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--- rechtwinkelige_sonnenkoordinaten [2024/02/15 23:44] – [Rechtwinkelige Koordinaten für das mittlere Äquinoktium des Datums] hcgreier
+++ rechtwinkelige_sonnenkoordinaten [2025/10/12 17:06] (aktuell) – quern
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 Für die Berechnung einer Ephemeride eines Kleinplaneten oder eines Kometen werden die rechtwinkeligen, geozentrischen äquatorialen Koordinaten $X, Y, Z$ der Sonne benötigt. Der Ursprung dieser Koordinaten ist der Mittelpunkt der Erde. Die $X$-Achse ist auf die Frühlings-Tagundnachtgleiche ($\lambda = 0^{\circ}$) gerichtet; Die $Y$-Achse liegt ebenfalls in der Äquatorebene und ist auf den Längengrad $90^{\circ}$ ausgerichtet, während die $Z$-Achse auf den Himmelsnordpol gerichtet ist.
-Die Werte von $X, Y, Z$ werden für jeden Tag um $0^{h} TD$ in den großen astronomischen Almanachen angegeben. Sie werden in [[:astronomische_begriffe#astronomische_einheit|astronomischen Einheiten $AE$]] ausgedrückt. Im Allgemeinen beziehen sie sich nicht auf den mittleren Äquator und das mittlere Äquinoktium des Datums, sondern auf ein Standard-Äquinoktium , beispielsweise jenes von $J2000.0$.
+Die Werte von $X, Y, Z$ werden für jeden Tag um $0^{h} TD$ in den großen astronomischen Almanachen angegeben. Sie werden in [[:astronomische_begriffe#astronomische_einheit|astronomischen Einheiten]] $AE$ ausgedrückt. Im Allgemeinen beziehen sie sich nicht auf den mittleren Äquator und das mittlere Äquinoktium des Datums, sondern auf ein Standard-Äquinoktium, beispielsweise jenes von $J2000.0$.
 ===== Rechtwinkelige Koordinaten für das mittlere Äquinoktium des Datums =====
 Man berechnet zunächst die geometrischen Koordinaten der Sonne, jedoch **ohne** die Korrekturen für Nutation und Aberration.
-Wenn $\odot$ und $\beta$ der geometrische Längen- und Breitengrad der Sonne und $R$ ihr Radiusvektor in astronomischen Einheiten sind, dann sind die erforderlichen rechtwinkligen Koordinaten der Sonne, bezogen auf den //mittleren// Äquator und die Tagundnachtgleiche des Datums, gegeben durch
+Wenn $\odot$ und $\beta$ der geometrische Längen- und Breitengrad der Sonne und $R$ ihr Radiusvektor in astronomischen Einheiten sind, dann sind die erforderlichen rechtwinkligen Koordinaten der Sonne, bezogen auf den //mittleren// Äquator und das Äquinoktium des Datums, gegeben durch
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+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} X &= R\cdot \cos \beta \cdot \cos \odot\\ Y &= R\cdot \big(\cos \beta \cdot \sin \odot \cdot \cos \varepsilon - \sin \beta \cdot \sin \varepsilon \big)\\ Z &= R\cdot \big(\cos \beta \cdot \sin \odot \cdot \sin \varepsilon + \sin \beta \cdot \cos \varepsilon \big) \end{align}\]  |
+X &= R\cdot\cos(\beta)\cdot\cos(\odot)\\
+Y &= R\cdot\big(\cos(\beta)\cdot\sin(\odot)\cdot\cos(\varepsilon)-\sin(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)\big)\\
+Z &= R\cdot\big(\cos(\beta)\cdot\sin(\odot)\cdot\sin(\varepsilon)+\sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon)\big)
+\end{align}\tag{1}\]
 Da der Breitengrad der Sonne, bezogen auf die Ekliptik des Datums, niemals $1\overset{''}{.}2$ Bogensekunden überschreitet, kann man in den Formeln oft $\cos \beta \approx 1$ und $\sin \beta \approx 0$ einsetzen und erhält vereinfacht:
 \[\begin{align}
-X &= R\cdot \cos \odot\\
+X &= R\cdot\cos(\odot)\\
-Y &= R\cdot \sin \odot \cdot \cos \varepsilon\\
+Y &= R\cdot\sin(\odot)\cdot\cos(\varepsilon)\\
-Z &= R\cdot \sin \odot \cdot \sin \varepsilon
+Z &= R\cdot\sin(\odot)\cdot\sin(\varepsilon)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{2}\]
-Die Ekliptikschiefe $\varepsilon$ ist eine Veränderliche in julianischen Jahrhunderten $T$, wobei
+Die (mittlere) Ekliptikschiefe $\varepsilon_0$ ist eine Veränderliche in julianischen Jahrhunderten $T$, wobei
-$$T = \frac{(JDE - 2451545.0)}{36525}$$
+$$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\tag{3}$$
 ist und damit
 \[\begin{align}
-\varepsilon &= 23\overset{\circ}{.}439291111\\
+\varepsilon_0 &= 23\overset{\circ}{.}439291111\\
-                &- \big(46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
+&- \big(46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
-                &- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
+&- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
-                &+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ}
+&+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ}
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{4}\]
 oder mit dem ersten Term in Bogensekunden
+{{anchor:epsilon0}}
 \[\begin{align}
-\varepsilon &= \big(84381\overset{''}{.}448\\
+\varepsilon_0 &= \big(84381\overset{''}{.}448\\
-                &- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
+&- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\
-                &- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
+&- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\
-                &+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ}
+&+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ}
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{5}\]
 <WRAP center round box 100%>
 ==== Beispiel ====
-**Man berechne die rechtwinkeligen geozentrischen äquatorialen Koordinaten der Sonne für den 21.5.2023 um 10:15** $MESZ$
+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die rechtwinkeligen geozentrischen äquatorialen Koordinaten der Sonne für den 21.5.2023 um 10:15** $MESZ$
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 \end{align}\)
-Damit sind die gesuchten Koordinaten
+Damit sind die gesuchten rechtwinkeligen Sonnenkoordinaten
 \(\begin{align}
-X = R\cdot \cos \odot &= 0.5052248\textsf{ AE}\\
+X &= R\cdot \cos \odot = 0.5052248\textsf{ AE}\\
-Y = R\cdot \sin \odot \cdot \cos \varepsilon &= 0.8045513\textsf{ AE}\\
+Y &= R\cdot \sin \odot \cdot \cos \varepsilon = 0.8045513\textsf{ AE}\\
-Z = R\cdot \sin \odot \cdot \sin \varepsilon &= 0.3487650\textsf{ AE}
+Z &= R\cdot \sin \odot \cdot \sin \varepsilon = 0.3487650\textsf{ AE}
 \end{align}\)
 </WRAP>