärischen Lichtbrechung]] vernachlässigt. Es gibt aber Möglichkeiten, die Lichtbrechung bei diesem Thema ebenfalls zu berücksichtigen.
 In der **Abb.1** ist $\overline{HH}$ (bzw. $\overline{H'H'}$) der astronomische Horizont und $\overline{BS}$ der sichtbare Horizont des Beobachters $B$, der sich in einer Höhe $e = \overline{PB}$ über der Erdoberfläche befindet.
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 <imgcaption Abb.1|>{{ :sichtweite_und_kimmtiefe_abb1.png |Kimmtiefe des Horizonts}}</imgcaption>
-Den Winkel $\theta$ nennt man in der Nautik Kimmtiefe (engl. Dip). Aufgrund der Erdkrümmung kann der Beobachter oberhalb der Erdoberfläche unter den astronomischen Horizont blicken. Die Kimmtiefe $\theta$ hängt von der Höhe des $e$ Beobachters ab.
+Den Winkel $\theta$ nennt man in der Nautik Kimmtiefe (engl. //Dip of horizon//). Aufgrund der Erdkrümmung kann der Beobachter oberhalb der Erdoberfläche unter den astronomischen Horizont blicken. Die Kimmtiefe $\theta$ hängt von der Höhe des $e$ Beobachters ab.
 <imgcaption Abb.2|>{{ :sichtweite_und_kimmtiefe_abb2.png?400 |Prinzipskizze zur Berechnung von &theta;}}</imgcaption>
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 h &= \sqrt{(r + e)^2 - r^2} = \sqrt{2\cdot e\cdot r + e^2}\\
 h &\approx \sqrt{2\cdot e\cdot r}
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{1}\]
 da $e^2$ eine sehr kleine Größe ist.
 Da $\theta$ ein //kleiner// Winkel ist, gilt im Bogenmaß $\theta\approx\tan\theta$, woraus
-$$\theta^{rad}\approx \tan\theta = \frac{h}{r}\approx \sqrt{\frac{2\cdot e}{r}}$$
+$$\theta^{rad}\approx \tan\theta = \frac{h}{r}\approx \sqrt{\frac{2\cdot e}{r}}\tag{2}$$
 folgt. Nimmt man für $r$ einen Mittelwert (von Äquator- und Polradius) von $6367.45\;km = 6367450\;m$ an und rechnet [[mathematische_grundlagen#grad-_und_bogenmass|Radiant in Grad um]], ergibt sich die Näherungsformel
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 \theta^{\circ} &\approx \frac{180^{\circ}}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{2}{6367450}} \cdot \sqrt{e}\\
 \theta^{\circ} &\approx 0.032111 \cdot \sqrt{e}
-\end{align}\tag{1}\]
+\end{align}\tag{3}\]
 wobei $e$ in **Metern** ausgedrückt wird.
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 Die Höhe $h$ der Sonne ergibt sich aus
-$$\sin(h) = \sin(\delta_{\odot})\cdot\sin(\beta_0) + \cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\cos (\tau)\tag{2}$$
+$$\sin(h) = \sin(\delta_{\odot})\cdot\sin(\beta_0) + \cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\cos (\tau)\tag{4}$$
 wobei $\delta_{\odot}$ die Deklination der Sonne, $\beta_0$ die geografische Breite des Beobachters und $\tau$ der Stundenwinkel der Sonne ist. Wenn man die **1. Ableitung** beider Elemente dieser Formel nach der Zeit nimmt, erhält man (unter Berücksichtigung der Konstanz von $\beta_0$ und Vernachlässigung der sehr kleinen Variation von $\delta_{\odot}$)
-$$\cos(h)\cdot \textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{3}$$
+$$\cos(h)\cdot \textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{5}$$
 bzw., weil am Horizont $\cos(h) = 1$ gilt,
-$$\textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{4}$$
+$$\textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{6}$$
 Hier ist $\textrm{d}\tau$ die Variation des Stundenwinkels der Sonne ($360^{\circ}$ pro Tag oder $1^{\circ}$ alle 240 Sekunden) und $\textrm{d}h$ die Variation ihrer Höhe, ausgedrückt in denselben Einheiten wie $\textrm{d}\tau$. Der Wert von $\sin(\tau)$ kann aus der Tatsache abgeleitet werden, dass man am Horizont (unter Vernachlässigung der Lichtbrechung) $\cos(\tau) = -\tan(\delta_{\odot})\cdot \tan(\beta_0)$ gegeben hat.
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 Man sieht jetzt, dass der Faktor $A = \cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)$ **nicht** vom Vorzeichen von $\delta_{\odot}$ oder $\beta_0$ abhängt, da der Kosinus eine **gerade** Funktion ist.
-Am Äquator ist $\sin(\tau) = 1$ (oder $-1$) für alle Deklinationen, aber $A = 1$ nur bei den Tagundnachtgleichen. Wenn $\delta_{\odot}$ von $0^{\circ}$ abweicht, ist $A \lt 1$, obwohl der Tagesweg der Sonne senkrecht zum Horizont ist. Für eine gegebene geografische Breite ist die Größe $A$ am größten zur Tagundnachtgleiche und am kleinsten zur Sonnenwende. Sie nimmt beispielsweise folgende Werte an:
+Am Äquator ist $\sin(\tau) = 1$ (oder $-1$) für alle Deklinationen, aber $A = 1$ nur bei den Tagundnachtgleichen. Wenn $\delta_{\odot}$ von $0^{\circ}$ abweicht, ist $A \lt 1$, obwohl der Tagbogen der Sonne senkrecht zum Horizont steht. Für eine gegebene geografische Breite $\beta_0$ ist die Größe $A$ am größten zur Tagundnachtgleiche und am kleinsten zur Sonnenwende. Sie nimmt beispielsweise folgende Werte an:
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