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--- pluto [2024/04/19 22:17] – [Berechnungsmethode II] quern
+++ pluto [2024/12/20 01:38] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 Diese numerische Integration selbst basierte auf einem Modell und einer Reihe von Startbedingungen, die durch eine Anpassung der kleinsten Quadrate an die DE405-Ephemeride optimiert wurden, die am Jet Propulsion Laboratory (JPL) in den USA entwickelt wurde.
-Für die Berechnung wurde die gleiche Methode wie in einer früheren Untersuchung verwendet, bezieht nun jedoch Plutos heliozentrische Längen- und Breitengrade auf die neue Standardepoche $J2000.0$. Die Ergebnisse der Koeffizienten sind in untenstehender [[:pluto#pluto_tabelle|Tabelle 1]] aufgeführt.
+Für die Berechnung wurde die gleiche Methode wie in einer früheren Untersuchung verwendet, bezieht nun jedoch Plutos heliozentrische Längen- und Breitengrade auf die neue Standardepoche $J2000.0$. Die Ergebnisse der Koeffizienten sind in untenstehender [[#pluto_tabelle1|Tabelle 1]] aufgeführt.
 ===== Berechnungsmethode I =====
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 S =\;& 50\overset{\circ}{.}08 + 1222\overset{\circ}{.}1138\cdot T \\
 P =\;& 238\overset{\circ}{.}96 + 144\overset{\circ}{.}9600\cdot T
-\end{align} \]
+\end{align}\tag{1}\]
-Dann berechnet man die in der [[pluto_meeus#tabelle_1|Tabelle 1]] angegebenen periodischen Terme. In jeder Zeile ist das Argument $\alpha$ eine Linearkombination der Winkel $J$, $S$ und $P$, nämlich
+Dann berechnet man die in der [[#pluto_tabelle1|Tabelle 1]] angegebenen periodischen Terme. In jeder Zeile ist das Argument $\alpha$ eine Linearkombination der Winkel $J$, $S$ und $P$, nämlich
-$$ \alpha = i\cdot J + j\cdot S + k\cdot P$$
+$$\alpha = i\cdot J + j\cdot S + k\cdot P\tag{2}$$
 wobei $i, j, k$ kleine ganze Zahlen sind, die in den jeweiligen Spalten von $J,S,P$ angegeben sind. Der Beitrag jedes Arguments ist dann
-$$ A \cdot \sin\alpha + B \cdot \cos\alpha$$
+$$A \cdot \sin(\alpha) + B \cdot \cos(\alpha)\tag{3}$$
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 Die heliozentrische Länge und Breite $l,\;b$ (beide in Grad) und der Radiusvektor $r$ von Pluto sind dann gegeben durch
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="479px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} l =&\; 238\overset{\circ}{.}958116 + 144\overset{\circ}{.}96\cdot T + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Länge}}{10^{6}}\\ b =&\; -3\overset{\circ}{.}908239 + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Breite}}{10^{6}}\\ r =&\; 40\overset{AE}{.}7241346 + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Radius}}{10^{7}} \end{align} \]  |
+l =&\; 238\overset{\circ}{.}958116 + 144\overset{\circ}{.}96\cdot T + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Länge}}{10^{6}}\\
+b =&\; -3\overset{\circ}{.}908239 + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Breite}}{10^{6}}\\
+r =&\; 40\overset{AE}{.}7241346 + \tfrac{\Sigma\;\textrm{Terme in Radius}}{10^{7}}
+\end{align}\tag{4}\]
-Die mit dieser Methode ermittelten Längen- und Breitengrade sind heliozentrisch, nicht baryzentrisch, und werden auf die Standardepoche $J2000.0$ bezogen.
+Die mit dieser Methode ermittelten Längen- und Breitengrade sind heliozentrisch, nicht baryzentrisch, und werden auf die Standardepoche $J2000.0$ bezogen. Auf diese Weise berechnet beträgt der Fehler in Länge $l$ weniger als $0\overset{''}{.}07$, in Breite $b$ weniger als $0\overset{''}{.}02$ und für den Radiusvektor $r$ weniger als $0.000006\;AE$, bezogen auf die vollständige numerische Integration, auf der diese Darstellung der Bewegung von Pluto basiert.
-Auf diese Weise berechnet beträgt der Fehler in Länge $l$ weniger als $0\overset{''}{.}07$, in Breite $b$ weniger als $0\overset{''}{.}02$ und für den Radiusvektor $r$ weniger als $0.000006\;AE$, bezogen auf die vollständige numerische Integration, auf der diese Darstellung der Bewegung von Pluto basiert.
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 Es ist wichtig zu beachten, wie bereits erwähnt, dass die hier angegebene Methode außerhalb des Zeitraums 1885-2099 **nicht gültig** ist.
