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--- sichtweite_und_kimmtiefe [2025/06/29 14:42] – hcgreier
+++ sichtweite_und_kimmtiefe [2025/06/29 14:59] (aktuell) – quern
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 h &= \sqrt{(r + e)^2 - r^2} = \sqrt{2\cdot e\cdot r + e^2}\\
 h &\approx \sqrt{2\cdot e\cdot r}
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{1}\]
 da $e^2$ eine sehr kleine Größe ist.
 Da $\theta$ ein //kleiner// Winkel ist, gilt im Bogenmaß $\theta\approx\tan\theta$, woraus
-$$\theta^{rad}\approx \tan\theta = \frac{h}{r}\approx \sqrt{\frac{2\cdot e}{r}}$$
+$$\theta^{rad}\approx \tan\theta = \frac{h}{r}\approx \sqrt{\frac{2\cdot e}{r}}\tag{2}$$
 folgt. Nimmt man für $r$ einen Mittelwert (von Äquator- und Polradius) von $6367.45\;km = 6367450\;m$ an und rechnet [[mathematische_grundlagen#grad-_und_bogenmass|Radiant in Grad um]], ergibt sich die Näherungsformel
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 \theta^{\circ} &\approx \frac{180^{\circ}}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{2}{6367450}} \cdot \sqrt{e}\\
 \theta^{\circ} &\approx 0.032111 \cdot \sqrt{e}
-\end{align}\tag{1}\]
+\end{align}\tag{3}\]
 wobei $e$ in **Metern** ausgedrückt wird.
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 Die Höhe $h$ der Sonne ergibt sich aus
-$$\sin(h) = \sin(\delta_{\odot})\cdot\sin(\beta_0) + \cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\cos (\tau)\tag{2}$$
+$$\sin(h) = \sin(\delta_{\odot})\cdot\sin(\beta_0) + \cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\cos (\tau)\tag{4}$$
 wobei $\delta_{\odot}$ die Deklination der Sonne, $\beta_0$ die geografische Breite des Beobachters und $\tau$ der Stundenwinkel der Sonne ist. Wenn man die **1. Ableitung** beider Elemente dieser Formel nach der Zeit nimmt, erhält man (unter Berücksichtigung der Konstanz von $\beta_0$ und Vernachlässigung der sehr kleinen Variation von $\delta_{\odot}$)
-$$\cos(h)\cdot \textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{3}$$
+$$\cos(h)\cdot \textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{5}$$
 bzw., weil am Horizont $\cos(h) = 1$ gilt,
-$$\textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{4}$$
+$$\textrm{d}h = -\cos(\delta_{\odot})\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(\tau)\cdot\textrm{d}\tau\tag{6}$$
 Hier ist $\textrm{d}\tau$ die Variation des Stundenwinkels der Sonne ($360^{\circ}$ pro Tag oder $1^{\circ}$ alle 240 Sekunden) und $\textrm{d}h$ die Variation ihrer Höhe, ausgedrückt in denselben Einheiten wie $\textrm{d}\tau$. Der Wert von $\sin(\tau)$ kann aus der Tatsache abgeleitet werden, dass man am Horizont (unter Vernachlässigung der Lichtbrechung) $\cos(\tau) = -\tan(\delta_{\odot})\cdot \tan(\beta_0)$ gegeben hat.