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-{{anchor:pluto_tabelle}}
+{{anchor:pluto_tabelle1}}
 Die **Tabelle 1** für die periodischen Terme der heliozentrischen Koordinaten Plutos. Die erste Spalte ist die Nummerierung der Zeile und dient nur der Referenzierung, hier stehen **keine Rechenwerte**.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="-"&float=center}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="1.1cm,1.1cm,1.1cm,1.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm"&float=center}}
+^  Tabelle 1  ||||||||||
 ^  #     ^  Argumente                  ||^  Länge $l$                 |^  Breite $b$                |^  Radius $r$                ||
 |  $n$   |  $J$        |  $S$   |  $P$   |  $A$         |  $B$         |  $A$         |  $B$         |  $A$         |  $B$         |
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 Diese Theorie stammt aus der DE200 von [[:literaturhinweise#books_mont1|O. Montenbruck & T. Pfleger]] (Astronomie mit dem Personal Computer). Sie startet mit den mittleren Anomalien von Jupiter (5), Saturn (6) und Pluto (9) mit [[:julianischer_tag_jd|julianischen Jahrhunderte $T$]] bezüglich der Epoche $J2000.0$:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="80px,420px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| $M_5 =$ | $20\overset{\circ}{.}351304 + 2880\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 154\overset{\circ}{.}906668 \cdot T$ |
+M_5 =&\; 20\overset{\circ}{.}351304 + 2880\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 154\overset{\circ}{.}906668 \cdot T \\
-| $M_6 =$ | $317\overset{\circ}{.}875212 + 1080\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 142\overset{\circ}{.}116768 \cdot T$ |
+M_6 =&\; 317\overset{\circ}{.}875212 + 1080\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 142\overset{\circ}{.}116768 \cdot T \\
-| $M_9 =$ | $13\overset{\circ}{.}888620 + 0\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 144\overset{\circ}{.}960012 \cdot T$ |
+M_9 =&\; 13\overset{\circ}{.}888620 + 0\overset{\circ}{.}0 \cdot T + 144\overset{\circ}{.}960012 \cdot T
+\end{align}\tag{5}\]
 Die heliozentrisch ekliptikalen Koordinaten $l, b, r$ und des Zwergplaneten sind dann mit der Addition der Störterme $\mathrm{d}l, \mathrm{d}b, \mathrm{d}r$ aus der unten stehenden **Tabelle 2**:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="400px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} \text{Länge: } l &= M_9 + 224\overset{\circ}{.}368884 + \frac{\mathrm{d}l}{3600''} \\ \text{Breite: } b &= -3\overset{\circ}{.}909434 + \frac{\mathrm{d}b}{3600''} \\ \text{Radius: } r &= 40.7247248\text{ AE} + \frac{\mathrm{d}r}{10^5}\text{ AE} \end{align}\]  |
+\text{Länge: } l =&\; M_9 + 224\overset{\circ}{.}368884 + \frac{\mathrm{d}l}{3600''} \\
+\text{Breite: } b =&\; -3\overset{\circ}{.}909434 + \frac{\mathrm{d}b}{3600''} \\
+\text{Radius: } r =&\; 40.7247248\text{ AE} + \frac{\mathrm{d}r}{10^5}\text{ AE}
+\end{align}\tag{6}\]
 Die Störungsterme sind in folgender Weise aufgebaut: Der erste Term steht für ein Vielfaches $q_n$ der mittleren Anomalie Plutos. Die
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 Saturn. $224\overset{\circ}{.}368884$ ist die Perihellänge in dieser Theorie.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="780px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} \mathrm{d}l &= \sum_{n=1}^{28} a_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + b_n\cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \\ \mathrm{d}b &= \sum_{n=1}^{28} c_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + d_n \cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \\ \mathrm{d}r &= \sum_{n=1}^{28} e_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + f_n\cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \end{align}\] |
+\mathrm{d}l =&\; \sum_{n=1}^{28} a_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + b_n\cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \\
+\mathrm{d}b =&\; \sum_{n=1}^{28} c_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + d_n \cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \\
+\mathrm{d}r =&\; \sum_{n=1}^{28} e_n\cdot\cos(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) + f_n\cdot\sin(q_n\cdot M_9 + s_n\cdot M_5 + t_n\cdot M_6) \end{align}\tag{7}\]
 Die zugehörige **Tabelle 2** hat die wichtigsten Koeffizienten und Multiplikatoren für die Störungsterme $\mathrm{d}l, \mathrm{d}b, \mathrm{d}r$. Die erste Spalte ist die Nummerierung der Zeile und dient nur der Referenzierung, hier stehen **keine Rechenwerte**.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="-"&float=center}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="1.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,3.1cm,1.1cm,1.1cm,1.1cm"&float=center}}
+^  Tabelle 2  ||||||||||
 ^  #     ^  Länge $\mathrm{d}l$ [$"$]                  |^  Breite $\mathrm{d}b$ [$"$]                 |^  Radius $\mathrm{d}r$ [$10^5$ AE]                |^  Argumente                    |||
 |  $n$   |  $a_n$           |  $b_n$         |  $c_n$            |  $d_n$        |  $e_n$                  |  $f_n$       |  $q_n$      |  $s_n$  |  $t_n$  |
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 |  $17$  |  $+0.32$         |  $+0.49$       |  $-0.01$          |  $+0.03$      |  $-9.4$                 |  $+5.7$      |  $+1$       |  $-2$   |  $+0$   |
 |  $18$  |  $-0.04$         |  $-0.07$       |  $+0.07$          |  $-0.02$      |  $+2.6$                 |  $-1.5$      |  $+0$       |  $-2$   |  $+0$   |
-|  $19$  |  $-29.47$        |  $+75.97$      |  $-40.71$         |  $-17.55$     |  $-106.4$               |  $-204.9$    |  $+1$       |  $+0$   |  $-1$   |
+|  $19$  |  $-29.47$        |  $+75.97$      |  $-40.71$         |  $-17.55$     |  $-106.4$               |  $-204.9$    |  $+1$       |  $-1$   |  $+0$   |
-|  $20$  |  $-13.88$        |  $+18.20$      |  $+1.13$          |  $+0.43$      |  $+42.6$                |  $-46.1$     |  $+0$       |  $+0$   |  $+1$   |
+|  $20$  |  $-13.88$        |  $+18.20$      |  $+1.13$          |  $+0.43$      |  $+42.6$                |  $-46.1$     |  $+0$       |  $+1$   |  $+0$   |
-|  $21$  |  $+5.81$         |  $-23.48$      |  $-7.48$          |  $+3.07$      |  $+15.0$                |  $-6.8$      |  $+1$       |  $+0$   |  $+1$   |
+|  $21$  |  $+5.81$         |  $-23.48$      |  $-7.48$          |  $+3.07$      |  $+15.0$                |  $-6.8$      |  $+1$       |  $+1$   |  $+0$   |
-|  $22$  |  $-10.27$        |  $+14.16$      |  $+2.43$          |  $-0.09$      |  $-7.9$                 |  $+0.4$      |  $+2$       |  $+0$   |  $+1$   |
+|  $22$  |  $-10.27$        |  $+14.16$      |  $+2.43$          |  $-0.09$      |  $-7.9$                 |  $+0.4$      |  $+2$       |  $+1$   |  $+0$   |
-|  $23$  |  $+6.86$         |  $-10.66$      |  $-2.25$          |  $+0.69$      |  $+7.3$                 |  $-0.3$      |  $+3$       |  $+0$   |  $+1$   |
+|  $23$  |  $+6.86$         |  $-10.66$      |  $-2.25$          |  $+0.69$      |  $+7.3$                 |  $-0.3$      |  $+3$       |  $+1$   |  $+0$   |
-|  $24$  |  $+4.32$         |  $+2.00$       |  $-0.24$          |  $+0.12$      |  $+0.0$                 |  $-2.2$      |  $+2$       |  $+0$   |  $-2$   |
+|  $24$  |  $+4.32$         |  $+2.00$       |  $-0.24$          |  $+0.12$      |  $+0.0$                 |  $-2.2$      |  $+2$       |  $-2$   |  $+0$   |
-|  $25$  |  $-5.04$         |  $-0.83$       |  $+0.79$          |  $-0.24$      |  $-9.2$                 |  $-3.1$      |  $+1$       |  $+0$   |  $-2$   |
+|  $25$  |  $-5.04$         |  $-0.83$       |  $+0.79$          |  $-0.24$      |  $-9.2$                 |  $-3.1$      |  $+1$       |  $-2$   |  $+0$   |
-|  $26$  |  $+4.25$         |  $+2.48$       |  $+0.58$          |  $+0.02$      |  $-5.9$                 |  $-3.3$      |  $+0$       |  $+0$   |  $-2$   |
+|  $26$  |  $+4.25$         |  $+2.48$       |  $+0.58$          |  $+0.02$      |  $-5.9$                 |  $-3.3$      |  $+0$       |  $-2$   |  $+0$   |
 |  $27$  |  $-9.11$         |  $+0.12$       |  $+0.81$          |  $+0.78$      |  $-3.4$                 |  $-3.3$      |  $+0$       |  $+1$   |  $-1$   |
 |  $28$  |  $+5.92$         |  $+0.25$       |  $-0.67$          |  $-0.51$      |  $+2.3$                 |  $-3.8$      |  $+1$       |  $+1$   |  $-1$   |